菱形的判定和性质

初中数学《菱形的性质与判定》微课精讲+知识点+教案课件+习题知识点：1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半视频教学：练习：1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC⊥BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。

3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。

①AC=BD；②∠OAB=∠OBA；③AC⊥BD；④有4条对称轴；⑤AD=BD；⑥∠OAB=∠OAD。

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长为。

5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°课件：教案：【教学目标】1.通过“热身训练”问题的解决，梳理菱形的知识点，建立知识体系。

2.通过“变式训练”建立知识间的联系，进一步提高解题的技能。

菱形的性质和判定
（一）导学内容
1.菱形的性质
（1）四条边都相等,
（2）对角线互相垂直平分且平分一组对角.
2、菱形是轴对称图形，其中对称轴有两条，分别是两条对角线。

.用心解决下面三个问题：（口述理由）
（1）已知，如图四边形ABCD是平行四边形，
且ＡＢ＝ＢＣ，则这个平行四边形是菱形。

（2）已知，在平行四边形ABCD中，AC BD
，
问四边形ABCD D
（3）已知，在四边形ABCD
问四边形ABCD
（1）一组临边相等的平行四边形是菱形。

（2）四条边都相等的四边形是菱形。

（3）对角线互相垂直平分且平分一组对角的平行四边形是菱形。

菱形的判定和性质
一个菱形是一种四边形，判定一个图形是菱形首先要看它是否是四边形，如果是，再看其形状是否是对称的，即四条边是否是相等，如果都相等，则这个图形就是一个菱形。

菱形性质：菱形的外切圆的半径向内均等地分割菱形，菱形的四个角，每两条边相交形成的两个角都是相等的，所以菱形是一种正三角形；另外，菱形的对角线是一对平行线，并且对角线长度是菱形的四条边长度之和。

菱形所有边都相等，但是菱形是一种非凸多边形（concave polygon），也就是说，菱形边缘凹陷，两个邻接边之间角度大于180度，这是菱形与正多边形、凸多边形最大的区别。

还有一些性质：如果对菱形的对角线进行划分，那么菱形的四边形就会被划分为两个结构一致的三角形；菱形中外切圆的圆心在对角线的中点处，菱形最大内切圆以及最大外接圆的圆心也在对角线的中点处。

菱形具有很多有趣的性质，并且应用在许多方面。

比如，在绘画上，菱形用于定义简洁的对称元素，在棋盘游戏中使用菱形来实现多边形布局，也用于体育项目中的一些比赛线、标识圈范围等。

菱形的性质和判定教案一、教学目标知识与技能目标：使学生掌握菱形的定义、性质和判定方法，能够运用菱形的性质解决实际问题。

过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

情感态度与价值观目标：激发学生对几何图形的兴趣，培养学生的审美观念，提高学生解决问题的自信心。

二、教学内容1. 菱形的定义：菱形是四条边相等的四边形。

2. 菱形的性质：（1）菱形的对角线互相垂直，且平分对方。

（2）菱形的对边平行且相等。

（3）菱形的对角相等。

（4）菱形的四条边相等。

3. 菱形的判定方法：（1）四条边相等的四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直，且平分对方的四边形是菱形。

三、教学重点与难点重点：掌握菱形的性质和判定方法。

难点：理解菱形性质之间的内在联系，以及如何运用判定方法判断一个四边形是否为菱形。

1. 教学PPT或黑板。

2. 几何画图工具。

3. 相关几何图形示例。

五、教学过程1. 导入：通过展示一些生活中的菱形图形，如蜂巢、骰子等，引导学生观察并思考这些图形的共同特点。

2. 新课导入：介绍菱形的定义，引导学生通过观察、操作、推理等方法，发现菱形的性质。

3. 讲解与演示：利用PPT或黑板，展示菱形的性质，如对角线互相垂直、平分对方，对边平行且相等等。

通过几何画图工具，演示菱形的性质，帮助学生理解。

4. 练习与巩固：给出一些四边形，让学生判断它们是否为菱形，并说明理由。

引导学生运用菱形的性质和判定方法进行判断。

5. 拓展与应用：引导学生运用菱形的性质解决实际问题，如在设计图案、构造模型等方面应用菱形。

7. 布置作业：设计一些有关菱形的练习题，巩固学生对菱形性质和判定方法的理解。

六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性和完整性。

2. 练习与巩固：评价学生在练习中应用菱形性质和判定方法的正确性。

3. 拓展与应用：评价学生在实际问题中运用菱形性质的创造性和解决问题的能力。

第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★)【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（ ）(★★)A ． 60°B ． 45°C ． 30°D ． 15°【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（ ）(★★)A ．60° B ． 15° C ． 30° D ． 90°知识精讲目标导航【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)【知识拓展4】如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F．求证：AB与EF互相平分．（★★）【即学即练】已知：如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．（★★）知识点02 菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形【知识拓展1】已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．（★★）【即学即练1】已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．（★★）【知识拓展2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．（★★）【即学即练2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．（★★）【知识拓展3】如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．（★★）【即学即练3】如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．求证：①AE=AG；②四边形AEFG为菱形．（★★）【知识拓展4】如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是为E F ，并且DE=DF ．求证：四边形ABCD 是菱形．（★★）知识点03 菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【知识拓展1】（2019·全国九年级课时练习）补全下列解题过程．如图，在ABC ∆中，AB BC =，D E F ，，分别是BC AC AB ，，的中点．（1）求证：四边形BDEF 是菱形； （2）若10cm AB =，求菱形BDEF 的周长．解：（1）证明：∵E F ，分别是AC AB ，的中点，∴____________________．又∵D E ，分别是BC AC ，的中点，∴12DE AB =，//DE AB ． ∵四边形BDEF 是__________．又∵AB BC =，∴_________________．∴四边形BDEF 是菱形．（2）∵F 是AB 的中点，10cm AB =， ∴11105(cm)22BF AB ==⨯=． 又∵四边形BDEF 是菱形．∴BD D E EF BF ===．∴四边形BDEF 的周长为4520(cm)⨯=．【知识拓展2】（2021·浙江八年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．【知识拓展3】（2019·全国九年级课时练习）如图，在ABCD 中，AB BC =，点E 是AB 的中点，且DE AB ⊥，AB a ，AC ，BD 相交于点O ．（1）求ABC ∠的度数；（2）已知32AO =，求对角线AC 的长； （3）求菱形ABCD 的面积．【知识拓展4】（2019·金昌市第五中学九年级一模）如图，已知A 、F 、C 、D 四点在同一条直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE（1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC 为菱形时AF 的长度．【知识拓展5】（2020·扬州市江都区国际学校八年级期中）如图，在等边ABC ∆中，6cm BC ，射线//AG BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为(s)t ．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：ADE CDF ∆∆≌；（2）当t 为多少时，四边形ACFE 是菱形．能力拓展1.如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，则∠CEF=_________．（★★★）2.如图，在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为_________．（★★★）3.如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．（★★★）题组A 基础过关练1．（2021·湖南娄底市·九年级二模）下列各命题是真命题的是（ ）A ．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线B ．平行四边形一定是中心对称图形C ．有一个内角为60︒的平行四边形是菱形D ．三角形的外角等于它的两个内角之和 2．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒3．（2020·河北省保定市第二中学分校九年级期中）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（ ）A ．20B ．24C ．40D ．484．（2020·辽宁锦州市·九年级期中）菱形的边长是5cm ，一条对角线的长为6cm ，则另一条对角线的长为（ ）A ．6cmB ．83cmC ．8cmD ．10cm5．（2020·渠县第四中学九年级月考）若菱形的较长对角线为24cm ，面积为120cm 2，则它的周长为（ ） A ．50cmB ．51cmC ．52cmD ．56cm6．（2020·福建宁德市·九年级期中）如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，则下列分层提分条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．AB ＝CDB ．OA ＝OC ，OB ＝OD C ．AC =BD D ．//AB CD ，AD ＝BC7．（2020·广东茂名市·九年级期中）在菱形ABCD 中，若AB ＝2，则菱形的周长为( )A ．4B ．6C ．8D ．108．（2020·河北）如图，在菱形ABCD 中，过顶点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，已知130A ∠=︒，则BEC ∠的大小为（ ）．A ．20°B ．25°C ．65°D ．75°题组B 能力提升练一、单选题1．（2021·全国九年级专题练习）如图，将三角尺ABC 沿边BC 所在直线平移后得到△DCE ，连接AD ，下列结论正确的是（ ）A ．AD ＝ABB ．四边形ABCD 是平行四边形C ．AD ＝2ACD ．四边形ABCD 是菱形2．（2021·天津九年级一模）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若4EF =，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．32二、填空题 3．（2021·云南曲靖市·九年级其他模拟）若菱形的周长为20，一条对角线长为6，则另一条对角线长为_______． 4．（2021·福建漳州市·九年级一模）在菱形ABCD 中，若对角线AC =8，BD =5， 则菱形ABCD 的面积为_____． 5．（2021·福建漳州市·九年级一模）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒．如图，以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，使得边AB 在x 轴正半轴上，则点D 的坐标是_______．三、解答题6．（2021·山东聊城市·九年级二模）已知，如图，四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD 于点E ，点F 为四边形ABCD 外一点，且∠FCA ＝90°，BC 平分∠DBF ，∠CBF ＝∠DCB ．求证：四边形DBFC 是菱形．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·河南南阳市·九年级一模）如图，在矩形片ABCD 中，边4AB =，2AD =，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF 的长为5；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2021·浙江绍兴市·九年级一模）如图，ABCD 中，5AB a =，4BC a =，60A ∠=︒，平行四边形内放着两个菱形，菱形DEFG 和菱形BHIL ，它们的重叠部分是平行四边形IJFK ．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形IJFK 的面积为（ ）A ．2aB ．22aC ．232aD ．23a二、填空题 3．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·九年级一模）如图，菱形ABCD 的周长为8厘米，120D ∠=︒，点M 为AB 的中点，点N 是边AD 上任一点，把A ∠沿直线MN 折叠，点A 落在图中的点E 处，当AN =_________厘米时，BCE 是直角三角形．4．（2021·北京九年级二模）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形ABCD 中，72BAD ∠=︒，在对角线AC 上截取AE AB =，连按BE ，DE ，可将菱形分割为“风筝”（凸四边ABED ）和“飞镖”（凹四边形BCDE）两部分，则图2中的α=____°．三、解答题5．（2021·浙江杭州市·九年级二模）如图，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AD＝3，CD2∠D＝45°，求菱形AECF的周长．6．（2021·江苏南京市·九年级专题练习）已知ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D 不与点B，C重合）．ABC是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC 于点FG，连接BE．△≌△．（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：AEB ADC（2）如图②，当点D在BC旳延长线时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形并说明理由．（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．。

菱形的定义和判定菱形是一种几何图形，它有四条边和四个角，每个角都是直角。

与矩形不同的是，菱形的对边长度相等，但并不一定是直角。

在这篇文章中，我们将讨论菱形的定义和判定方法。

一、菱形的定义菱形是一种四边形，它有四条边和四个角，每个角都是直角。

与矩形不同的是，菱形的对边长度相等，但并不一定是直角。

菱形的定义可以用数学公式来表示。

设ABCD是一个菱形，那么它满足以下条件：1. AB=BC=CD=DA2. ∠A=∠B=∠C=∠D=90°这意味着菱形的对边长度相等，但并不一定是直角。

如果对边长度相等且是直角，那么这个四边形就是矩形。

因此，菱形是矩形的一种特殊情况。

二、菱形的判定在实际应用中，我们需要判断一个四边形是否为菱形。

以下是几种常见的判定方法。

1. 判断对边长度是否相等菱形的对边长度相等，因此我们可以通过测量对边长度来判断一个四边形是否为菱形。

如果对边长度相等，那么这个四边形就是菱形。

否则，它不是菱形。

2. 判断对角线是否相等菱形的对角线长度相等，因此我们可以通过测量对角线长度来判断一个四边形是否为菱形。

如果对角线长度相等，那么这个四边形就是菱形。

否则，它不是菱形。

3. 判断是否满足菱形的定义菱形的定义包括两个条件：对边长度相等，每个角都是直角。

因此，我们可以通过检查这两个条件来判断一个四边形是否为菱形。

如果这个四边形的对边长度相等且每个角都是直角，那么它就是菱形。

否则，它不是菱形。

4. 判断是否为矩形的特殊情况矩形是一种四边形，它有四条边和四个角，每个角都是直角，且对边长度相等。

因此，如果一个四边形满足这些条件，那么它是矩形。

如果它不是矩形，但仍满足对边长度相等和每个角都是直角的条件，那么它就是菱形。

三、菱形的性质菱形具有许多有趣的性质，以下是其中一些常见的性质。

1. 菱形的对边平行菱形的对边长度相等且相邻两边夹角为直角，因此它的对边一定平行。

2. 菱形的对角线相交于垂直平分线菱形的对角线相交于垂直平分线，这意味着对角线的交点是菱形的中心点。

第七讲：菱形的性质和判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

几何语言表示为: 口ABCD且AB=AD(任一组邻边相等)口ABCD是菱形2.菱形的性质：（1）四边都相等；（2）两组对角相等；（3）对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。

例1：在如图菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AB、BC的中点．求证：OE=OF．例2：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=10（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．3.菱形的判定方法（1）用定义判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形。

例3：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于 G，交AD 于F，DE⊥AB于E，求证：四边形CDEF是菱形。

例4：已知：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．例6：如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．例7（真题2014-2015期中）：如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120∘,点E. F同时由A. C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值例8（真题2014-2015期中）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点。

第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。

答案：cm cm 6,4。

【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。

【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。

菱形的所有性质
菱形的所有性质如下：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角。

2、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形。

3、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。

4、四条边都相等。

5、对角相等，邻角互补。

6、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号三倍。

7、菱形的判定判定
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四条边都相等的四边形是菱形;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
8、菱形的面积
①对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);
②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx
9、菱形的周长
菱形周长=边长×4 用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a。

菱形是特殊的平行四边形，而菱形中又有特殊的一类就是正方形。