如何培养学生的空间观念几何直观与推理能力

如何培养学生的空间观念、几何直观与推理能力
宜都市西湖中学 杨泽清
《数学课程标准》中指出，“空间观念”指能由实物的形状想象出几何图形；由几何图形想象实物形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，能描述实物或几何图形的运动变化；能采用适当的方式描述物体间的相互关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观进行思考。

发展学生的空间观念，除了七年级上册第一章丰富的图形世界和九年级上册视图投影外，还有位置的确定，图形的变换，如轴对称，中心对称，平移，旋转，位似图形等变换的教学内容，都可以发展学生的空间观念，在处理这些内容的时候，我们应该：
一、利用已有平台，让学生从实际生活中积累空间观念
利用学生已有的生活经验，借助于学生生活密切相关的现实事例，设计恰当的教学情境，激发学生的学习几何的兴趣。

通过学生动眼看，动手做，动口说，动耳听，动脑想，发展学生的合情推理能力。

例如收集超市出售一种圆筒状包装的保鲜膜的相关数据，其规格为“20 cm × 60 cm”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别为3。

2 cm ，4。

0 cm ，则该种保鲜膜的厚度约为多少？（π取3。

14，结果保留两位有效数字）解题时利用圆筒状包装的保鲜膜的体积不变列方程求解，圆筒状包装的保鲜膜的体积＝保鲜膜展开后的体积，设保鲜膜的厚度为ｘｃｍ，由题意得方程，再求解。

二、重视一题多解，提升学生数学素养。

北师大版九上数学第三章《证明》（三）要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形中位线定理，会应用定理进行有关的证明和计算；进一步经历探索、猜想、证明的过程，发展自己的推理论证能力。

我觉得数学思想和复习方法与数学基础知识相比，好比渔和鱼，后者是量的积累，前者是质的飞跃。

它为学生提供了“一双认识世界的眼睛”，让学生更好的用数学的方式去理解世界。

在复习课中要将代数知识与几何知识综合应用，不断提升学生的数学素养，基于这种认识，我设计了如下教学案例：
（一）、出示问题，导入新课
请你精心填一填，并说明理由。

1.已知三角形的三条中位线长分别为3cm,4cm,6cm,则这个三角形的周长是（ ）
2.已知三角形的两边长为6cm 和8cm ，第三边长是方程060162
=+-x x 的一个根，则这个三角形的面积是（ ）
3.直角三角形的两边长为3cm 和5cm ，则斜边上的中线长为（ ）
学生很快就做出了正确答案，并能说出用到了分类讨论的数学思想，主要用到了有关中点的定理：①等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线互相重合，②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，③三角形中位线定理，还有勾股定理及一元二次方程的解法。

（二）、合作探究，研讨方法
分组讨论，你准备用什么方法来整理复习这些与中点有关的知识？
（三）、整理复习，完善认知
师生共同整理主要知识点和添加辅助线的方法。

（四）、范例分析，提升能力
例1.已知：如图1—1，ΔACN ，ΔABM 为等边三角形， D 、E 、F 分别是BM 、BC 、CN 的
中点。

求证：DE=DF
分析：中点、中点联想三角形的中位线，连接CM 、BN ，则DE=CM 21，EF ＝BN 2
1，关键证明CM=BN ，只需证明△AMC ≌△ABN 例2.如图2—1
，四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 分别是AD 、BC
的中点，延长BA 、NM 、CD 分别交于点E 、F.试说明∠BEN=∠NFC. 分析：方法一：连接BD ，并取BD 的中点O ，连接OM 、ON ； 方法二：连接
AC ，取AC 的中点
例3.已知：如图3—1
，ΔABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点.求证：DM=21AB
分析如下： 方法一：如图3-2取AC 的中点N ，连接MN 、DM ，则MN=
2
1AB ，MN ∥AB ，只需证MN=DM 方法二：如图3-3取AB 的中点E ，连接ME 、DE ，则DE=21AB ，ME ∥AC ，只需证DE=DM 方法三：如图3-4延长CB 至点E ，使BE=AB ，连接AE ，则易证AE=AC ，DE=CD ，
即ＢE+BD=DM+MC ，则AB+BM-DM=DM+CM
图1-2 图1-1 N 图2-2 图3-1
又∵BM=CM ，
∴AB=2DM ，即DM=2
1AB 方法四：如图3-5过点M 作ME ⊥BC 交AC 于点E ，连接BE ，易证BE 平分∠ABC ， 利用角平分线的性质得：
CE AE BC AB =， 由ME ∥AD ，平行线分线段成比例定理得：CE
AE CM DM = 中间比过度得：
CM
DM BC AB = ， ∴2
1==BC CM AB DM ∴DE=21AB ，
（五）、学以致用，展示自己
1.如图4，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，BD=2AD ，点E 、F 、
G 三 点分别为OC 、OD 、AB 的中点。

求证：（1）BE ⊥AC ；
（2）EG=EF
2.用16cm 长的铁丝弯成一个矩形，用18cm 长的铁丝弯成一个有一条边长为5cm 的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，求矩形的边长。

3.直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，求此直角三角形的面积。

图3-2 图3-4 图3-3 图3-5 B C 图4
三、积极发挥学生的主观能动性，注重培养学生的空间观念
空间观念是空间想象力的基础，是重要的数学素养。

在几何知识教学过程中，要培养学生按照一定目的，有顺序、有重点地去观察，在反复细致观察的基础上，让学生展开丰富的空间想象。

要充分体现学生的主体性，发挥学生的主观能动性，鼓励学生大胆操作。

让学生借助视觉、触觉等活动认识理解几何图形，并且动手制作相应的几何图形。

这样让学生通过自己的亲身体验获得对几何图形知识的深刻理解，从而形成稳固、清晰的空间观念。

例如在丰富多彩的图形学习时，要求学生总结出正方体的展开图有几种情形时，我在教学时要求学生带剪刀自己操作，小组探究合作完成任务。

完成任务后进一步探究哪些图形不可能是正方体的展开图。

又如求截正方体截面形状时，要求学生自己做模型，找结论。

有的学生截用纸盒做的正方体只能得出简单的截面形状结论，有的学生截用橡皮泥或萝卜做的正方体得出丰富的截面形状结论，还有的学生更绝，把水装入用玻璃做的正方体中，晃动水面得出截面形状结论。

四、加强学生合作交流和研究性学习，和几何建模以及探究过程，以培养学生的交流能力和研究意识。

五、加强应用方面的要求，使学生能够有意识地将学到的几何知识用应到实践中去。

象求蚂蚁沿四棱柱表面爬，求它爬行的最短路径的长是多少？实际上，这是棱柱侧面展开问题，学生都能熟练解决。