18.2.2菱形的判定

∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
B
O
C
还有其他么方法吗?
探究一
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以 B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点 C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一 猜，这是什么四边形？说出你的理由
A B C O D
猜想：有四条边相等的四边形是菱形。
菱形判定方法2：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形 D 证明： ∵AB=CD,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形
A
C
又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形
B
探究二
用一长一短两根细木条,在它们的中点 处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字, 四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动 木条,这个四边形什么时候变成菱形?
（2）.对角线互相垂直且平分的四边形是（ C ） A.矩形 B.一般的平行四边形 C.菱形 D.以上都不对
（3）.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ C） A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD
A
A1
B
C
B1
C1
6、如下图在△ABC中，∠BAC＝90°， AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G， 交AB于C，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱 形吗?
7、已知如图，AD是的角平分线， DE∥AC，DF∥AB. 求证：四边形AEDF是菱形。 对于这道，小林是这样证明的。 证明：∵AD平分∠EAF， ∴∠1＝∠2, ∵DE∥AC，∴∠2＝∠3

证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
A 1
E
D
∵EF垂直平分AC，∴AO = OC .
O
又∠AOE =∠COF，
B
F
2
C
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
例2 如图，在平行四边形ABCD中，AC = 6，BD = 8， AD = 5. 求AB的长.
OE N
C
证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
平行四边形集合
平行四边形
菱形
菱形集合
归纳 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有 性质，但平行四边形不一定是菱形.
活动探究
1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： 问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？ 问题2:菱形中有哪些相等的线段？
4.归纳结论 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性
质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.
平行四边形的性质 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分.
典例精析
例1 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE

举例：教师可以设计一些综合性的例题，指导学生如何将菱形的知识与三角形、四边形的性质相结合，形成完整的解题思路。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《菱形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状特殊的四边形？”（如风筝、窗户等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索菱形的奥秘。
2.逻辑推理：学生运用菱形的判定方法，通过逻辑推理解决实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。
3.数学建模：学生将所学知识应用于解决现实生活中的问题，构建几何模型，培养数学应用意识和能力。
在教学过程中，关注学生个体差异，鼓励合作交流，提高学生的自主学习能力和团队合作精神，使学生在掌握知识的同时，提升学科核心素养。
五、教学反思
在今天的课堂中，我发现学生们对菱形的判定定理掌握得还不错，但在实际应用中，部分学生仍然存在一些问题。首先，对于菱形定义的理解，大多数同学能够熟练掌握，但仍有少数同学在理解邻边相等这一条件上有些困难。在接下来的教学中，我需要针对这一点进行更多的解释和练习。
让我印象深刻的是，在实践活动和小组讨论环节，学生们表现得非常积极。他们通过分组讨论和实验操作，对菱形的性质有了更直观的认识。尤其是在实验操作中，折叠和测量菱形的过程，让学生们对对角线垂直平分这一性质有了深刻的理解。
-难点二：菱形判定方法的灵活运用。学生在面对具体问题时，可能会混淆三种判定方法，不知道选择哪一种方法来判断。
举例：教师应提供多种类型的练习题，让学生在不同情境下运用判定方法，培养他们的应变能力。
-难点三：解决实际问题时，将菱形知识与其他几何知识综合运用。学生在解决综合性的几何问题时，可能会忽略菱形的特性，导致解题失误。

证证明明猜想 猜想3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交 于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
B
∴OA=OC.
O
又∵AC⊥BD,
A
C
∴BD是线段AC的垂直平分线.
D
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
E
B
C
思维提升 把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠
部分 ABCD的形状吗？
（书P58 练习3）
A
D
F
BE C
请补充完整的 证明过程
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边
相等或对角线互相垂直即可. 由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等， 然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
知识要点
菱形的判定
文字语言
图形语言
符号语言
判定定 理1
判定 定理2
对角线互相垂直的 平行四边形是菱形
四边相等的四边形 是菱形
A O
D ∵□ABCD
AC⊥BD
B
C
∴四边形ABCD是菱形
AHale Waihona Puke D ∵AB=BC=CD=DA
B
C ∴四边形ABCD是菱形
A
定义法
一组邻边相等的平 行四边形是菱形
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
练3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形