2013届高三数学模拟练习5.20

2013届高三数学模拟练习2003.5.20

一.填空题：

1．设i为虚数单位，则复数i2i的虚部为 .

2．设集合2{|60}{|13}，≤≤MxxxNxx，则

MN= .

3．若点(9)，a在函数3xy图像上，则tan6a= .

4．已知(1,2)a，(0,1)b，(,2)kc，若(2)abc，

则k

5．执行如右图所示的程序框图，若输入x==2，则输出y的值为 .

6．以双曲线15422yx的离心率为首项，以函数24xxf的零点为公比的等比数列的前n

项的和nSn233 .

7．xG为函数3cos2xy的导数，在区间,3上随机取值a,1aG的概率为 .

8．用半径为2，圆心角为23的扇形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的体积为 ．

9．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件的长度数据 (单位：mm)全部介于93至105之间．将长度数据以2为组距分成以下6组：[9395)，，[9597)，，[9799)，，[99101)，，[101103)，，[103,105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是

．

10．若双曲线22221(0)，xyabab的两条渐近线均和圆C：22650xyx相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则双曲线的标准方程为 .

11．如果幂函数()ayxaR图像经过不等式组4340602xyxyy表示的区域，则a的取值范围是 .

12．已知以4T为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]mxxfxxx，其中0m。若方程3()fxx恰有5个实数解，则m的取值范围为 .

13．记实数12,,,nxxx中的最大数为12max{,,,}nxxx，最小数为12min{,,,}nxxx.设ABC的三边边长满足≤≤abc，定义ABC的倾斜度为max{,,}abctbcamin{,,}abcbca．若1a，则t的取值范围是 ．

BACO14．若函数()fx在给定区间M上存在正数t，使得对于任意xM，有xtM，且()()≥fxtfx，则称()fx为M上的t级类增函数. 给出4个命题：

①函数4()(1,)fxxx是上的3级类增函数；②函数2()|log(1)|(1,)fxx是上的1级类增函数；③若函数()sin,2fxxax是上的3级类增函数，则实数a的最小值为2；④设)(xf是定义R在上的函数，且满足：1.对任意1,0x，恒有0)(xf；2.对任意1,0,21xx，恒有2)1()1()()(2121xfxfxfxf；3. 对任意Rx，1()1()2fxfx，若函数)(xf是1,上的t级类增函数，则实数t的取值范围为),0(.以上命题中为真命题的是 .

二.解答题： 15.已知函数()sinfxx(0)相邻两条对称轴之间的距离为23.如图，四边形OACB中，a,b,c为ABC△的内角ABC，，的对边，且满足ACBACBcoscoscos34sinsinsin.（Ⅰ）证明：acb2；

（Ⅱ）若cb，设AOB，(0),22OAOB，求四边形OACB面积的最大值.

16． 在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB//CD，3AC，22ABBC，ACFB．

（Ⅰ）求证：AC平面FBC；

（Ⅱ）线段AC上是否存在点M，使EA//平面FDM？

证明你的结论．

17． 某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务，按照国际惯例以美元结算。依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x万美元，可获得的加工费的近似值为)12ln(21x万美元。2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值。由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数，且0

（Ⅰ）若某时段的美元贬值指数2001m，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？

（Ⅱ）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为x201万美元。已知该企业的生产能力为]20,10[x，试问美元贬值指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？（已知122))12(ln(xx）．

18． 如图，在平面直角坐标系xOy中。椭圆22:12xCy的右焦点为F，右准线为l.

（Ⅰ）写出以F为焦点，O为顶点的抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点F作直线交椭圆C于点,AB，又直线OA交l于点T,若2OTOA，求线段AB的长；

（Ⅲ）已知点M的坐标为000,,0xyx，直线OM交直线0012xxyy于点N，且和椭圆C的一个交点为点P，是否存在实数，使得2?OPOMON，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由.

19．已知函数2()ln(2)fxxaxax．

（Ⅰ）若()fx在1x处取得极值，求a的值；

（Ⅱ）求函数()yfx在2[,]aa上的最大值．

20． 已知数列nx和ny的通项公式分别为nnxa和1,nyanbnN.

（Ⅰ）当3,5ab时，①试问：24,xx分别是数列ny中的第几项？

②记2nncx，若kc是ny中的第m项(,)kmN，试问：1kc是数列ny中的第几项？请说明理由.

（Ⅱ）对给定自然数2a，试问是否存在1,2b，使得数列nx和ny有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列nz，若不存在，请说明理由.

数学附加题

21． B．（选修4-2：矩阵与变换）

二阶矩阵M对应的变换将点(11)，与(21)，分别变换成(11)(02)，，，. 求矩阵M及其逆矩阵M－1.

C．（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合.曲线C的极坐标方程为2222cos3sin3，直线l的参数方程为31xtyt(t为参数，tR).试在曲线C上求一点M(用直角坐标表示)，使它到直线l的距离最大.

22． 某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口。安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安保工作。假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指令，选择一个出口进行围堵。逃犯在每层选择出口是等可能的。已知他被三楼警员抓获的概率为91.

（Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？

（Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。设抓到逃犯时，他已下了层楼，写出的分布列，并求E.

23.已知数列{}nx中，1111，nnnxxxpx(*nN，p是正常数).

(Ⅰ)当2p时，用数学归纳法证明：*2()nxxN；

(Ⅱ)是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有≥Mnxx？若有，求出M；若没有，说出理由.

参考答案

一．填空题

1．25 2．[12)， 3．3 4．8 5．41 6．n233 7．87 8．16281

9．80%

10．22154xy 11．1,1,2 12．15(,7)3 13．15[1,)2 14．①④

二．解答题

15．解：（Ⅰ）由题意知：243，解得：32，ACBACBcoscos-cos-2sinsinsin

ACABAACABsincos-sincos-sin2cossincossin

AACACABABsin2sincoscossinsincoscossin

ACABAsin2)(sin)(sin acbABC2sin2sinsin

（Ⅱ）因为2bcabc，，所以abc，所以ABC△为等边三角形

213sin24OACBOABABCSSSOAOBAB 435cos3-sin

532sin(-)34，(0)，,2--333(，)，

当且仅当-32，即56时取最大值,OACBS的最大值为5324

16．（Ⅰ）证明：在△ABC中，

因为 3AC，2AB，1BC，

所以 BCAC．

又因为 ACFB，

所以 AC平面FBC．

（II）解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA// 平面FDM，证明如下：

连结CE，与DF交于点N，连接MN．

因为 CDEF为正方形，所以N为CE中点．

所以 EA//MN．

因为 MN平面FDM，EA平面FDM，

所以 EA//平面FDM．

所以线段AC上存在点M，使得EA//平面FDM成立．

由021990)(xxf，解得0

即加工产品订单金额)5.99,0(x（单位：万美元），该企业的加工费随x的增加而增加。

（2）依题意设，企业加工生产不出现亏损，则当]20,10[x时，