研究生数值分析(9)矩阵的条件数与病态线性方程组

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数值分析复习资料

一、重点公式

第一章非线性方程和方程组的数值解法

1）二分法的基本原理，误差：~12kbax

2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c

3）单点迭代收敛定理：

定理一：若当,xab时，(),xab且'()1xl，,xab，则迭代格式收敛于唯一的根；

定理二：设()x满足：①,xab时，(),xab，

②121212,,, ()(),01xxabxxlxxl有

则对任意初值0,xab迭代收敛，且：

110111iiiiixxxllxxxl

定理三：设()x在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性；

定理四：假设()x在根的邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是P阶收敛的()()()0,1,,1,()0jPjP（Taylor展开证明）

4）Newton迭代法：1'()()iiiifxxxfx，平方收敛

5）Newton迭代法收敛定理：

设()fx在有根区间,ab上有二阶导数，且满足：

①：()()0fafb；

②：'()0,,fxxab；

③：'',,fxab不变号 ④：初值0,xab使得''()()0fxfx；

则Newton迭代法收敛于根。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiifxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxx

收敛阶：152P

7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改

①：已知根的重数r，1'()()iiiifxxxrfx（平方收敛）

②：未知根的重数：1''()(),()()()iiiiuxfxxxuxuxfx，为()fx的重根，则为()ux的单根。

矩阵与数值分析公式总结

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绝对误差:

a = ±1(/><0.%2 •…"“ |x-«| <^xl(/_/l ,则称a为x的具有n位有效数字的近似值

相对误差: 如果a有n位有效数字，则升詁旷；如果喘也諾护旷，则a至少有n位有效数字。

近似绝对误差估计式：|/(x)- f(a)\«|/ («)||x-a\

近似相对误差界为：喘叽關

向量范数：

1范数侶广刼 r-1

2 范数:||x||2 =乞卜『=A/?7? = yl(x.x) \ f-1

°°范数:Mo =酸闻

(“ \/P

P范数制卩=丈吋，l

\ r-1 /

谱半径：

Q(A) = max|^-|(A的最大特征值)

第二章

正规矩阵：AHA = AAH,AH^A的共轨转置。常见的Hermite阵（A〃=A）、实对称矩阵（”=A）、斜Hermite阵（A〃=-A）、实反对称矩阵（"=「4）、酉阵（AnA = AAH=I）和正交矩阵（/^人二必丁二/）等均为正规矩阵.

正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。A的特征值全为正。

正交矩阵：ArA = AAr=E A~l=Ar正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。

奇异矩阵：对应的行列式等于0的方阵。第一章

算子范数：

Hili = 1^Zlrtul （列和范数）

IK = --f|^l

（谱范数） in n HL=E Z KI /-1 >1 N元函数误差界: 矩阵与数值分析公式总结

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1、矩阵的LU分解或Doolittle分解

对于〃阶方阵A,如果存在/?阶单位下三角矩阵乙和刀阶上三角矩阵〃，使得A = LUf

则称其为矩阵A的LU分解，也称为.Gauss消去法对应的矩阵形式即为分解, 其中厶为所有行乘子组成的单位下三角矩阵，〃为Gauss消去法结束后得到的上三 Ly = b

角矩阵.原方程组分解为两个三角形方程组=儿

2、矩阵分解的的存在和唯一性（各阶顺丿子主子式均不为零）

matlab中基于雅可比矩阵求条件数的程序

一、背景介绍

在数值计算和科学工程领域中，雅可比矩阵是一种非常重要的矩阵类型。它在诸如矩阵求逆、线性方程组求解、最优化问题等诸多应用中都扮演着重要的角色。而雅可比矩阵的条件数则是评估矩阵的数值稳定性和误差敏感度的重要指标。在MATLAB中，我们可以利用一些内置函数或自己编写程序来求解雅可比矩阵的条件数。本文将围绕着这一主题展开深入讨论。

二、雅可比矩阵的条件数

在数值分析中，雅可比矩阵A的条件数（condition number）是用来衡量矩阵的数值稳定性的一个重要指标。它的定义是：对于矩阵A，其条件数定义为：

cond(A) = ||A|| * ||A^(-1)||

其中||A||表示A的某种矩阵范数，而||A^(-1)||表示A的逆矩阵的某种矩阵范数。条件数的大小决定了矩阵求解问题的数值稳定性，条件数越大，表示矩阵的误差敏感度越高，数值稳定性越差。

三、MATLAB中求解雅可比矩阵条件数的程序

在MATLAB中，我们可以利用内置的cond函数来求解矩阵的条件数。假设我们有一个雅可比矩阵A，那么可以通过以下代码来求解其条件数：

```matlab

A = ... 输入雅可比矩阵A

k = cond(A); 求解雅可比矩阵A的条件数

disp(['The condition number of A is: ', num2str(k)]);

```

除了使用内置函数外，我们也可以编写自己的程序来求解雅可比矩阵的条件数。下面是一个简单的 MATLAB 程序示例：

```matlab

function k = jacobi_condition_number(A)

输入：雅可比矩阵A

输出：雅可比矩阵A的条件数k

求解雅可比矩阵A的条件数

k = norm(A,2) * norm(inv(A),2);

end

```

通过以上代码，我们就可以方便地求解雅可比矩阵的条件数了。

(完整版)数值分析重点公式