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姓名学号评分时间120分钟石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称 数值分析 任课教师 王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1. 3，32. 43. -34. )()(max x P x f bx a -≤≤5. )2)(1(!4)(),2(2)4(2--+-x x x f x x ξ 6. 33,3321=-=x x 7. 21<a8.Λ,2,1,0,211721=--=+k x x x x kkk k 9. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323/22/3212L 10.1,...,2,1,1--=⎩⎨⎧-==+n n k x d x d x k k k kn n β 二(16分).1. 解 :⎢⎢⎢⎣⎡221213112⎥⎥⎥⎦⎤ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32/12/1112132/112/31------8分解,b Ly =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=304y解,y Ux =得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111x . -----------------------------------------------12分2.Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧--=--=--=+++2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , Λ,2,1,0=k ------------------------------16分-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003--+--++++-=---+--+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理∑=--=302))((i i i y b ax I 最小，----2分有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00aI bI即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑i i i ii i x y y a b xxx 24----------------------8分即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36915554a b ，解得b =1.2857，a =2.8286 拟合曲线2857.18286.2+=x y ----------------------10分 四(16分)解: 1．+----=))(())(()()(2010210x x x x x x x x x f x L ))(())(()(2101201x x x x x x x x x f ----+))(())(()(1202102x x x x x x x x x f ---- ------------------------------6分计算=)(0'x L ()()()()2104321x f x f x f h-+- ----------------9分 )()(0'0'x L x f ≈=()()()()2104321x f x f x f h-+- ------------------------------------------12分2．)()(),,(210x L x f x x x ≈∈,))()!1()(()()(1)1(2'++'='++x n f x L x f n n ωξ, x x n f n n 与ξωξ,))()!1()((1)1('+++有关, )()(),,(210x L x f x x x '≈'∈无法估计. )(,2x L x '不是插值节点时当的值不能作为)('x f 的近似值.-----------------16分 五. 解 1．(8分)Λ004.041.10=-I 21021-⨯≤------------------2分 2000011102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I ------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I类推有 8210999910101021102110~10)1~10(110~--⨯=⨯⨯≤-=---=-I I I I I I-----------6分计算到10I 时，误差限为初始0I 的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍， 所以这个计算过程是不稳定的。
大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2005 年 12 月 12 日 试卷共 7 页一二三四五 六 七 总分 标准分 得 分装 一、填空（共30分，每空1.5分）（1）误差的来源主要有 、 、 、 .（2）要使 7459666.760=的近似值a 的相对误差限不超过310-，应至少取 位有效数字, 此时的近似值a = .订 （3）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4224A , 则1A ＝ , 2A ＝ , ∞A ＝ , F A ＝ ,谱半径)(A ρ＝ , 2-条件数)(2A cond ＝ , 奇异值为 .线 （4）设44⨯∈CA ,特征值3,24321====λλλλ,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan 标准型=J.（5）已知x x x f 3)(2-=，则=-]1,0,1[f ，=-]3,1,0,1[f .（6）求01)(3=-+=x x x f 在5.0=x 附近的根α的Newton 迭代公式是：，其收敛阶 . （7）计算u u 5-=')10(≤≤t , 1)0(=u 的数值解的Euler 求解公式为 . 为使计算保持绝对稳定性, 步长h 的取值范围 .二、（12分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820251014A 的Doolittle 分解和Cholesky 分解，并求解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1085Ax .三、（6分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=622292221A 的QR 分解（Q 可表示为两个矩阵的乘积）.四、（12分）根据迭代法f Bx x k k +=+)()1(对任意)0(x 和f 均收敛的充要条件为1)(<B ρ, 证明若线性方程组b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵, 则Jacobi 法和G-S 法均收敛.五、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（]0,3[-和]1,0[）, 并验证它是不是三次样条函数.27)3(-=-f , 8)2(-=-f , 1)1(-=-f , 0)0(=f , ]0,3[-∈x ；0)0(=f , 0)0(='f , 0)1(=f , 1)1(='f , ]1,0[∈x .六、（10分）证明线性二步法])13()3[(4)1(212n n n n n f b f b hbu u b u +++=--++++, 当1-≠b 时为二阶方法,1-=b 时为三阶方法, 并给出1-=b 时的局部截断误差主项.七、（18分）求]1,1[-上以1)(≡x ρ为权函数的标准正交多项式系)(0x ψ, )(1x ψ, )(2x ψ, 并由此求3x ])1,1[(-∈x 的二次最佳平方逼近多项式, 构造Gauss 型求积公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f , 并验证其代数精度.大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2006 年 12 月 11 日 试卷共 8 页一二三四五 六 七 八 总分 标准分 得 分装订 一、填空（共30分，每空2分）线 （1）误差的来源主要有 .（2）按四舍五入的原则，取 69041575.422= 具有四位有效数字的近似值 a = ，则绝对误差界为 ，相对误差界为 .（3）矩阵算子范数M A ||||和谱半径)(A ρ的关系为： ，和 .（4）设44⨯∈CA ,特征值3,24321====λλλλ,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan 标准型=J.（5）已知x x x f 3)(2-=，则=]1,0[f ，=-]1,0,1[f .（6）求01)(3=-+=x x x f 在5.0=x 附近的根α的Newton 迭代公式是：.（7）使用Aitken 加速迭代格式)(1-=k k x x ϕ得到的Steffensen 迭代格式为：，对幂法数列}{k m 的加速公式为：.（8）1+n 点的Newton-Cotes 求积公式∑==nk k k n x f A f I 0)()(的最高代数精度为.（9）计算u u 7-=')10(≤≤t , 1)0(=u 的数值解的Euler 求解公式为 ，为使计算保持绝对稳定性, 步长h 的取值范围 .二、（10分） 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4224A , 计算1A ,2A ,∞A ,F A , 谱半径)(A ρ, 2-条件数)(2A cond , 和奇异值.三、（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820251014A 的Doolittle 分解和Cholesky 分解.四、（4分）求Householder 变换矩阵将向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221x 化为向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003y .五、（12分）写出解线性方程组的Jacobi 法，G-S 法和超松弛（SOR ）法的矩阵表示形式，并根据迭代法f Bx x k k +=+)()1(对任意)0(x 和f 均收敛的充要条件为1)(<B ρ, 证明若线性方程组b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR ）法当松弛因子]1,0(∈ω时收敛.六、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（]0,3[-和]1,0[）, 并验证它是不是三次样条函数. 27)3(-=-f , 8)2(-=-f , 1)1(-=-f , 0)0(=f , ]0,3[-∈x ；0)0(=f , 0)0(='f , 0)1(=f , 1)1(='f , ]1,0[∈x .七、（12分）证明区间],[b a 上关于权函数)(x ρ的Gauss 型求积公式∑==nk k k n x f A f I 0)()(中的系数⎰=bak k dx x l x A )()(ρ，其中)(x l k 为关于求积节点n x x x ,,10的n 次Lagrange 插值基函数，n k ,1,0=. 另求]1,1[-上以1)(≡x ρ为权函数的二次正交多项式)(2x ψ, 并由此构造Gauss型求积公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f .八、（10分）证明线性二步法])13()3[(4)1(212n n n n n f b f b hbu u b u +++=--++++, 当1-≠b 时为二阶方法, 1-=b 时为三阶方法, 并给出1-=b 时的局部截断误差主项.大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A 卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分一、填空（每一空2分，共42分）1．为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++- 改写为()()()()()()()1816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x ；2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dxe x ⎰-12求得的近似值为()15.02141--++e e ， 用Simpson 公式求得的近似值为()15.04161--++e e 。
1）1）已知近似值246.00a =有5位有效数字，则a 的绝对误差界为 ，a 的相对误差界为 ；2）于0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，用y=a+bx 做()sin f x x =最佳平方逼近，则法方程组为： ；3）设71057⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，1=A ，()1cond =A ；4）为了减少运算次数，应将表达式.425432168116171814131x x x x x x x x ++--+---改写为_ ______；5）已知(0)1,(1)3,(2)5,f f f ===则均差[0,1,2]f = ，对应于x 0=0插值基函数()0l x = ；6）此数值求积公式2110116x e dx e --⎛⎫≈ ⎪⎝⎭⎰的代数精度为： ；7) 求解1u u t e -'=-+-的隐式Euler 公式： ； 8) 用二分法求方程3()2510f x x x =--=在区间[1,3]内的根，进行一步后根所在区间为___ ___。
9)1225⎛⎫=⎪⎝⎭A 的TLL 分解为： ； 10) [0,1]上以1()lnx xρ=权函数的正交多项式()0x φ= ，()1x φ= 。
11）0=x 是()10x f x x e =--=的根，则具有平方收敛的迭代公式为： 。
12）将向量=x 221⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭变换为向量=y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛003的正交矩阵H 为 ；姓名： 学号： 院系： 级 班装订线二、计算题1．（15分）如下求解初值问题00)(),,(u t u u t f u =='的线性二步法21(3)2n n n n hu u f f ++=++①确定出它的阶p 、局部截断误差主项和收敛性，求出其绝对稳定区间； ②给出上述方法求解方程：40u u '=-，1)0(=u ，的步长h 的取值范围。
2．（15分）确定0x ，0A ，1x ，1A 使得求积公式()()()1200111x f x dx A f x A f x -≈+⎰的代数精度m 达到最高，试问m 是多少？取()2xf x e -=，利用所求得的公式计算出数值解。
2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈ 6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-= 0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f ,0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξff 三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++= 1)(=x f 时：1110==⎰dx I1]00[121]2[21=-+=n I x x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I 4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ 52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛154153234520320320320221a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H ,解得 5,3=-=b a 因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈110)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -=得得Gauss 点： ,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A 解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈ Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k k k k kk k k k x x x x x x x x x令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解. 解： 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛135152121137253125121211113112即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y 令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n nn n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ， 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
姓名学号评分时间120分钟石家庄铁道学院 2009 级硕士研究生考试试卷参考答案及评分标准课程名称 数值分析 任课教师 王亚红一.(1-6题 2分/空;7-10题 3分/空)1. 3，32. 43. -34. )()(max x P x f bx a -≤≤5. )2)(1(!4)(),2(2)4(2--+-x x x f x x ξ 6. 33,3321=-=x x 7. 21<a8.Λ,2,1,0,211721=--=+k x x x x kkk k 9. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=323/22/3212L 10.1,...,2,1,1--=⎩⎨⎧-==+n n k x d x d x k k k kn n β 二(16分).1. 解 :⎢⎢⎢⎣⎡221213112⎥⎥⎥⎦⎤ =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-32/12/1112132/112/31------8分解,b Ly =得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=304y解,y Ux =得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111x . -----------------------------------------------12分2.Jacobi 迭代法计算公式:初始向量)0(x⎪⎩⎪⎨⎧--=--=--=+++2/)25()236(2/)4()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x , Λ,2,1,0=k ------------------------------16分-----------------------------------7分)2)(1)(1(245)1)(1(65)1(233))()(](,,,[))(](,,[)](,[)()(21032101021001003--+--++++-=---+--+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N--------------------10分2.(10分)根据最小二乘原理∑=--=302))((i i i y b ax I 最小，----2分有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00aI bI即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑i i i ii i x y y a b xxx 24----------------------8分即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36915554a b ，解得b =1.2857，a =2.8286 拟合曲线2857.18286.2+=x y ----------------------10分 四(16分)解: 1．+----=))(())(()()(2010210x x x x x x x x x f x L ))(())(()(2101201x x x x x x x x x f ----+))(())(()(1202102x x x x x x x x x f ---- ------------------------------6分计算=)(0'x L ()()()()2104321x f x f x f h-+- ----------------9分 )()(0'0'x L x f ≈=()()()()2104321x f x f x f h-+- ------------------------------------------12分2．)()(),,(210x L x f x x x ≈∈,))()!1()(()()(1)1(2'++'='++x n f x L x f n n ωξ, x x n f n n 与ξωξ,))()!1()((1)1('+++有关, )()(),,(210x L x f x x x '≈'∈无法估计. )(,2x L x '不是插值节点时当的值不能作为)('x f 的近似值.-----------------16分 五. 解 1．(8分)Λ004.041.10=-I 21021-⨯≤------------------2分 2000011102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I ------------------------4分22111122102110)~(10)1~10(110~-⨯⨯≤-=---=-I I I I I I类推有 8210999910101021102110~10)1~10(110~--⨯=⨯⨯≤-=---=-I I I I I I-----------6分计算到10I 时，误差限为初始0I 的误差限的1010倍，每递推一次误差扩大10倍， 所以这个计算过程是不稳定的。
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
《数值分析》I课程试题参考答案及评分标准（中文试卷）( A卷)适用专业年级：信息与计算科学07级 考试时间: 100分钟命题人：吕勇一、解------------------------------------------------------5分则插值多项式。
---------------------------------------- -------10分二、 证明设，以为节点的Lagrange插值多项式为 --3分余项为-----------------------------------------------------6分由于为线性函数，当时，。
--------------------------------9分则：，所以结论得证-------------------------------------------------10分三、证明 ----------------------------------------------------5分-------------------------8分 ---------------------------------------------------10分四、证明设则根据插值多项式原理-------------------------------------------------------------------------------------6分两端在上积分-------------------------------------------------------------10分五、解设，。
--------------------------------------------------------------------3分，---------------------------------------------------------------6分，。
太原科技大学硕士研究生2008/2009学年第1学期《数值分析》课程试卷一、填空题（每空6分，共30分）1、已知a 是积分⎰-102dx e x 的近似值，并且有四位有效数字，则a 的绝对误差限=)(a ε 2、设n 阶矩阵)(ij a A =的对角元),,2,1(0n i a ii =≠，令),,,(2211nn a a a diag D =。
若将A 分裂成)(1A D I D D A ---=，以其构造解线性方程组b Ax =的迭代公式为 。
3、求解初值问题1)0(,112=+='y yy 的欧拉公式为 。
4、若⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31,)1()1()1(2110,,)(233x c x b x a x x x x s 是三次样条函数，则=b 。
5、已知函数)(x f y =在2,0,1210===x x x 处的值分别为,4,2,1210===y y y 则经过点)4,2(),2,0(),1,1(-的Lagrange 插值多项式为 。
二、(10分)设A 为n 阶非奇异的上三角阵，试导出计算1-A 的元素的递推公式。
三、（15分）证明下列迭代公式产生的序列{}k x 收敛于a （0>a ）并具有三阶收敛速度，,1,0,3)3(221=++=+k a x a x x x k k k k其中0x 充分接近a 。
四、（15分）已知Legendre 正交多项式)(x L n 有三项递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++===-+,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试推导两点Gauss-Legendre 求积公式)()()(221111x f A x f A dx x f +≈⎰- 的求积系数和节点，并用此公式计算下列积分的近似值。
⎰-=2242dx e I x五、(15分)在区间[-1，1]上给定函数122)(23-++=x x x x f ，求其在{}2,,1x x Span =Φ中关于权函数1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
课程编号：12000044 北京理工大学2010-2011学年第一学期2009级计算机学院《数值分析》期末试卷A 卷班级 学号 姓名 成绩注意：① 答题方式为闭卷。
② 可以使用计算器。
请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。
一、 填空题 （2 0×2′）1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 位有效数字。
2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A ，‖A ‖∞＝___ ____，‖X ‖∞＝__ _____，‖AX ‖∞≤____ ___ (注意：不计算‖AX ‖∞的值) 。
3. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =ϕ(x )在有解区间满足 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
4. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 （填写前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( ；所以当系数a i (x )满足 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 。
数值分析试卷及答案**注意：以下是一份数值分析试卷及答案，试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版，以确保整洁美观，语句通顺。
**---数值分析试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。
以下哪个选项不是数值分析的应用领域？A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中，稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。
以下哪个算法是稳定的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题（每题3分，共30分）1. 下面关于插值多项式的说法中，不正确的是：一般情况下，插值多项式的次数等于插值点的个数减1。
2. 线性方程组中，如果系数矩阵A是奇异的，则该方程组可能无解或有无穷多解。
......三、解答题（共50分）1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式，并选择合适的初始值进行计算。
解：割线法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1，x1 = 2 进行计算：迭代1次得到：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到：x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。
2. 对于一个给定的线性方程组，高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。
请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，然后再通过回代求解方程组的未知数。
求解步骤如下：步骤1：将方程组表示为增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量连接在一起。
步骤2：从第一行开始，选取第一个非零元素作为主元，然后通过行变换将其它行的该列元素消去。
09级数学分析(1)试题（A卷）参考答案参考答案一、叙述题(每题5分共20分)（略）二、计算题（每题5分，共20分）1．设liman?a（an?0,a?0），求liman。
Nnn？？解决方案0遇见0？？0 a.利曼的？A你知道吗，？NN什么时候？当n，n??a??0?an?a??0因此nnna??0?an?a??0nnn？？N取上述公式两边的极限，并使用结论limc？1（C？0是常数）和强迫收敛，利曼？1。
2. 找到曲线X？1.t2，y？Tt的T2？1对应点的切线方程。
解因为x2t,y??1?2t，那什么时候呢？1点，x？0，y？0 x2，y 1.那么切线方程是x?0y?0?即x?2y?0?2?1或dyy?(t)1?2t??dxt?1x?(t)t?1?2t当t?1时，x?0,y?0，故切线方程是1.2t？1岁？0 3. 问limx？01（x？0）2tanx？sinx.3sinx12x？xtanx？sinxtanx （1？cosx）12？Lim溶液。
？林？十、0x？0x？0sin3xsin3x32第1页，共6页或tanx?sinxtanx?sinx01?cos3x0lim?limlim2332x?0x?0x?0sinxx3xcosx1?cos3x03cos2xsin x10?limlim?2x?0x?03x6x2或11 十、x3？o（x3）十、x3？o（x3）？？坦克斯？sinx33lim?limx?0x?0sin3xx313x?o(x3)1?lim2?x?0x324.找到f（x）？2x3？X4的极值。
解f?(x)?6x?4x?2x(3?2x)?0，得稳定点x?0,232323(,??)2－kxf?(x)f(x)或(??,0)+j00无极值3(0,)2+j320极大值27/163f?(x)?6x2?4x3?2x2(3?2x)?0，得稳定点x?0,22和f？？（x） ?？12倍？12倍？12倍（1？x），f（x） ?？12（1？2倍）f??(0)?0,f(0)?0，所以f在x?0不取极值。
南京工业大学 数值分析 试题（A ）答案2009--2010 学年第一学期学年第一学期 使用班级使用班级 信科0701应数0701 一、填空题 （每小题3分，共30分）1．已知974997.999995»，则»-9995100 0.025003126 具有 8 位有效数字。
2．对f(x)=2x 4+x+1,差商f[0,1,2,3,4]= 2 ;f[0,1,2,3,4,5]= 0 。
3．设方程x=j (x)有根x *,且设j (x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0Î(a,b)则迭代格式x k+1=j (x k )收敛的充要条件为 1|)(|*<¢x j 。
4．÷÷øöççèæ=011001001001....A ,||A||µ= 2.01 ,cond(A)µ= 404.01 。
5．中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f ba-+=ò的代数精度为 2 。
6．在区间[1，2]上满足插值条件îíì==1)2(2)1(P P 的一次多项式P(x)= 3-x 。
7．设å==nk k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则å=nk kA= a b - 。
8．梯形公式和改进的Euler 公式都是 2 阶的。
9．在区间[0，1]上，函数ax x +=)(1j与函数22)(x x =j 正交，则a= -0.75 。
10．求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为1)(<J r 。
二、计算题 （每题8分，共48分）1．试用Gauss 消元法解下列方程组，计算过程按5位小数进行：÷÷÷øöçççèæ=÷÷÷øöçççèæ÷÷÷øöçççèæ---08.255.190.05.11.40.10.15.26.15.05.12.3321x x x （写出详细过程！）解：A=÷÷÷øöçççèæ--2524.01010.0001000.12500.12500.309000.05000.05000.12000.3 （4分）分） ÷÷÷øöçççèæ 2.5000 1.0000 0 0 1.3000 0 1.0000 0 0.5000 0 0 1.0000~ （3分）分） 所以方程组的解为：5.2,3000.1,5000.0321===x x x （1分）分） 2. 给出f(x)f(x)的函数表，的函数表，（1）在表中填上指定阶的差商；（2）写出f(x)f(x)的的2次牛顿插值多项式；（3）给出截断误差。
2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xyy x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):(2) 分别求出满足条件)2,1,0(),()(),()(22===k x f x N x f x L k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈112)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ).八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .2008年春季学期数值数学试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。
