大连理工大学矩阵与数值分析第1章-矩阵与数值分析1

大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2005 年 12 月 12 日 试卷共 7 页一二三四五 六 七 总分 标准分 得 分装 一、填空（共30分，每空1.5分）（1）误差的来源主要有 、 、 、 .（2）要使 7459666.760=的近似值a 的相对误差限不超过310-，应至少取 位有效数字, 此时的近似值a = .订 （3）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4224A , 则1A ＝ , 2A ＝ , ∞A ＝ , F A ＝ ,谱半径)(A ρ＝ , 2-条件数)(2A cond ＝ , 奇异值为 .线 （4）设44⨯∈CA ,特征值3,24321====λλλλ,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan 标准型=J.（5）已知x x x f 3)(2-=，则=-]1,0,1[f ，=-]3,1,0,1[f .（6）求01)(3=-+=x x x f 在5.0=x 附近的根α的Newton 迭代公式是：，其收敛阶 . （7）计算u u 5-=')10(≤≤t , 1)0(=u 的数值解的Euler 求解公式为 . 为使计算保持绝对稳定性, 步长h 的取值范围 .二、（12分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820251014A 的Doolittle 分解和Cholesky 分解，并求解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1085Ax .三、（6分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=622292221A 的QR 分解（Q 可表示为两个矩阵的乘积）.四、（12分）根据迭代法f Bx x k k +=+)()1(对任意)0(x 和f 均收敛的充要条件为1)(<B ρ, 证明若线性方程组b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵, 则Jacobi 法和G-S 法均收敛.五、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（]0,3[-和]1,0[）, 并验证它是不是三次样条函数.27)3(-=-f , 8)2(-=-f , 1)1(-=-f , 0)0(=f , ]0,3[-∈x ；0)0(=f , 0)0(='f , 0)1(=f , 1)1(='f , ]1,0[∈x .六、（10分）证明线性二步法])13()3[(4)1(212n n n n n f b f b hbu u b u +++=--++++, 当1-≠b 时为二阶方法,1-=b 时为三阶方法, 并给出1-=b 时的局部截断误差主项.七、（18分）求]1,1[-上以1)(≡x ρ为权函数的标准正交多项式系)(0x ψ, )(1x ψ, )(2x ψ, 并由此求3x ])1,1[(-∈x 的二次最佳平方逼近多项式, 构造Gauss 型求积公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f , 并验证其代数精度.大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2006 年 12 月 11 日 试卷共 8 页一二三四五 六 七 八 总分 标准分 得 分装订 一、填空（共30分，每空2分）线 （1）误差的来源主要有 .（2）按四舍五入的原则，取 69041575.422= 具有四位有效数字的近似值 a = ，则绝对误差界为 ，相对误差界为 .（3）矩阵算子范数M A ||||和谱半径)(A ρ的关系为： ，和 .（4）设44⨯∈CA ,特征值3,24321====λλλλ,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan 标准型=J.（5）已知x x x f 3)(2-=，则=]1,0[f ，=-]1,0,1[f .（6）求01)(3=-+=x x x f 在5.0=x 附近的根α的Newton 迭代公式是：.（7）使用Aitken 加速迭代格式)(1-=k k x x ϕ得到的Steffensen 迭代格式为：，对幂法数列}{k m 的加速公式为：.（8）1+n 点的Newton-Cotes 求积公式∑==nk k k n x f A f I 0)()(的最高代数精度为.（9）计算u u 7-=')10(≤≤t , 1)0(=u 的数值解的Euler 求解公式为 ，为使计算保持绝对稳定性, 步长h 的取值范围 .二、（10分） 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4224A , 计算1A ,2A ,∞A ,F A , 谱半径)(A ρ, 2-条件数)(2A cond , 和奇异值.三、（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820251014A 的Doolittle 分解和Cholesky 分解.四、（4分）求Householder 变换矩阵将向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221x 化为向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003y .五、（12分）写出解线性方程组的Jacobi 法，G-S 法和超松弛（SOR ）法的矩阵表示形式，并根据迭代法f Bx x k k +=+)()1(对任意)0(x 和f 均收敛的充要条件为1)(<B ρ, 证明若线性方程组b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR ）法当松弛因子]1,0(∈ω时收敛.六、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（]0,3[-和]1,0[）, 并验证它是不是三次样条函数. 27)3(-=-f , 8)2(-=-f , 1)1(-=-f , 0)0(=f , ]0,3[-∈x ；0)0(=f , 0)0(='f , 0)1(=f , 1)1(='f , ]1,0[∈x .七、（12分）证明区间],[b a 上关于权函数)(x ρ的Gauss 型求积公式∑==nk k k n x f A f I 0)()(中的系数⎰=bak k dx x l x A )()(ρ，其中)(x l k 为关于求积节点n x x x ,,10的n 次Lagrange 插值基函数，n k ,1,0=. 另求]1,1[-上以1)(≡x ρ为权函数的二次正交多项式)(2x ψ, 并由此构造Gauss型求积公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f .八、（10分）证明线性二步法])13()3[(4)1(212n n n n n f b f b hbu u b u +++=--++++, 当1-≠b 时为二阶方法, 1-=b 时为三阶方法, 并给出1-=b 时的局部截断误差主项.大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A 卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分一、填空（每一空2分，共42分）1．为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++- 改写为()()()()()()()1816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x ；2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dxe x ⎰-12求得的近似值为()15.02141--++e e ， 用Simpson 公式求得的近似值为()15.04161--++e e 。

第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。

2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。

3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。

4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --=Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()(超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。

5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。

7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。

第一章绝对误差：121100.x 102k k n na a a a a -=±⨯⋅⋅⋅⋅-≤⨯，则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值相对误差：如果a 有n 位有效数字，则11x 1102n a aa --≤⨯ ；如果11x 11021n a a a --≤⨯+（） ，则a 至少有n 位有效数字。

近似绝对误差估计式：'()()()f x f a f a x a -≈- 近似相对误差界为：'()()()()()f a f x f a x a f a f a -≤-N 元函数误差界：1231231(x ,x ,x ,....x )(,,,....)nn n k k k k af f f a a a a x a x =⎛⎫∂-≤-⎪∂⎝⎭∑111222111112max p ,1nii n i i ii nn pp i pi x x p ==∞≤≤==⎛⎫===⎪⎝⎭∞=⎛⎫=≤<+∞⎪⎝⎭∑∑∑向量范数：范数：范数：范数：范数：x x x x x x111112111max max mij j ni nij i mj mnij m i j Fa a a ≤≤=∞≤≤========∑∑∑∑（列和范数）（行和范数）（算子范数谱：范数）A A A AA(A)max i iρλ=谱半径：（A 的最大特征值）第二章,H H H A A AA A A =正规矩阵：是的共轭转置 。

常见的Hermite 阵（A A =H ）、实对称矩阵（A A =T ）、斜Hermite 阵（A A -=H ）、实反对称矩阵（A A -=T ）、酉阵（I AA A A ==H H ）和正交矩阵（I AA A A ==T T ）等均为正规矩阵． 正定的充分必要条件是：A 的各阶顺序主子式都为正。

A 的特征值全为正。

T T A A AA E ==正交矩阵： 1T A A -= 正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。

思考题1-11. 不成立。

因为()222A ,+=+++B A AB BA B AB 不一定等于. BA 2. 成立。

因为22(),A +=+++E A AE EA E =AE EA . 3. 成立。

因为22()(),+−=−+−=−A E A E A AE EA E A E2()()−+=−A E A E A E .4. 不成立。

因为矩阵的乘法不满足消去律，由22()=2AB A B ，得不出=AB BA .5. 不成立。

反例，。

1111⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦A 6. 不成立。

反例，。

1000⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 7. 不成立。

反例，。

1001⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦A 8. 成立。

因为,()().Tk TT k===kA A A A A9. 不成立。

因为,()()()(1),Tk TT kkk=−==−=−kA A A A A A 结论与的奇偶性有关。

k 10. 成立。

由对称阵的定义可知结论成立。

习题1-11. 2.111100−⎡⎤=⎢⎣⎦X ⎥1,2x y ==3.正确，依次为5BA ABC ABABC 、、5×矩阵、41×矩阵、41×矩阵。

4.（1）；（2）；（3）3-3-5-7915⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎥10530100⎡⎤⎢⎥−⎣⎦32659110-4⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）1432321211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （5）;222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x +++++（6）；（7） 157063004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦050505050−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5.（1），在矩阵111112221222331332k a k a k a k a k a k a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的左边乘以对角矩阵时，其乘积等于用该对角矩阵的对角元分别乘以矩阵A 的各行；（2），在矩阵111212313121222323k a k a k a k a k a k a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A 的右边乘以对角矩阵时，其乘积等于用该对角矩阵的对角元分别乘以矩阵A 的各列。

机械制造及自动化（专业代码：080201授予工学硕士学位）一、培养目标本学科旨在培养具有本专业领域的坚实的基础理论和系统的专门知识，掌握一门外国语，能熟练地进行专业阅读和初步写作。

培养严谨求实的科学态度和作风，具有创新精神和良好的科研道德，具备独立从事本专业的科学研究能力。

能熟练运用计算机和信息化技术，解决本学科领域的问题。

可胜任本专业或相邻专业的教学、科研和工程技术工作以及相关的科技管理工作。

二、学科、专业及研究方向简介本学科是机械工程一级学科中的二级学科，属于国家重点学科，具有硕士学位和博士学位授予权，并设机械工程博士后流动站。

本学科拥有教育部“精密与特种加工”重点实验室和教育部“模塑制品工程研究中心”，“先进装备制造技术”辽宁省高等学校重点实验室，“辽宁省先进制造技术服务中心”；是国家“九五”“211工程”、“十五”“211工程”重点建设学科。

本学科以机械制造及其自动化的相关理论、方法和技术为研究对象，充分运用现代信息技术、计算机控制技术、计算机网络技术、机电一体化技术等方法和手段，形成了机、电、信息等多种学科交叉和高度融合的学科优势，致力于机械制造中的理论、方法、技术及其装备的研究与教学。

主要研究方向及其内容包括如下方面：1、微细、快速、精密特种加工新技术2、计算机智能加工技术3、先进切（磨）削技术4、计算机辅助快速制造技术5、柔性制造技术6、现代集成制造技术7、机电控制及自动化三、培养方式及学习年限1、培养方式：基于优化知识结构、加强实践能力的原则，采取全日制学习方式和导师负责制。

即用一年时间学习课程，用一年半到两年的时间，进行课题研究，完成硕士学位论文；同时整个学习过程在导师指导下，制定个人培养计划，学习课程、查阅文献、参加学术交流、确定课题、从事科学研究。

既能使硕士生掌握基础理论和专业知识，又能培养其科学研究和独立设计的能力。

2、学习年限：2.5~3年。

四、课程设置与学分1、课程设置：分为学位必修课程和选修课程两大类，其中学位要求课程又分为公共基础课程和专业必修课程，选修课程又分为必选课程和任选课程。

i.常微分方程初值问题数值解法i.1 常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足(,), 0du f t u t T dt=<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b)其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。

我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-∀∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。

通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。

本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。

先来讨论最简单的Euler 法。

为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点：0110N N t t t t T -=<<<<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。

在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。

反过来，差商就是微商的近似。

在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到1000(,)u u hf t u -=一般地，我们有1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

下面我们用数值积分法重新导出 Euler 法以及其它几种方法。

为此，在区间1[,]n n t t +上积分常微分方程（i.1a ），得11()()(,())n n t n n t u t u t f t u t dt ++=+⎰ （i.5）用各种数值积分公式计算（i.5）中的积分，便导致各种不同的差分法。

车辆工程（专业代码：授予工学硕士学位）一、培养目标培养从事车辆工程领域科学研究与开发应用、工程设计、技术攻关与技术改造、新技术推广与应用以及技术管理等方面的高级工程技术人才，能够掌握扎实的基础理论知识并运用现代科技知识解决企业实际生产中的工程技术问题。

要求本领域的工程硕士掌握本学科内扎实的基础理论和系统的专业知识，了解本学科的现状和发展趋势，掌握车辆的现代设计理论、机电液一体化技术、现代电子技术、现代控制技术、现代测试技术和必要的实验技能，应较熟练地掌握一门外国语，能顺利阅读本工程领域的科技资料及文献，能较熟练地掌握工程主流软件的应用。

二、学科、专业及研究方向简介主要从事汽车结构现代化设计制造，汽车车身工程，汽车材料工程，汽车电子控制及智能化技术等方向的研究。

多年来在车身数字化设计制造、汽车涂装、汽车工业装备自动化控制、重型汽车车架与前后桥及客车骨架的现代化设计等方面在国内享有很高的声誉，先后完成国家、省和企业的108、154T矿用汽车，高速公路客车，豪华客车等设计研究工作。

研制了汽车自动变速箱检测试验台、电动助力转向试验台。

本硕士点先后出版了“重型汽车现代化设计”教授专著，“代用燃料”、“汽车安全行驶与事故分析”和“汽车电子控制技术与故障诊断”等三本专著，先后在国内外学术会议和重要学术刊物上发表论文三十余篇，“阶梯轴最佳设计”等四项研究获国家专利，该硕士点教师的研究先后获得国家科技进步二等奖、汽车工业科技进步一等奖、交通部科技进步一等奖各一次，其它省部级奖项若干。

目前，正承担国家863 攻关项目和国家973项目以及与国内外重要汽车企业的合作项目。

本学科点现拥有基础教学实验中心，中心装备有包括汽车底盘测功机、车辆综合性能检测仪、车身扭转及局部刚度试验台、发动机测试系统等在内的一批重要仪器设备，可以完成与本专业相关的多种实验和测试工作。

主要研究方向及其内容：1．车辆数字化工程研究汽车车身、底盘及零部件的数字化建模、力学仿真分析、结构优化设计的理论、方法和关键技术，以及相应的软件工程技术。

双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程()0=∂∂+∂∂xux a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组0=∂∂+∂∂xt uA u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。

（c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）()022=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-∂∂x u x a x t u()x a 为非负函数（d ）二维，三维空间变量的波动方程0222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂y u x u t u 022222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u xu t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 22222xu a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。

（1.1）可表示为：022222=∂∂-∂∂xu a t u ，进一步有0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂u x a t x a t由于xat ∂∂±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数（=dt du dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂xua t u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向 （1.3） adx dt 1±=解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。

特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。

比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。

（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。

由复合函数的微分法则212211C uC u x C C u x C C u x u ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ x C C u C u C x C C u C u C x u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂2212121122 222122212212C u C C u C C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂= 2222122122C uC C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂= 同理可得a t t a t C -=∂∂-=∂∂1，a tC=∂∂2 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212211C u C u a t C C u t C C u t utC C u C u a C u t C C u C u a C t u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂2122112122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂-=21222222221222C C u C u a C u C C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂=22221221222C u C C u C u a 将22x u ∂∂和22tu∂∂代入（1.1）可得： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂22221221222C u C C u C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂+∂∂=22221221222C u C C u C u a 即有0212=∂∂∂C C u求其对2C 的积分得：()11C f C u=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。