2014年中考数学二轮复习：探究型问题解答技巧
所谓存在性探究、探索题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题。这类问题构思巧妙，对考察学生思维的敏锐性、推理的严密性具有独特的作用。存在性试题近年来频繁出现在中考试卷及各类竞赛考试中，主要以解答题的形式出现，其内容涉及到代数、几何等各知识点。
对存在性探索问题的解法思路一般是：先假设结论的某一个方面成立，通过结合已知条件数学公式、定理进行演算、推理论证，得到某一结论。如果推理、演算得到的结论与某个已知条件、某个公式、定理相矛盾，说明我们前面的假设不成立；若通过推理、计算，得到的结论符合已知条件、公式、定理（包括客观的事实），说明我们前面的假设成立；整个过程可以概括为：“假设„„„推理„„„„否定或肯定结论„„„„得到结论”
例1：如图所示，已知A(1,0)、B，C、D为直角坐标系内两点，点C在x轴负半轴上，且OC=2OA，以A点为圆心、OA为半径作⊙A。直线CD切⊙A于D点，连结OD。
（1）求点D的坐标；
（2）求经过O、B、D三点的抛物线解析式；
（3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD？若存在，求出P点坐标；不存在，请说明理由。
分析：本例中第（3）小题是结论探索型题目。欲判断在第2小题中得到的抛物线上是否存在一点P，使ΔDCP∽ΔOCD，可从代数、几何两个方面入手去考虑。从代数入手，可先求抛物线与x轴的交点坐标，然后证明该点在⊙A上，进而证明该点满足条件ΔDCP∽ΔOCD。从几何入手，可先考虑⊙A与x轴的另一交点（设为F）。不难证明ΔDCF∽ΔOCD。再证明点在（2）中所得的抛物线上，进而知F即为P点。
解：（1）连结AD，则AD⊥CD于D,作DE⊥OA于E。
∵点A坐标为（1，0），且OC=2OA，∴AC=3，
∵sin∠ACD=,∴sin∠ADE=,
∴AE=,因而OE=1－=，
§7.8 空间距离及立体几何中的探索性问题 学习目标
1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.
2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件． 知识梳理
1．点到直线的距离
如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP→＝a，则向量AP→在直线l上的投影向量AQ→＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP→|2－|AQ→|2＝a2－a·u2.
2．点到平面的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP→在直线l上的投影向量QP→的长度，因此PQ＝AP→·n|n|＝AP→·n|n|＝|AP→·n||n|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( × )
(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．( × )
(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．( √ )
(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.( × )
教材改编题
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( ) A．10 B．3 C.83
D.103
答案
D
解析
由条件可得P(－2,1,4)到α的距离为
|AP→·n||n|＝|－1，－2，4·－2，－2，1|3＝103.
2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为( )
A.2 B．2 C.22 D.322
答案 A
解析 由正方体性质可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离，连接A1C1，交B1D1于O1(图略)，A1O1的长即为所求，由题意可得A1O1＝
课件园
- 1 - 2014年中考数学复习专题讲座四：探究型问题
一、中考专题诠释
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．
二、解题策略与解法精讲
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
三、中考考点精讲
考点一：动态探索型：
此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．
例1 （2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
1 2021年中考数学复习——几何探究型问题
班级
姓名
1. （2020年湖南长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M、N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F。
（1）PMPEPQPF
（2）若MNPMPN•2，则NQMQ
2.（2020年湖南岳阳中考）如图，AB为半⊙O的直径，M，C是半圆上的三等分点，8AB，BD与半⊙O相切于点B，点P为AM上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BEOC于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）
①PBPD；②BC的长为43；③45DBE；④BCFPFB△∽△；⑤CFCP为定值．
3.（2020年湖南湘西中考）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，90BAD，90BCD，BABC，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE△≌△，再证明BFCBFE△≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，90BAD，90BCD，BABC，2ABCMBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BABC，180BADBCD，2ABCMBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
