重庆市万州分水中学高中数学《2.1.2类比推理》导学案新人教A版选修1-2

课前预习 案
课堂探究案
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
1.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较
合适( )
A.三角形
B.梯形 C.平行四边形 D.矩形
解析:从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方
面考虑,用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适.
答案:C
2.平面内平行于同一直线的两直线平行,由此类比到空间中我们可
������
=
-√13-1 2
舍去
.
答案:C
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3 变式训练 解决问题“求方程 3x+4x=5x 的解”有如下的思路:
方程 3x+4x=5x 可变为
3 5
������
+
4 5
������
体积为 V,则 r=
()
A.������1+������2+������������3+������4 C.������1+������23+������������3+������4
B.������1+������22+������������3+������4 D.������1+������24+������������3+������4
1 + 1 + √1 + …=x,两边同时平方,得 1+ 1 + 1 + √1 + …=x2,

圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中 点的连线垂直于弦
球的性质
球心与截面圆(不是大圆) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相Байду номын сангаас的两弦相 等；
与圆心距离不等的两弦不 等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面 圆是等圆；
与球心距离不等的两截面 圆不等，距球心较近的截 面圆较大
圆的切线垂直于经过切点 的半径；
…
…
类比推理
如图，已知 O 是△ABC 内任意一 点，连结 AO、BO、CO 并延长交对边分别于 A′、 B′、C′，则OAAA′′＋OBBB′′＋OCCC′′＝1.
这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”． OAAA′′＋OBBB′′＋OCCC′′＝SS△△OABBCC＋SS△△OABCCA＋SS△△OABACB＝SS△ △AABBCC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体 V－BCD，存在什 么类似的结论？并用“体积法”证明．
时，前 n 项和 Sn＝5n2－1＋2＝5n－ 2 1.
52n，n为偶数， 即 Sn＝5n－ 2 1，n为奇数.
类比不当致误
•
在下列类比推理中，正确的有
_____________．
• ① lo把gaxa＋(bl＋ogca)y与；loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝ • ②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝
2．已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公
底×高 式 S＝ 2 ，可推知扇形面积 S 扇等于( )
r2 A. 2
B．l22
lr C. 2 [答案] C
D．不可类比
[解析] 三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应扇

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理 第2课时 类比推理 课后篇巩固提升 1.给出下列三个类比结论:①类比a x ·a y =a x+y ,则有a x ÷a y =a x-y;②类比log a (xy )=log a x+log a y ,则有sin(α+β)=sin α+sin β;③类比(a+b )2=a 2+2ab+b 2,则有(a+b )2=a 2+2a ·b+b 2.其中正确结论的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3①正确;根据正弦函数的运算性质知②错误;根据向量的运算性质知正确,因此正确结论有2个.2.在等差数列{a n }中,有结论a 1+a 2+…+a 88=a 4+a 52,类比该结论,在等比数列{b n }中,可有结论( ) A.a 1+a 2+…+a 88=a 4+a 52B.√b 1+b 2+…+b 88=√b 4+b 5 C.√b 1b 2…b 8=√b 4b 5D.√a 1a 2…a 88=√a 4a 5b 1b 8=b 2b 7=b 3b 6=b 4b 5,所以√b 1b 2…b 88=√(a 4a 5)48=√a 4a 5,故选D .3.设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r=2aa +a +a ;类比这个结论可知:四面体P-ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球的半径为r ,四面体P-ABC 的体积为V ,则r=( ) A.aa 1+a 2+a 3+a 4B.2aa 1+a 2+a 3+a 4C.3aa1+a 2+a 3+a 4D.4aa1+a 2+a 3+a 4ABC 的三条边长a ,b ,c 类比到四面体P-ABC 的四个面面积S 1,S 2,S 3,S 4,将三角形面积公式中系数12,类比到三棱锥体积公式中系数13,从而可知选C .证明如下:以四面体各面为底,内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ,所以V=13S 1r+13S 2r+13S 3r+13S 4r ,故r=3aa 1+a 2+a 3+a 4.4.在平面直角坐标系内,方程aa +aa =1表示在x 轴、y 轴上的截距分别为a 和b 的直线,拓展到空间,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为a ,b ,c (abc ≠0)的平面方程为( ) A .aa +aa +aa =1B .a aa +a aa +aaa =1C .aa aa +aa aa +aaaa=1 D .ax+by+cz=1 解析从方程aa+a a=1的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是a a+a a+aa=1. 答案A5.若数列{a n }是等差数列,则数列{b n }b n =a 1+a 2+…+a aa也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n }是等比数列,且{d n }也是等比数列,则d n 的表达式应为( ) A.d n =a 1+a 2+…+a aa B.d n =a 1·a 2·…·a a aC.d n =√c 1n +c 2n +…+c n n naD.d n =√a 1·a 2·…·a a a{a n }是等差数列,则设其首项为a 1,公差为d ,则a 1+a 2+…+a n =na 1+a (a -1)2d ,∴b n =a 1+a -12d=a 2n+a 1-a2,即{b n }为等差数列;若{c n }是等比数列,则设其首项为c 1,公比为q ,则c 1·c 2·…·c n =a 1a ·q 1+2+…+(n-1)=a 1a ·a a (a -1)2,∴d n =√a 1·a 2·…·a a a =c 1·aa -12,即{d n }为等比数列.故选D .6.在平面几何中,△ABC 中的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为aaaa =aaaa (如图①).把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD 中(如图②),平面DEC 平分二面角A-CD-B 且与AB 相交于点E ,则得到的结论是 .图①图②,可得aaaa =a △aaaa △aaa.=a △aaaa△aaa7.圆的面积S=πr 2,周长C=2πr ,两者满足C=S'(r ),类比此关系写出球的公式的一个结论是 .,球的体积V=43πR 3,表面积S=4πR 2,满足S=V'(R ).V=43πR 3,表面积S=4πR 2,满足S=V'(R )8.解决问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下思路:方程3x+4x=5x可变为(35)a +(45)a=1,由函数f (x )=(35)a +(45)a可知,f (2)=1,且函数f (x )在R 上单调递减,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解法,可得到不等式x 6-(2x+3)>(2x+3)3-x 2的解集是 .x 6+x 2>(2x+3)3+(2x+3),构造函数f (x )=x 3+x ,显然函数f (x )在R 上单调递增,而f (x 2)>f (2x+3),所以x 2>2x+3,解得x>3或x<-1.-∞,-1)∪(3,+∞)9.若数列{a n }满足a 1=1,a n +a n+1=(14)a,设S n =a 1+4a 2+42a 3+…+4n-1a n (n ∈N *),类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法,试求5S n -4na n .,S n =a 1+a 2×4+a 3×42+…+a n ×4a -1,①两边同乘以4,得4S n =a 1×4+a 2×42+…+a n-1×4a -1+a n ×4n,②由①+②,得5S n =a 1+(a 1+a 2)×4+(a 2+a 3)×42+…+(a n-1+a n )×4a -1+a n ×4n.又a 1=1,a n +a n+1=(14)a, 所以a 1+a 2=14,a 2+a 3=(14)2,所以5S n =1+1+…+1⏟ a 个1+a n ×4n.故5S n -4na n =n.。

学习目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导学习重点：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导学习过程：一、复习引入：1.分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k 种途径，由第1种途径有n 1种方法可以完成，由第2种途径有n 2种方法可以完成，……由第k 种途径有n k 种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n 1+n 2+……+n k 种不同的方法。

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K 个步骤，完成第1步有n 1种不同的方法，完成第2步有n 2种不同的方法，……，完成第K 步有n K 种不同的方法。

那么，完成这件工作共有n 1×n 2×……×n k 种不同方法二、学习新课：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．顺序．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：求m n A 以按依次填m 个空位来考虑(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+，排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+=!()!n n m -（,,m n N m n *∈≤） 说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）4、典例分析例1．计算：（1）316A ； （2）66A ； （3）46A ．例2．（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ．例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导课堂练习：(1)解方程：A 42x ＋1＝140A 3x ；(2)解不等式：A x 9>6A x －26.第二课时 1.2排列答案4、典例分析例1．解：（1）316A ＝161514⨯⨯＝3360 ；（2）66A ＝6!＝720 ；（3）46A ＝6543⨯⨯⨯＝360例2．解：（1）n = 17 ，m = 14 ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----＝ 1569n A -．例3．解：（1）255420A =⨯=；（2）5554321120A =⨯⨯⨯⨯=；（3）2141413182A =⨯= 课堂练习：解 (1)根据原方程，x (x ∈N *)应满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3， 解得x ≥3.根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2) ＝140x ·(x －1)·(x －2)，因为x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得 (2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3或x ＝234(x ∈N *，应舍去)． 所以原方程的解为x ＝3.(2)根据原不等式，x (x ∈N *)应满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤9，x －2≤6，x >0，x －2>0，故2<x ≤8.又由A x 9>6A x －26，得9！(9－x )！>6×6！(8－x )！，所以849－x>1， 所以－75<x <9.故2<x ≤8，所以x ∈{3,4,5,6,7,8}．。