当前位置：文档之家 › 全等三角形与相似三角形

全等三角形与相似三角形

  • 格式：doc
  • 大小：276.00 KB
  • 文档页数：4

全等三角形与相似三角形
◆考点分析
三角形的全等与相似是解决数学中图形问题的两个重要的工具，也是初中数学的重点内
容，因此也是中考的重要考查内容。主要考查以下几方面的内容：1．会运用三角形全等、
相似的性质与判定进行有关的计算和推理。2．能运用三角形全等与相似的知识解决相关的
实际问题。3．能探索解决一些与三角形全等、相似有关的综合性题型。
◆典型例题
例1（2006·金华市）如图，△ABC与△ABD中， AD与BC相交于O点，∠1=∠2,请你
添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD,并给出证明.
你添加的条件是: ．
证明:
【解题分析】可以添加的条件有：AD＝BC；
OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC等.
以添加条件AD＝BC为例证明：
∵ AB=AB，∠1＝∠2，BC＝AD，
∴ △ABC≌△BAD．
∴ AC=BD．
【每题一得】条件或结论的探究性题型或者是组合命题型题型越来越多地出现在各地的
中考题中，这样的题型体现了较高的灵活性和开放性，比较全面地考察了全等相关的知识。
【同类变式】（2006·贺州市）如图，ABCD，相交于E，现给出如下三个论断：
①AC；②ADCB；③AECE．
请你选择其中两个论断为条件，另外一个论断为结论，构造一个命题．
（1）在构成的所有命题中，真命题有 个．
（2）在构成的真命题中，请你选择一个加以证明．

你选择的真命题是：______（用序号表示）．

例2 (2007南京)如图,在梯形ABCD中，ADBC∥，6ABDCAD，
60ABC
，点EF，分别在线段ADDC，上（点E与点AD，不重合），且

120BEF
，设AEx，DFy．

⑴ 求y与x的函数表达式；

A
D
C

E

B
Ａ
Ｅ
Ｄ

Ｆ

Ｃ
Ｂ
⑵ 当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
【解题分析】⑴ 由18012060AEBABE∠∠和
18012060AEBDEF∠∠
得ABEDEF∠∠．

从而可得ABEDEF△∽△y与x的函数表达式是216yxx
【每题一得】抓住运动变化过程中的不变量是解决运动变化问题的关键.
【同类变式】(2007长沙)如图，□ABCD中，4AB，3BC，120BAD∠，
E
为BC上一动点（不与B重合），作EFAB于F，FE，DC的延长线交于点G，设
BEx，DEF△的面积为S
．

（1）求证：BEFCEG△∽△；
（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；
（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

例3（2007浙江义鸟）．如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形
纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如
图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统
一用F表示）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
⑴ 将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平
移的距离；
⑵ 将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，
请你求出线段FG的长度；
⑶ 将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦
DH.
【解题分析】⑴ 图形平移的距离就是线段BC的长
又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30，∴BC=5cm，
∴平移的距离为5cm．
⑵ 解Rt△EFD即可
⑶ 证明△AHE≌△1DHB
【每题一得】掌握图形的平移、旋转、翻折等图形变换规律是解决此类问题的关键。

A
C
B

D
E
F
G

图1 图2 图3
图4 图5 图6
【同类变式】（2007济宁）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B
点叠在折痕线上，得到△ABE。过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ。
⑴ 求证：△PBE∽△QAB；
⑵ 你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；
⑶ 如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？

◆当堂反馈
1．（2007福州）如图1，点DE，分别在线段ABAC，上，BECD，相交于点OAEAD，，
要使ABEACD△≌△，需添加一个条件是 （只要写一个条件）．

(1) (2)
(3)
2．某学生想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为
1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因为大树靠近教学楼，有一部分影子在
墙上，经过测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么，这棵大树高为
米.
3．（2007怀化）如图2：111ABC，，分别是BCACAB，，的中点，2A，2B，2C分别是11BC，

11AC，11AB的中点这样延续下去．已知ABC△的周长是1，111ABC△的周长是1
L
，

222ABC△的周长是2nnnLABC的周长是nL，则n
L
．

4．（2007年芜湖市）如图3， 在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD
、
CE交于点H，已知EH=EB=3、AE=4，则CH的长是 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
5．（2007南充）如图2，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的
中线还是角平分线？请说明你判断的理由．

A D C B N M A D C B Q
E P
N

A
B
C

D

F

合集下载

全等与相似模型-对角互补模型(学生版)-2024年中考数学常见几何模型

全等与相似模型-对角互补模型(学生版)-2024年中考数学常见几何模型

全等与相似模型-对角互补模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、旋转中的对角互补模型对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。

常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-(180°-2α)对角互补模型。

1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)条件：如图，已知∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB.结论：①CD=CE，②OD+OE=2OC，③S ODCE=S△COE+S△COD=12OC2.2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB.结论：①CD=CE，②OE-OD=2OC，③S△COE-S△COD=12OC2.3)“等边三角形对120°模型”(1)条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB.结论：①CD=CE，②OD+OE=OC，③S△COD+S△COE=34OC2.4)“等边三角形对120°模型”(2)条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，结论：①CD=CE，②OD-OE=OC，③S△COD-S△COE=34OC2.5)“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。

三角形的相似性和全等性质

三角形的相似性和全等性质

三角形的相似性和全等性质在数学中，三角形是一个重要的概念。

从几何角度来看，三角形是一个有三条边和三个内角的图形。

研究三角形的性质对于解决几何问题和证明数学定理都具有重要的意义。

本文将重点讨论三角形的相似性和全等性质，探讨它们的定义、判定方法以及一些重要的性质。

一、相似性的定义和判定方法相似性是指两个或多个图形在形状上具有相似的特点。

对于三角形来说，我们经常讨论的是三角形的相似性。

两个三角形相似的条件有两种：AAA相似条件和AA相似条件。

1. AAA相似条件当两个三角形的三个内角分别相等时，它们是相似的。

也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF的内角A等于内角D、内角B等于内角E、内角C等于内角F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。

2. AA相似条件当两个三角形的两个对应角分别相等时，它们是相似的。

也就是说，如果三角形ABC和三角形DEF的角A等于角D且角B等于角E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。

通过上述相似条件，我们可以方便地判定两个三角形是否相似。

相似的三角形具有一些重要的性质，例如边长比例相等、角度相等、面积比例相等等，在几何问题中广泛应用。

二、全等性的定义和判定方法全等性是指两个图形在形状和大小上完全相等。

对于三角形来说，全等性也是一个重要的性质。

两个三角形全等的条件有三种：SSS全等条件、SAS全等条件和ASA全等条件。

1. SSS全等条件当两个三角形的三条边分别相等时，它们是全等的。

也就是说，如果三角形ABC的边AB等于边DE、边BC等于边EF、边CA等于边FD，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。

2. SAS全等条件当两个三角形的两个对应边和对应夹角分别相等时，它们是全等的。

也就是说，如果三角形ABC的边AB等于边DE、边BC等于边EF且夹角B等于夹角E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。

3. ASA全等条件当两个三角形的两个对应角和对应边分别相等时，它们是全等的。

初中数学知识归纳相似与全等三角形的判定

初中数学知识归纳相似与全等三角形的判定

初中数学知识归纳相似与全等三角形的判定初中数学知识归纳: 相似与全等三角形的判定在初中数学中，相似与全等三角形的判定是常见的几何问题。

通过对相似与全等三角形的认识和判定，我们可以解决很多与三角形有关的问题。

本文将对相似与全等三角形的判定进行归纳总结，并提供一些相关的例题分析。

通过阅读本文，希望可以帮助大家更好地理解和应用这一重要的数学知识点。

一、相似三角形的判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。

相似三角形的判定条件主要有以下几种：1. AAA相似判定法当两个三角形的对应角度相等时，我们可以判定它们为相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的三个内角相对应分别相等，即三个对应角度分别相等，那么这两个三角形就是相似的。

例如，已知∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE, ∠BAC = ∠EDF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。

2. AA相似判定法当两个三角形的两个对应角度相等，并且它们的对应两边成比例时，我们可以判定它们为相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的两个对应角分别相等，并且两个对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

例如，已知∠ABC = ∠DEF, ∠BAC = ∠DFE，并且 AB/DE =BC/EF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。

3. SSS相似判定法当两个三角形的对应边的比值相等时，我们可以判定它们为相似三角形。

具体而言，如果两个三角形的对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。

例如，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。

二、全等三角形的判定全等三角形是指形状和尺寸都完全相同的两个三角形。

全等三角形的判定条件主要有以下几种：1. SSS全等判定法当两个三角形的三个对应边的长度完全相等时，我们可以判定它们为全等三角形。

具体而言，如果两个三角形的三个对应边长度分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

三角形的相似与全等试题

三角形的相似与全等试题

三角形的相似与全等试题相似与全等是几何学中非常重要的概念，它们可以帮助我们研究和解决许多与三角形相关的问题。

本文将通过一系列试题，详细讨论三角形的相似与全等的性质和应用。

1. 试题一：已知△ABC与△DEF相似，∠B=60°，∠F=45°，BC=6cm，EF=9cm，求△ABC与△DEF的边长比例及各边长的实际长度。

解答：根据相似三角形的性质，我们知道对应角相等，对应边成比例。

根据题目信息，我们可以得到以下等式：∠B = ∠F (已知)∠C = 180° - 60° - ∠B = 120°∠E = 180° - 45° - ∠F = 135°根据对应角相等，我们可以得到以下比例：AB/DE = BC/EF = AC/DFAB/9 = 6/9AB = 2cm利用正弦定理求得AC的长度：sin120°/AB = sin45°/ACAC = AB * (sin120°/sin45°) ≈ 2 * (√3/2) ≈ √3 cm根据比例可得到DF的长度：AB/DE = AC/DF2/9 = (√3)/DFDF = 9/(2√3) = (9√3)/6 = (3√3)/2 cm因此，△ABC与△DEF的边长比例为1：9/2：√3，实际长度为2cm：(9√3)/2 cm：√3 cm。

2. 试题二：已知△ABC与△DEF全等，AB=5cm，BC=6cm，∠C=90°，DF=8cm，DE=10cm，求△ABC与△DEF的第三边长度。

解答：根据全等三角形的性质，我们知道两个三角形对应的边长相等，对应的角度也相等。

根据题目信息，我们可以得到以下等式：AB = DE (全等)BC = EF (全等)∠C = ∠F (全等)我们需要求解△ABC的第三边长度AC。

由于△ABC是直角三角形，我们可以利用勾股定理求解AC的长度：AC² = AB² + BC²AC² = 5² + 6²AC = √(25 + 36) = √61 cm因此，△ABC与△DEF的第三边长度分别为√61 cm和8 cm。