《通信原理》常用公式
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( S / N ) out
( S / N )out ( S / N )out = =1 ( S / N )in ( S / N )baseband
卡森公式
∞ Ac2 A2 A2 1 + cos[2ωc t + 2θ (t )] = ∑ c J n2 ( β ) = c 2 2 n =−∞ 2
BT = 2( β + 1) B
表 2 二进制数字调制的波形、功率谱及频谱效率 已调信号波形 m(t) 功率谱 频谱效率
OOK
s (t ) = Ac m(t ) cos ωc t
相位调制 波形
sPM (t ) = Ac cos[ωc t + D p m(t ) + φ0 ]
j [ D p m ( t ) +φ0 ]
g (t ) = Ac e jθ (t ) = Ac e 复包络
瞬时相移 最大相移
θ (t ) = D p m (t )
∆θ = max[θ (t )] = Dp max[m(t )] = DpV p
奈奎斯特滤波器
∑ H ( f + Ts ) = CTs, |f | ≤ 2Ts
e i
i
1
系统能支持的最大波特率 带通信号表达式
D = 2 B /(1 + r )
v(t ) = Re g (t )e jωct v(t ) = R (t )Cos[ωc t + θ (t )] v(t ) = x (t ) cos ω t − y (t ) sin ω t c c
V( f ) = 1 G ( f − f c ) + G ∗ ( − f − f c ) 2
{
}
带通信号频谱
带通信号频谱功率谱
Pv ( f ) =
1 Pg ( f − f c ) + Pg (− f − f c ) 4
∞ −∞
带通信号的平均功率
Pv = v 2 (t ) = ∫ Pv ( f )df =Rv (0) =
Ac2 m 2 (t ) S = 2 N0 B N out
( S / N )out = ( S / N )baseband
( S / N )out =1 BT ( S / N )in B
Ac2 m 2 (t ) = N0 B
SSB
Ac2 < m 2 (t ) > ( S / N )in = N0 B
s (t ) = Ac m(t ) cos ωc t
s(t ) = Ac [m(t ) cos ωc t
g (t ) = Ac m(t )
S ( f ) = Ac[ M ( f − f c ) + M ( f + f c )] / 2
P = Ac2 m2 (t) / 2
P = Ac2 m2 (t )
s (t ) = Ac cos[ωc t + Dp m(t )]
单极性 NRZ
S( f ) = Ac[δ( f − fc)+M( f − fc) η = Rb / BASK +δ( f + fc)+M( f + fc)]/2 = 1/ 2
sin π fTb Pg ( f ) = A T π fTb
s (t )
AM
g (t )
= Ac [1 + m(t )]cos ωc t = Ac [1 + m(t )]
S( f ) = Ac[δ( f − fc)+M( f − fc) +δ( f + fc)+M( f + fc)]/2
P = Ac2 / 2 + Ac2 m2 (t ) / 2
DSB -SC
β p = ∆θ = DpVp
t
相位调制指数 频率调制
波形
sFM (t ) = Ac cos[ωc t + D f ∫ m(σ )dσ + φ0 ]
−∞
复包络
g (t ) = Ac e jθ (t ) = Ac e
θ (t ) = D f ∫ m(σ )dσ
−∞
t
j[ D f
∫−∞ m (σ ) dσ +φ0 ]
2 c b 2
BPSK
极性 NRZ
η = Rb / BBPSK
=1/ 2
s( θ1 )
2FSK
η = Rb / BFSK
单极性 NRZ /
+ Ac m(t ) cos(ω2t + θ 2 )
= R /( f2 − f1 +2R)
MPSK, QAM, QPSK, OQPSK and π/4 QPSK 的零点带宽
η=
log 2 M 1+ r
匹配滤波器 h(t ) = Cs(t0 - t )
s01 + s02 V ( opt ) = T 2 2 应用 LPF 滤波器接收 Pe (min) = Q ( s01 − s02 ) 4σ 0 2
s01 + s02 V ( opt ) = T 2 pe = Q[ Ed ] 应用 MF 滤波器接收 2 N0
BT = 2 R / l = 2 R / log 2 M
MPSK, QAM, QPSK, OQPSK and π/4 QPSK 的频谱效率
η = R / BT = l / 2 = log 2 M / 2 bits/s/Hz
升余弦滤波后的 MPSK, QAM, QPSK, OQPSK and π/4 QPSK 的零点带宽
数字信号功率谱
FT
| F ( f ) |2 Ts
k =-∞
∑ R(k)e
∞
j2π kfTs
其中
R (k ) = ∑ (an an + k )i P
i =1
N
，
f (t ) ƒ F ( f )
频谱效率
η＝ (bit / s ) Hz
R B
ηmax＝
C S = log 2 (1 + )(bit / s ) Hz B N
( S / N ) out ( S / N )out m2 = = ( S / N )baseband ( S / N )in ( BT / B ) 1 + m 2
DSB-SC
( Ac2 / 2) m 2 (t ) Ac2 m 2 (t ) S = = N 2 N B 4 N0 B in 0
其中 Ed
= ∫ [ s1 (t ) − s2 (t )]2 dt
0
T
MF 滤波器的单位冲激响应
h(t ) = C[ s1 (T − t ) − s2 (T − t )]
Ac2 m 2 (t ) S = 2 N0 B N out AM（包络检波）的输出信噪比
( Ac2 / 2)(1 + m 2 ) S = 2 N0 B N in
常用公式
I j = log 2 (
信息量
1 ) = − log 2 ( Pj )bit Pj
H = E[ I j ] = ∑ Pj I j = ∑ Pj log 2 (
m m
熵（平均信息量）
j =1
j =1
1 )bits Pj
S C = B log 2 1 + N 信道容量（香农公式）
g (t ) = Ac [m(t ) USSB ˆ (t )] ± jm LSSB
SSB
USSB ˆ (t )sin ωc t ] mm LSSB
S ( f ) = Ac {M ( f − f c )U ( f − f c ) + M * (− f − f c )U (− f − f c ) USSB
（S / N） （S / N） dB = 10 lg pk -out = 4.77 + 6.02n （S / N） out =
Pe = 0 M2 2 ⇒ （S / N） out = M 2 1 + 4( M -1) Pe
（S / N） dB =10lg(S / N） out = 6.02 n
Ps ( f ) =
t
瞬时相移
∆F = max{
最大频偏
1 dθ (t ) 1 1 [ ]} = D f max[m(t )] = D f Vp 2π dt 2π 2π
频率调制指数 β f = ∆θ = D f FM/PM 的功率
∫
t
−∞
m(σ )dσ
max
=
∆F B
P = s 2 (t ) = Ac2 cos 2 [ωc t + θ (t )] =
1 | g (t ) |2 2
带通信号的峰值功率
PPEP＝
1 2 [ max | g (t ) |] 2
带通信号传输无失真条件
|H ( f ) |= A θ ( f ) = -2π fTg + θ0
k f s min = 2 B (1 + ) n 带通抽样定理
表 1 模拟信号幅度调制的波形、复包络、频谱及功率 已调信号波形 复包络 频谱 功率
C, k = 0 he (kTs + τ )= 0, k ≠ 0 奈奎斯特第一准则
升余弦滚降滤波器
1, | f |< f1 π (| f | − f1 ) 1 H e ( f ) = {1 + cos[ ]}, f1 <| f |< B 2 f∆ 2 | f |> B 0,
B=
1+ r 1+ r D= R 2 2l
升余弦滤波后的 MPSK, QAM, QPSK, OQPSK and π/4 QPSK 的绝对带宽
