20071102高一数学(3.1.2用二分法求方程的近似解)

3，4，5题
提出问题
一元二次方程可以用公式求根,但是没有公 式可以用来求方程lnx+2x-6=0的根,能否 利用函数的有关知识来求它的根呢？
Z.x.x. K
研讨新知
我们已经知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内有零点；进一步的问题是，如何找到这个 零点呢？
如果能够将零点的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下,我们 我要说 可以得到零点的近似值.
;… 在有限次重复相同的步骤后,在一定的精度 下,可以将所得到的零点所在区间上任意的 一点(如:端点)作为零点的近似值。
例 根据下表计算函数f (x) lnx 2x 6 在区 间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
解:观察上表知:0.007813<0.01, 所以x=2.53515625≈2.54为函数 给这种方法取个名字? f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。
(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 (2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) (3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b)) 4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b)；否则得复2～4
作业
P92习题3.1A组：
A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) 0 ·1 ·2
C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞)
略解:由题意f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(-1)<0.得 :d=0,a+b+c=0,8a+4b+2c=0,-a+b-c<0.求得 b<0.选A.
例4.已知函数 f (x) mx2 (m 3)x 1 的图象 与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实 数m的取值范围是( ).

知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
(2)要找出稍重的球， 尽量将稍重的球所在的范围 尽量的缩小， 我们通过不断地 “平分球” 、 “锁定” 、 “淘汰”的方法逐步缩小稍重的球所在的范围， 直到满意为止.
(3)这种“平分球”的方法，就是“二分法”的体现.
新知展现
1.二分法的定义
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围(区间).
知识探究(一)：二分法的概念
思考3：通过阅读教材，你知道是用什么办 法将零点所在范围(区间)缩小的?
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围(区间).
ab 一般地，我们把 x 称 2
为区间(a,b)的中点.
知识探究(一)：二分法的概念
另 种 情 况 为
一样重
知识探究(一)：二分法的概念
一分为二(3)
另 种 情 况 为
一样重
被选出的球为最重的球.
知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
知识探究(一)：二分法的概念

D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求 零点． 答案： B
[题后感悟] 二分法的理论依据是零点存在定 理，必须满足零点的两侧的函数值异号才能求 解，所以理解好零点存在定理才能正确地使用 二分法．
1.下列函数中，能用二分法求零点的 为( )
解析： 须符合连续不间断且零点附近对应函 数值符号相异，故选B. 答案： B
f(1.25)＝－ 0.984
f(1.375)＝－ f(1.437 5)＝ f(1.406 25)＝－
0.260
0.162
0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确
到0.1)为( )
A．1.5
B．1.4
C．1.3
D．1.2
解析： ∵|1.437 5－1.375|＝0.062 5＜0.1 ∴f(x)的零点近似值可取1.437 5≈1.4或
且|0.006 4－(－0.049 4)|＝0.055 8<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.225.
【错因】 本题错解的原因是对精确度的理 解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|<ε， 而本题错解中误认为是|f(a)－f(b)|<ε. 【正解】 令f(x)＝x2－5， 因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0， 所以f(2.2)·f(2.4)<0，
4．求下列函数的零点个数． (1)f(x)＝2x＋2x－6； (2)f(x)＝log12x＋2x－3.
解析： (1)2x＋2x－6＝0，即2x＝6－2x，在 同一坐标系中作出y＝2x和y＝6－2x的图象， 如图(1)，可知有一个交点． 故函数f(x)＝2x＋2x－6有一个零点．
(2)在同一坐标系内作出 y＝log12x 和 y＝3－2x 的图象，如图(2)，可知有两个交点，故 f(x)＝log12 x＋2x－3 有两个零点．

方法点评 用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解的基本 步骤: 1.寻找解所在区间 （1）图象法 先画出y = f(x)图象，视察图象与x轴的交点横坐标所 处的范围；
或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,视察两图象的交点横坐 标的范围. （2）函数法 把方程均转换为 f(x)=0的情势，再利用函数y=f(x) 的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间.
2.y=f(x)满足f(a)f(b)<0，则在(a,b)内必有零点.
思考：对下列图象中的函数，能否用二分法求函数零
点的近似值？为什么？ y y
o
x
o x
不行,因为不满足 f(a)*f(b)<0
1.二分法的原理 2.二分法的应用：求方程近似解
世间没有一种具有真正价值的东西，可以 不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
列出下表：
根所在区间
区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
（2，3）
f(2)<0,f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
（2.5，3） （2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(3)>0 2.75 f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625
f(2.75)>0 f(2.625)>0
（2.5，2.625）
x 0 1 23 4 5 6 7
8
f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
因为f(1)·f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在（1，2）内
有零点x0,取（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)≈ 0.33，
因为f(1)·f(1.5)<0 所以x0 ∈（1，1.5） 取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因