全等、相似三角形练习题
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全等三角形练习
1、 已知，如图7，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别是D 、E ，BD 、CE 交于点F ，且AF 平分∠CAD 。
求证：FB=FC 。
2．已知：如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰三角形. 求证：（1）BD=CE ；（2）∠1=∠2.
3．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为AB 上一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥DC 交CD 的延长线于F ．求证：BF=CE ．
4、在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
F
E D
C
B A
相似三角形练习题
一、解答题：
1、已知()3:2:=-y y x ，求
y
x y
x 2352-+的值。
2、如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，且AC ＝6厘米，AD ＝4厘米，求AB 与BC 的长
3、如图，△ABC 中，若BC ＝24厘米，BD ＝
3
1
AB ，且DE ∥BC ，求DE 的长。
4、如图，Rt ΔABC 中斜边AB 上一点M ，MN ⊥AB 交AC 于N ，若AM ＝3厘米，AB ：AC ＝5：4，求MN 的长。
C A B
C D E B F C C B M N A
二、证明题：
5、已知：如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是AB 的中点，直线ED 分别与对角线AC 和BC 的延长线交于M 、N 点 求证：MD ：ME ＝ND ：NE
证明：
6、已知：如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC ＝1：2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，求证：BF ：FC ＝1：3。
证明：
7. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．
（1）求证：
EG CG
AD CD
=
； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂
直，请说明理由；
（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．（12分） 证明：
N D C A E B M A B
D E
F
C
F
A G
C
E
D B
8、（14分）如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为
t 秒．
（1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；
（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由． 解：
N
7. （1）证明：在ADC △和EGC △中，
Rt ADC EGC ∠=∠=∠，C C ∠=∠ ADC EGC ∴△∽△ EG CG
AD CD
∴=
3分 （2）FD 与DG 垂直
4分
证明：在四边形AFEG 中，
90FAG AFE AGE ∠=∠=∠= ∴四边形AFEG 为矩形AF EG ∴=
由（1）知
EG CG AD CD =
AF CG
AD CD
∴= 6分
ABC △为直角三角形，AD BC ⊥FAD C ∴∠=∠AFD CGD ∴△∽△ ADF CDG ∴∠=∠
8分 又90CDG ADG ∠+∠=90ADF ADG ∴+∠=即90FDG ∠=FD DG ∴⊥
10分
（3）当
AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形，
理由如下：
AB AC =，90BAC ∠=AD DC ∴=
由（2）知：AFD CGD △∽△1FD AD
GD DC
∴==FD DG ∴= 又90FDG
∠=FDG ∴△为等腰直角三角形
12分
8. （1）3
4
PM
=
，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，
AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴
=即()
PM a t t a t PM t a a
--==，， (1)
3t a QM a
-∴=- 当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22
QP AD DQ MP BN BM
++=
()33(1)()22t a t t a a t t t
a a -⎛⎫⎛⎫
-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭==化简得66a t a
=+，
3t ≤，636a
a
∴
+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）
36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等
∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =
()3t a t t a ∴-
=-，把66a t a
=
+代入，解之得a =±
，所以a =． 所以，存在a ，当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．
F
A G
C
E
D B。
