高中数学3-2第3课时空间向量与空间角

《空间向量与线面角》教学设计一、教学目标【知识目标】1.通过回顾线面角的概念，推导出用向量方法解决斜线面角的计算公式。

2.掌握用向量方法解决斜线面角的计算公式。

【过程与方法】通过用向量方法判断位置关系的复习，猜想线面角涉及到直线的方向向量和法向量，并根据具体的例子，抽象到一般情况下的公式，进而总结方法并应用。

【情感态度价值观】在课堂导入过程中，感受数学史上笛卡尔的创造性作用；在课堂生成过程中，体会从一般到特殊的化归思想。

在小组合作探究中激发学生的学习兴趣，培养学生的合作意识。

二、教学重点、难点重点：理解斜线面角的向量方法，推导并熟练运用公式进行计算。

难点：理解斜线面角的向量方法和公式，熟练应用并正确计算。

三、教法学法分析本节是的主要内容是用空间向量的方法解决线面角，主要是斜线面角。

本节课需要很多预备知识，包括线面角的概念、直线的方向向量和平面的法向量等等，这些知识如果铺垫好，将更容易让学生理解线面角的向量方法。

所以本节课拿出了不少时间，跟学生一起回忆这些内容。

“磨刀不误砍柴工”，学生有了这些基础后，就可以实现自主探究，通过具体的直线方向向量和平面法向量的角度关系，探索到一般的计算公式，整体上水到渠成。

因此，本节课主要以教师提出问题并引导，学生自主探究并总结的方式进行；在熟练掌握的过程中，先引导学生解题，再由学生自主完成，讲练结合。

信息技术为本节课提供了方便，学生练习的信息反馈更加快捷，使课堂效率大幅提高。

四、教学基本流程五、教学过程我们之前学习的线面角概念和范围是什么？回忆线面角的概念和范围通过回忆概念，把垂线和斜线的位置关系对应为方向向量和法向量，为后面探究做铺垫ppt辅助演示提纲合作探究（1）如果平面的法向量n与直线的方向向量a所成角是60o，则线面角θ的大小是多少？（2）如果平面的法向量n与直线的方向向量a所成角是120o，则线面角θ的大小是多少？（3）如果平面的法向量n与直线的方向向量a所成角是ϕ，则线面角θ的大小是多少？小组站立讨论，配合提前准备的道具，将问题转化为直观实物图形，谈论总结，小组代表发言从具体的角度出发，学生能够比较容易的发现向量夹角与线面角90o的关系，为后面转化三角函数名做铺垫ppt辅助呈现问题屏幕广播能让每小组不会因为站讨论而互相遮挡如果是方向向量和法向量之间的夹角不是特殊的三角函数值，那我们能否也能找出他们与线面角之间的关系呢？转换三角函数名，推导得出公式sin引导学生发现公式ppt辅助演示提纲例题精讲直三棱柱111ABC A BC-中，AB=3,AC=AA1=4, ∠BAC=90o,求直线11BC与平面11ABC所成角的正弦值引导学生计算，并订正答案除了线面角的向量公式，其他的计算内容学生都已学过，只需引导学生需要计算的内容即可。

→ n·AC1 λ → 〉＝ ∴cos〈AC1，n〉＝ 〈 ＝－ . 2|λ| → |n||AC1| 1 → ∴|cos〈AC1，n〉|＝ . 〈 〉＝ 2 ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.
求平面与平面所成的角 利用向量法求二面角的步骤： 利用向量法求二面角的步骤： (1)建立适当的空间直角坐标系； 建立适当的空间直角坐标系； 建立适当的空间直角坐标系 (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向 量； (3)求出两个法向量的夹角； 求出两个法向量的夹角； 求出两个法向量的夹角 (4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角； 判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角； 判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角 (5)确定出二面角的平面角的大小． 确定出二面角的平面角的大小． 确定出二面角的平面角的大小
3．二面角的求法 ． (1)设二面角 α-l-β 的平面角为 θ，平面 α、β 的法 设二面角 ， 、 n1·n2 |n1·n2| |＝ . 向量分别为 n1、n2，则|cosθ|＝| ＝ ＝ |n1|·|n2| |n1|·|n2| (2)二面角的平面角也可转化为两直线的方向向 二面角的平面角也可转化为两直线的方向向 量的夹角：在两个半平面内， 量的夹角：在两个半平面内，各取一直线与棱垂 当直线的方向向量的起点在棱上时， 直．当直线的方向向量的起点在棱上时，两方向 向量的夹角即为二面角的平面角． 向量的夹角即为二面角的平面角．
→ 1 → ，A1D＝(0,2，－ ，于是 cos ， (1)易得 ＝0， ，1 易得EF ，－4)， 易得 ，－ 2 → → EF·A1D 3 → → 〈EF，A1D〉＝ ＝－ . 5 → → |EF||A1D| 3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5 3 → → → ，ED ，－ (2)证明：易知 ＝(1,2,1)，EA1＝－1，－ ，4 证明： 证明 易知AF ， 2 → → → －1，1，0，于是 → ·EA1＝ 0，AF·ED＝0.因此， 因此， ＝ ，2 于是AF ， 因此 AF⊥EA1，AF⊥ED. ⊥ ⊥ 又 EA1∩ED＝E，所以 AF⊥平面 A1ED. ＝ ， ⊥

(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0， ∴u⊥a，∴l⊂α 或 l∥α. ②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，u＝－14a， ∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u 与 a 不共 线，也不垂直，∴l 与 α 斜交．
图2
证明：方法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在 直线分别为x，y，z轴建立如图2所示的空间直角坐标 系．
设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，D1(0,0,2)，C(0,2,0)， B(2,2,0)，O1(1,1,2)，
∴A→D1＝ (－ 2, 0,2)，C→D1 ＝(0，－ 2,2)， B→O1＝ (－ 1，－ 1,2)， ∴B→O1＝12A→D1＋12C→D1， ∴B→O1与A→D1、C→D1共面， ∴B→O1∥平面 ACD1.又 BO1⊄平面 ACD1， ∴BO1∥平面 ACD1.
[点评] 用向量法证明线面平行常用三种方法：一 是证明直线上某个向量与平面内某一向量共线；二是 证明直线上的某个向量与平面内的两个不共线向量共 面，且不在平面内；三是证明直线上某个向量与平面 的法向量垂直．
迁移体验3 如图6，在长方体OAEB－O1A1E1B1中， OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝ 2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是 O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
图3
解析：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量，

解:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),
C(2,1,0),M
1
1, 2 ,1
.
(1)证明:=(2,0,-2), =
∵
3
1,- ,1
2
3
·=(2,0,-2)· 1, − 2 , 1
∴ ⊥ .∴PB⊥DM.
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ= |cos<u,v>|
|·|
=
.
||||
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4.做一做:如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(
1
A.
5
2
B.
5
3
C.
5
4
D.
5
)
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解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空
平面β的夹角为
.
解析:设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),α与β的夹角为θ,
则 cos
π
答案:3
|·|
θ=|cos<u,v>|=||||
=
-1
2× 2
=
1
.所以
2
π
θ=3 .
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【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画“×”.
(1)两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等或互
∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.