高考数学复习考点知识讲解课件21 简单的三角恒等变换

专题二十 简洁的三角恒等变换

【高频考点解读】

1.把握二倍角的正弦、余弦、正切公式．

2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).

【热点题型】

题型一 已知三角函数值求值

例1、已知角A、B、C为△ABC的三个内角，OM→＝(sinB＋cosB，cosC)，ON→＝(sinC，sinB－cosB)，OM→·ON→＝－15.

(1)求tan2A的值；

(2)求2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4的值．

(2)∵tanA＝－34，

∴2cos2A2－3sinA－12sinA＋π4＝cosA－3sinAcosA＋sinA＝1－3tanA1＋tanA ＝1－3×－341＋－34＝13.

【提分秘籍】

对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分状况争辩，应留意公式的正用、逆用、变形运用，把握其结构特征，还要留意拆角、拼角等技巧的运用．

【举一反三】

已知α∈(π2，π)，且sinα2＋cosα2＝62.

(1)求cosα的值；

(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cosβ的值．

【热点题型】

题型二 已知三角函数值求角

例2、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为210，255.

(1)求tan(α＋β)的值；

(2)求α＋2β的值．

又∵α、β为锐角，

∴0＜α＋2β＜3π2，

∴α＋2β＝3π4.

【提分秘籍】

(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤：

①求出该角的范围； ②结合该角的范围求出该角的三角函数值．

(2)依据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的．

5.5.2 简单的三角恒等变换 学习目标

1.能用二倍角公式导出半角公式

2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.

3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．

知识点一 半角公式

sin α2＝±1－cos

α2，

cos

α2＝±1＋cos α2，

tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.

知识点二 辅助角公式

辅助角公式：

asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋θ).其中tan θ＝ba

1．cos α2＝1＋cos α2.( × )

2．对任意α∈R，sin α2＝12cos α都不成立．( × )

3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )

4．对任意α都有sin α＋3cos α＝2sinα＋π3.( √ )

一、三角恒等式的证明

例1 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ. 证明 方法一 左边＝2sin2θ2＋2sin θ2cos θ22cos2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos2θ2＋2sin θ2cos θ22sin2θ2＋2sin θ2cos θ2

＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ＝右边．

所以原式成立．

方法二 左边＝1＋sin θ－cos θ2＋1＋sin θ＋cos θ21＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ

＝21＋sin θ2＋2cos2θ1＋sin θ2－cos2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin2θ＝2sin θ＝右边．

所以原式成立．

反思感悟 三角恒等式证明的常用方法

高考数学知识点：简单的三角恒等变换

一、半角公式(不要求记忆)

典型例题1： 二、三角恒等变换的常见形式

三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．

1、三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．

2、三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．

3、三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．

典型例题2： 三、三角函数式的化简要遵循“三看”原则

1、一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

2、二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

3、三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．

典型例题3： 四、三角函数求值有三类

1、“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

2、“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

3、“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

典型例题4： 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．

典型例题5：

【作者：吴国平】

5．5.2

简单的三角恒等变换

学习目标

1.能用二倍角公式推导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．

知识点一 半角公式

sin α2＝±1－cos α2，

cos

α2＝±1＋cos

α2，

tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos

α＝1－cos αsin

α.

知识点二 辅助角公式

asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋θ).其中tan θ＝ba

1．cos α2＝1＋cos α2.( × )

2．对任意α∈R，sin α2＝12cos α都不成立．( × )

3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )

4．对任意α∈R都有sin α＋3cos α＝2sinα＋π3.( √ )

一、半角公式的应用

例1 已知θ∈5π2，3π且sin θ＝45，求sin θ2，cos θ2，tan θ2的值．

解 ∵θ∈5π2，3π，且sin θ＝45.

∴cos θ＝－35，θ2∈5π4，3π2，

∴sin θ2＝－1＋352＝－255，

cos θ2＝－1－352＝－55，∴tan θ2＝sin

θ2cos θ2＝2.

(学生留)

反思感悟 利用半角公式求值的思路

(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2计算．