一、选择题1. (2016山东威海，17，3)如图，直线y=12x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B'O'C'是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，则点B 的对应点B'的坐标为 .【答案】(4，3)或(-8，-3)【逐步提示】先分别求得点A 、B 的坐标，再以点A 为位似中心画出△BOC 的位似图形△B'O'C'，有两种情况，再根据位似图形的特征确定点B ′的纵坐标，进而求得点B 的对应点B'的坐标。
【详细解答】解：由题意得点A(-2，0)，点B(0，1)。
又∵△BOC 与△B'O'C'的相似比为1:3，∴点B ′(x ，3)或(x ，-3)。
∵点B ′(x ，3)或(x ，-3)在直线y=12x+1上，∴B ′坐标为(4，3)或(-8，-3)，故答案为(4，3)或(-8，-3). 【解后反思】【关键词】一次函数；位似图形；相似比；分类讨论；2. （2016山东东营，8，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)、B(－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ） A ．(－1，2) B ．(－9，18)C ．(－9，18)或(9，－18)D ．(－1，2)或(1，－2)【答案】D【逐步提示】本题考查位似与坐标，明确有两种情况，然后分别求出坐标．【详细解答】解：分情况讨论：①若点A 与其对应点A′在O 的同侧，则点A′的坐标为（－3 13⨯，6 13⨯），即A′（－1,2）；②若点A 与其对应点A′在O 的两侧，则点A′的坐标为（－31()3⨯-，61()3⨯-），即A′（1,－2）．故选D ． 【解后反思】解答本题易出现两处错误：一是漏解，忽视两种情况的存在；二是用反相似比．一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点(x ，y)对应的位似图形上的点坐标为(kx ，ky)或(－kx ，－ky)． 【关键词】位似与坐标 3. ．（2016山东菏泽，7，3分）如图，△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，且AB =AC =5，A ′B ′= A ′C ′=3，若∠B＋∠B ′=90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为（ ） A ．25:9 B ．5:3 C ．5:3 D ．55:33【答案】A 【逐步提示】由等腰三角形△ABC 与△A ′B ′C ′的底角互余，启发我们作出它们底边上的高，可得两对相似三角形，进而利用相似三角形的性质可求△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比．【详细解答】解：分别作AD ⊥BC 于点D ，A ′D ′⊥B ′C ′于点D ′，则∠ADB =∠A ′D ′B ′=90°，∴∠B ＋∠BAD =90°．又∵∠B ＋∠B ′=90°，∴∠BAD =∠B ′，∴△ABD ∽△B ′A ′D ′，∴S △ABD :S △B ′A ′D ′=AB 2:A ′B ′2=25:9，∴S △ABD =925S △B ′A ′D ′．∵AB =AC ，A ′B ′= A ′C ′，∴∠B =∠C ，∠B ′=∠C ′，∴∠C ＋∠C ′=90°．同理，可得△ACD ∽△C ′A ′D ′，∴S △ACD :S △C ′A ′D ′=AC 2:A ′C ′2=25:9，∴S △ACD =925S △C ′A ′D ′．于是S △ABC =S △ABD ＋S △ACD =925S △B ′A ′D ′＋925S △C ′A ′D ′=925S △A ′B ′C ′，∴S △ABC : S △A ′B ′C ′=25:9，故选择A ．【解后反思】（1）求两个三角形的面积比，常用的方法是： ①若两个三角形相似，那么它们的面积比等于相似比的平方；②两个三角形对应底上的高相同或相等，则根据三角形的面积公式可得面积比等于底之比．（2）两角互余或互补的性质，直角三角形的角的特征，三角形的外角性质，以及与圆有关的角的性质，是我们构造相似三角形解决相关问题的重要依据．【关键词】直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质4. （ 2016山东泰安，20，3分）如图，正△ABC 的边长为4，点P 为BC 边上的任意一点（不与点B 、C 重合），且∠APD ＝60°，PD 交AB 于点D ．设BP ＝x ，BD ＝y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）BP第20题图ABC A ′B ′C ′AB C A ′B ′C ′D ′ D【答案】C【逐步提示】本题考查了相似三角形的判定及性质、二次函数图象，解题的关键是通过相似三角形的性质得出关于x 的解析式．由正△ABC 可知，∠B ＝∠C ＝60°，又知道∠APD ＝60°，可以看出是“一线三等角”的类型．所以可以通过两角对应相等来证明△BPD ∽△CAP ，得到对应线段成比例，因而可以得到y 与x 的函数关系式，通过关系式并结合所给图象作出选择．【详细解答】解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°．∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠P AC ，∴∠BPD ＝∠P AC ，∴△BPD ∽△CAP ，∴PB BD AC PC ＝．∵BP ＝x ，BD ＝y ，∴PC ＝4－x ，∴44x y x＝－，∴214y x x ＝－＋（0＜x ＜4）．由函数关系式可知该函数是二次函数，故A 和B 选项错误，又∵a ＝14－＜0，∴抛物线的开口向下，故D 选项错误．故答案为C .【解后反思】本题是一道代几综合题，考查的是相似三角形中“一线三等角”的类型．这类题型一般都是通过两角对应相等来证明相似的，推导角等的时候借助于三角形外角的性质．写比例式时要注意找准对应边．另外还有熟悉我们所学过的几种函数图象的特征：正比例函数和一次函数图象是一条直线，反比例函数图象是两条双曲线，二次函数的图象是一条抛物线．【关键词】 相似三角形的判定和性质；二次函数的图象．5. （ 2016山东省烟台市，7，3分）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（ ）A ．（3，2）B ．（3，1）C ．（2，2）D ．（4，2） 【答案】A【逐步提示】直接利用坐标原点为位似中心的位似图形的性质求出AD 的长，然后△OAD ∽△OBG ，求出AO 的长，即可确定C 点的坐标．【详细解答】解：∵正方形BEFG 的边长是6，∴BE=EF=6，A∵两正方形的相似比为1:3，∴163CB CB EF ==,∴AB=BC=CD=AD=2， 根据位似图形的性质可知，31=OB OA ,即3122=-OB ,∴OB=3，∴C 点坐标为（3,2），故选择A .【解后反思】本题考查了坐标系中位似图形的坐标的确定，解题的关键是掌握以坐标原点为位似中心的位似图形的性质.解答这类问题要注意如下的问题： 1.认真观察图形，把握图形中的隐含条件。
历年临沂中考数学试卷真题第一部分选择题1. 下面哪个数是有理数？A. √2B. πC. eD. 3.1415926542. 设两线段AB=2cm，BC=3cm，AC=5cm，则△ABC是一个：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 一般三角形3. 若正方形的一条对角线长为6cm，则其边长为：A. 6cmB. 3cmC. 9cmD. 12cm4. 若a:b=3:4，b:c=2:5，则a:c=？A. 6:5B. 8:15C. 3:2D. 15:85. 若25% × 12a = 15%，则a=？A. 3B. 4C. 5D. 6第二部分解答题1. 计算：3 × (4 + 5) - 2² =2. 已知△ABC，若∠A = 30°，∠B = 60°，则∠C =3. 函数y = 2x + 1的图象上有一点P(x, y)，在横坐标x增加3的同时，纵坐标y增加7，求P点坐标。
4. 如图所示，△ABC中，AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，过点B 作CD ⊥ AC于点D，求CD的长度。
（图示：△ABC，角B为直角）5. 一条长20cm的铁丝，从其中截去一段，剩下的部分首尾相接后恰好可以围成等边三角形，这段截去的铁丝长度为多少？第三部分简答题1. 什么是平行线？如何判定两条直线是否平行？2. 什么是最大公约数和最小公倍数？如何求解最大公约数和最小公倍数？3. 什么是比例？什么是比例中项和比例外项？如果已知三个数成比例，如何求出未知数？4. 什么是圆？圆的直径和半径之间的关系是什么？5. 解方程7x - 5 = 2x + 13，并判断其解类型。
第四部分计算题1. 径长为10cm的圆的面积是多少？（π取近似值3.14）2. 一个矩形的长是宽的2倍，面积是48cm²，求矩形的长和宽。
3. 已知某个数字的3倍加上5的结果等于17，求这个数字。
4. 求方程2x - 1 = 3的解，并判断是否合法。
ft 东省 2016 年中考数学试卷第 24 题汇编[济南市 2016 年中考数学试卷]01. 如图 1，抛物线 y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与 x 轴交于点 A （4，0），与 y 轴交于点 B ，在 x 轴上有一动点 E （m ，0）（0＜m ＜4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N ，交抛物线于点 P ，过点 P 作 PM ⊥AB 于点 M ．（1） 求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（2） 设△PMN 的周长为 C 1，△AEN 的周长为 C 2，若C 1 6，求 m 的值； C 2 5（3） 如图 2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE ′，旋转角为 α（0°＜α＜90°），连接 E ′A 、E ′B ，求 E ′A ＋ 2E ′B 的最小值．3[菏泽市 2016 年中考数学试卷]02. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋2 过 B （－2，6），C （2，2）两点．（1） 试求抛物线的解析式；（2） 记抛物线顶点为 D ，求△BCD 的面积；（3） 若直线 y ＝－ 1x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BDC （包括端点 B 、C ）部分有两个交2点，求 b 的取值范围．03. 如图，已知抛物线 y ＝ 1x 2＋bx ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A （0，1），点 B （－9，10），AC ∥x3轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点． （1） 求抛物线的解析式；（2） 过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB 、AC 分别交于点 E 、F ，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3） 当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q ，使得以 C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由．[淄博市 2016 年中考数学试卷]04. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O ，点 M ，N 分别是边 BC ，CD 上的动点（不与点 B ，C ，D重合），AM ，AN 分别交 BD 于点 E ，F ，且∠MAN 始终保持 45°不变．（1） 求证： AF 2；AM 2（2） 求证：AF ⊥FM ；（3） 请探索：在∠MAN 的旋转过程中，当∠BAM 等于多少度时，∠FMN ＝∠BAM ？写出你的探索结论，并加以证明．ADNBMC yBlECF AOxPF O EQFO05. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴，y 轴相交于 A ，B 两点，点 C 的坐标是（8， 4），连接 AC ，BC ．（1） 求过 O ，A ，C 三点的抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2） 动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PA ＝QA ？（3） 在抛物线的对称轴上，是否存在点 M ，使以 A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．[青岛市 2016 年中考数学试卷]06. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，对角线 AC ，BD 交于点 O ．点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ； 当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 PO 并延长，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ， 交 BD 于点 F ．设运动时间为 t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题： （1） 当 t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2） 设五边形 OECQF 的面积为 S （cm 2），试确定S 与 t 的函数关系式； （3） 在运动过程中，是否存在某一时刻，使 S 五边形 OECQF ：S △ACD ＝9：16？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4） 在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OD 平分∠COP ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．APDB ECD07. 如图，已知抛物线 m ：y ＝ax 2－6ax ＋c （a ＞0）的顶点 A 在 x 轴上，并过点 B （0，1），直线n ：y ＝－ 1 x ＋ 7与 x 轴交于点 D ，与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F ，过 B 点的直线 BE 与直线 n 相交于点 E （－ 2 2 7，7）．（1）求抛物线 m 的解析式；（2）P 是 l 上的一个动点，若以 B ，E ，P 为顶点的三角形的周长最小，求点 P 的坐标；（3）抛物线 m 上是否存在一动点 Q ，使以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[泰安市 2016 年中考数学试卷]08．（1）已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是 BC ，点 D 在线段 AB 上，E 是直线 BC 上一点，且∠DEC＝∠DCE ，若∠A ＝60°（如图①）．求证：EB ＝AD ； （2） 若将（1）中的“点 D 在线段 AB 上”改为“点 D 在线段 AB 的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；（3） 若将（1）中的“若∠A ＝60°”改为“若∠A ＝90°”，其它条件不变，则 EB的值是多少？（直接写出AD结论，不要求写解答过程）A AEE BCD C 图 1图 2ByCA BOxyNCA BOxyCMABO Px09．如图 1，抛物线 y ＝－ 3[(x －2)2＋n ]与 x 轴交于点 A （m －2，0）和 B （2m ＋3，0）（点A 在点B 的左 5侧），与y 轴交于点 C ，连结 BC ． （1） 求 m 、n 的值；（2） 如图 2，点 N 为抛物线上的一动点，且位于直线 BC 上方，连接 CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值；（3） 如图 3，点 M 、P 分别为线段 BC 和线段 OB 上的动点，连接 PM 、PC ，是否存在这样的点 P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由．[德州市 2016 年中考数学试卷]10. 已知，m ，n 是一元二次方程 x 2＋4x ＋3＝0 的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1） 求这个抛物线的解析式； （2） 设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为 D ，试求出点 C ，D 的坐标，并判断△BCD的形状； （3） 点 P 是直线 BC 上的一个动点（点 P 不与点 B 和点 C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M ，点 Q 在直线 BC 上，距离点 P 为S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式．个单位长度，设点 P 的横坐标为 t ，△PMQ 的面积为备用图yA O C xBD y A O C x BD211.如图，已知抛物线y＝－1x2－1x＋2 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C.4 2（1）求点A，B，C 的坐标；（2）点E 是此抛物线上的点，点F 是其对称轴上的点，求以A，B，E，F 为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．[东营市2016 年中考数学试卷]12.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A、C 的坐标分别是（0，4）、（－1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标；（3）若P 为抛物线上的一动点，N 为x 轴上的一动点，点Q 坐标为（1，0），当P、N、B、Q 构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．13. 如图 1，已知平行四边形 ABCD 顶点 A 的坐标为（2，6），点 B 在 y 轴上，且 AD ∥BC ∥x 轴，过 B ，C ，D 三点的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（2，2），点 F （m ，6）是线段 AD 上一动点，直线 OF 交 BC 于点 E ．（1） 求抛物线的表达式；（2） 设四边形 ABEF 的面积为 S ，请求出 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （3） 如图 2，过点 F 作 FM ⊥x 轴，垂足为 M ，交直线 AC 于 P ，过点 P 作 PN ⊥y 轴，垂足为 N ，连接MN ，直线 AC 分别交 x 轴，y 轴于点 H ，G ，试求线段 MN 的最小值，并直接写出此时 m 的值．[威海市 2016 年中考数学试卷]14. 如图，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （－2，0），点 B （4，0），点 D （2，4），与 y 轴交于点 C ，作直线 BC ，连接 AC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E 是抛物线上的点，求满足∠ECD ＝∠ACO 的点 E 的坐标；（3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一点，若以点 C ，M ，N ，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．备用图 1备用图 215.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过点A（－3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D，DE 垂直与x 轴，垂足为E，l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点D 的坐标；（2）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形的面积；（3）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED 重叠部分的图形面积记为S，求S 与t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．[枣庄市2016 年中考数学试卷]16.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x 轴交于点B．（1）若直线y＝mx＋n 经过B、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x＝－1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．17. 如图，二次函数 y = ax 2+ bx + c 的图象经过点 A （－1，0），B （4，0），C （－2，－3），直线 BC 与 y轴交于点 D ，E 为二次函数图象上任一点.（1） 求这个二次函数的解析式；（2） 若点 E 在直线 BC 的上方，过 E 分别作 BC 和 y 轴的垂线，交直线 BC 于不同的两点 F ，G （F 在G 的左侧），求△EFG 周长的最大值；（3） 是否存在点 E ，使得△EDB 是以 BD 为直角边的直角三角形？如果存在，求点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由.备用图4 10 ⎩ ⎨ ⎨ft 东省 2016 年中考数学试卷第 24 题汇编参考答案01. 解：（1）令 y ＝0，则 ax 2＋(a ＋3)x ＋3＝0，∴(x ＋1)(ax ＋3)＝0，∴x ＝－1 或- 3.a∵抛物线 y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与 x 轴交于点 A （4，0），∴ - 3 ＝4，∴a ＝ - 3 ．∵A （4，0），B （0，3），⎧b = 3 a 4 ⎧k = - 3设直线 AB 解析式为 y ＝kx ＋b ，则⎨4k + b = 0∴直线 AB 解析式为 y ＝ - 3x ＋3．4，解得⎪ 4 ，⎪⎩b = 3（2） 如图 1 中，∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN ＝∠AEN .∵∠PNM ＝∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∴ PN = 6.AN 5∵NE ∥OB ，∴ AN = AE ，∴AN ＝ 5(4 - m ) .AB OA 4∵抛物线解析式为 y ＝ - 3 x 2＋ 9x ＋3，4 4∴PN ＝ - 3 m 2＋ 9 m ＋3－( - 3 m ＋3)＝ - 3m 2＋3m ，4 4 4 4 - 3m 2 + 3m∴ 4 = 6，解得 m ＝2．5(4 - m ) 5 4（3） 如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M 使得 OM ＝ 4，3∵OE ′＝2，OM ·OB ＝ 4 ×3＝4，∴OE ′2＝OM ·OB ，∴ OE ' = OB .3 OM OE 'ME ' OE ' 2∵∠BOE ′＝∠MOE ′，∴△MOE ′∽△E ′OB ，∴ BE ' = OB = 3，∴ME ′＝ 2 BE ′，∴AE ′＋ 2BE ′＝AE ′＋E ′M ＝AM ′，3 3此时 AE ′＋ 2 BE ′最小，最小值= AM = 3 ⎧4a - 2b + 2 = 6 = .3 ⎧2a - b = 2⎧a = 1 02. 解：（1）由题意得⎨4a + 2b + 2 = 2，整理得⎨2a + b = 0 ，解得⎪2 ，∴抛物线解析式为 y ＝ 1x 2－x ＋2．2⎪⎩b = -1（2）∵y ＝ 1 x 2－x ＋2＝ 1 (x －1)2＋ 3 ，∴顶点坐标 D （1， 3），2 2 2 2过点 B 、C 、D 分别作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 M 、N 、H ，42+ ( 4)2 3 ⎩ ⎩1 ⎨⎪ ⎩ ∴S △BDC ＝S 梯形 BMNC －S 梯形 BMHD －S 梯形 DHNC 3 +2 = 2 + 6 ⨯ 4 - 23 + 6 ⨯1 - 2 ⨯ 3 = 3 .2 2 21 1（3）直线 y =⎧x 向上平移 b 个单位所得的直线为 y = - 2 2 1 x + b ⎪ y = - 2 x + b 由题意得⎨ ⎪ y = x 2 - x + 2 ，整理得 x 2- x + (4 - 2b ) = 0 ， ⎪⎩ 2当∆ = (-1)2 - 4 ⨯1⨯ (4 - 2b ) = 0 时，得 b ＝ 15 . 8 此时情况如图中 l 1 所示；当直线 y ＝－ 1 x ＋b 经过点 C （2，2）时，b ＝3， 2此时情况如图中 l 2 所示； 要直线与抛物线段 BDC 有两个交点，直线应在 l 1 与 l 2 又∵l 1 不符合，l 2 符合，故符合题意的 b 的取值范围为15＜b ≤3．803. 解：（1）∵点 A （0，1）．B （－9，10）在抛物线上，⎧c = 1 ∴ ⎪1 ⨯ 81 - 9b + c = 10 ⎩3⎧b = 2 ，∴ ⎨c = 1 ，∴抛物线的解析式为 y ＝ 1 3 x 2＋2x ＋1. （2）∵AC ∥x 轴，A （0，1），∴ 1 x 2＋2x ＋1＝1，3∴x 1＝6，x 2＝0，∴点 C 的坐标（－6，1）. ∵点 A （0，1）．B （－9，10）， ∴直线 AB 的解析式为 y ＝－x ＋1.设点 P （m ， 1m 2＋2m ＋1），∴E （m ，－m ＋1）3∴PE ＝－m ＋1－( 1 m 2＋2m ＋1)＝－ 1 m 2－3m . 3 3∵AC ⊥EP ，AC ＝6，∴S 四边形 AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝ 1 AC ×EF ＋ 1 AC ×PF ＝ 1 AC ×(EF ＋PF )＝ 1AC ×PE2 2 2 2＝ 1 ×6×(－ 1 m 2－3m )＝－m 2－9m ＝－(m ＋ 9 )2＋ 81 . 2 3 2 4∵－6＜m ＜0，∴当 m ＝－ 9 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 81，2 4此时点 P （－ 9 ，－ 5）．2 4 （3）∵y ＝ 1 x 2＋2x ＋1＝ 1(x ＋3)2－2，∴P （－3，－2），3 3∴PF ＝y F －y P ＝3，CF ＝x F －x C ＝3，∴PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45°，2 3 2 9 29 2⎨ ⎩同理可得∠EAF ＝45°，∴∠PCF ＝∠EAF ， ∴在直线 AC 上存在满足条件的 Q .设 Q （t ，1）且 AB ＝9 ，AC ＝6，CP ＝3 ∵以 C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ ∽△ABC 时，∴ CQ = CP ，∴ AC AB t + 6 6 = ，∴t ＝－4，∴Q （－4，1）； ②当△CQP ∽△ABC 时， ∴ CQ = CP ，∴ t + 6 = 3 2 ，∴t ＝3，∴Q （3，1）． AB AC 6 04.（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∠ABC ＝90°， ∵∠MAN ＝45°，∴∠MAF ＝∠MBE ，∴A 、B 、M 、F 四点共圆，∴∠ABM ＋∠AFM ＝180°，∴∠AFM ＝90°，∴∠FAM ＝∠FMA ＝45°，∴AM ＝ AF ，∴ AF = 2． AM 2（2）由（1）可知∠AFM ＝90°，∴AF ⊥FM ． （3）结论：∠BAM ＝22.5 时，∠FMN ＝∠BAM理由：∵A 、B 、M 、F 四点共圆，∴∠BAM ＝∠EFM ，∵∠BAM ＝∠FMN ，∴∠EFM ＝∠FMN ，∴MN ∥BD ，∴ CM = CN.CB CD∵CB ＝DC ，∴CM ＝CN ，∴MB ＝DN .⎧ AB = AD 在△ABM 和△ADN 中， ⎪∠ABM = ∠ADN = 90︒ ，⎪BM = DN ∴△ABM ≌△ADN ，∴∠BAM ＝∠DAN . ∵∠MAN ＝45°，∴∠BAM ＋∠DAN ＝45°，∴∠BAM ＝22.5°． 05. 解：（1）∵直线 y ＝－2x ＋10 与 x 轴，y 轴相交于 A ，B 两点，∴A （5，0），B （0，10），∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为 y ＝ax 2＋bx ， ∵抛物线过点 B （0，10），C （8，4），⎧a = 1 ⎧25a + 5b = 0 ⎪ 6 ∴ ⎨64a + 8b = 4 ，∴⎨ 5 ， ⎩ ⎪b = -⎩ 6 ∴抛物线解析式为 y ＝ 1 x 2－ 5x . 6 6∵A （5，0），B （0，10），C （8，4），图 1 ∴AB 2＝52＋102＝125，BC 2＝82＋(8－5)2＝100，AC 2＝42＋(8－5)2＝25， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是直角三角形． （2） 方法 1：如图 1，当 P ，Q 运动 t 秒， 即 OP ＝2t ，CQ ＝10－t 时，PA ＝QA .由（1）知 AC ＝OA ，∠ACQ ＝∠AOP ＝90°，2 2yBl ECQ 1 F A Q 2 OxPy B QPCO Ax⎩ ⎪ ⎧ AC = OA在 R t △AOP 和R t △ACQ 中， ⎨PA = QA ， ∴R t △AOP ≌R t △ACQ ，∴OP ＝CQ ，∴2t ＝10－t ，∴t ＝ 10，3∴当运动时间为10时，PA ＝QA .3方法 2：分别过 C 、Q 作 CD 、QE 垂直于 y 轴，垂足分别为 D 、E . ∵P 、Q 的运动时间为 t 秒，∴BQ ＝t ，OP ＝2t ，CD ＝8. 设 Q 点的坐标是（m ，n ），∴QE ＝m .∵CD ⊥y 轴，QE ⊥y 轴，∴CD ∥QE ，∴△BQE ∽△BCD ， QE BQ m t 4∴ = ，即 = ，∴ m = t . CD BC 8 10 5 设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ，⎧b = 10 则⎨ ⎧k = - ，解得⎨3 4 ，∴直线 BC 的解析式为 y = - 3 x + 10 . 图 2⎩8k + b = 4 ⎪⎩b = 104 ∵点 Q 在 BC 上，∴ n = - 3 ⨯ 4 t + 10 = - 3t + 10 ，4 5 5∴Q 点的坐标是（ 4 t ， - 3t + 10 ），5 5∴QA 2 = (- 3 t + 10)2 + (5 - 4t )2 = t 2 - 20t + 125 . 5 5又∵OP ＝2t ，∴ PA 2 = (2t )2 + 25 = 4t 2+ 25 .∵PA ＝QA ，∴ t 2 - 20t + 125 = 4t 2 + 25 ，即3t 2 + 20t -100 = 0 ，解得t = 10， t = -10 （不合题意，舍去）.132 因此，当 t 为10秒时，PA ＝QA .3（3） 存在. 由（1）知抛物线的对称轴是直线 x = 5.2设点 M 的坐标为（ 5，m ）.2 5 2 2①若 BM ＝BA 时，∴( 2) ＋(m －10) ＝125，∴m 1＝ 20 + 5 19 ，m 2＝ 20 - 5 19 ，2 2 ∴M （ 5 ， 20 + 5 19 ），M （ 5 ， 20 - 5 19 ），2 2 2 2 2②若 AM ＝AB 时，∴( 52)2＋m 2＝125，∴m ＝ 5 19 ，m ＝－ 5 19， 342 2图 3∴M 3（ 5 ， 5 19 ），M 4（ 5 ，－ 5 19），2 2 2 2y BE P DQC OA xy M 1M 3 BMCOM 2AxM 4 1⎨ ⎩△ACD③若 MA ＝MB 时，∴( 5 －5)2＋m 2＝( 5 2 2 ∴m ＝5，∴M （ 5，5），2)2＋(10－m )2，此时点 M 恰好是线段 AB 的中点，构不成三角形，舍去，∴点 M 的坐标为：M 1（ 5 ， 20 + 5 19 ），M 2（ 5 ， 20 - 5 19），2 2 2 2M 3（ 5 ， 5 19 ），M 4（ 5 ，－ 5 19 ）.2 2 2 206. 解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴AC ＝10. 1 5APD①当 AP ＝PO ＝t ，如图 1，过 P 作 PM ⊥AO ，∴AM ＝ AO ＝ .2 2∵∠PMA ＝∠ADC ＝90°，∠PAM ＝∠CAD ，∴△APM ∽△ADC ， ∴ AP = AM ，∴AP ＝t ＝ 25 . AC AD 8②当 AP ＝AO ＝t ＝5，∴当 t 为 25或 5 时，△AOP 是等腰三角形.8B E C（2）作EH ⊥AC 于 H ，QM ⊥AC 于 M ，DN ⊥AC 于 N ，交 QF 于 G ， P⎧∠PAO = ∠ECO 在△APO 与△CEO 中， ⎪AO = OC， ⎪∠AOP = ∠COE ∴△AOP ≌△COE ，∴CE ＝AP ＝t .∵△CEH ∽△CAB ，∴ EH = CE ，∴EH ＝ 3t . B ECAB AC 5∵DN ＝ AD ⋅ CD ＝ 24，∵QM ∥DN ，∴△CQM ∽△CDN ，AC QM CQ 5QM = 6 - t ∴ = ，即 DN CD24 6 ，5∴QM ＝ 24 - 4t ，∴DG ＝ 24 -24 - 4t = 4t .5 5 2 5∵FQ ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ，∴ FQ = DG ，∴FQ ＝ 5t， OC DN 6∴S 五边形 OECQF ＝S △OEC ＋S 四边形 OCQF＝ 1 ×5× 3t ＋ 1 ( 5t ＋5)· 24 - 4t ＝－ 1 t 2＋ 3 t ＋12， 2 5 2 6 5 3 2∴S 与 t 的函数关系式为 S ＝－ 1 t 2＋ 3t ＋12（0＜t ＜6）.3 2（3）存在. ∵S ＝ 1 ×6×8＝24， 2∴S ：S ＝(－ 1 t 2＋ 3 t ＋12)：24＝9：16，解得 t ＝ 3，t ＝3，五边形 OECQF △ACD∴t ＝ 3 或 t ＝3 时，S ：S ＝9：16.五边形 OECQF △ACD（4）如图 3，过 D 作 DM ⊥AC 于 M ，DN ⊥AC 于 N ，∵∠POD ＝∠COD ，QFMOFGON H MQ3 2 22⎩ ∴DM ＝DN ＝ 24 ，∴ON ＝OM ＝ 5 = 7.5 A P DOP •DM 3PD OP 5 5 tPM18 5t . ∵ ＝ ，∴ ＝ － ，∴ ＝ － 8 5 8 PD 2 PM 2 DM 2 (8 t )2 ( 18 5t )2( 24 )2 ∵ ＝ ＋ ，∴ － ＝ － ＋， 5 8 5解得 t ＝16（不合题意，舍去），t ≈2.87，∴当 t ＝2.87 时，OD 平分∠COP ． 07. 解：（1）∵抛物线y ＝ax 2－6ax ＋c （a ＞0）的顶点 A 在 x 轴上 ∴配方得 y ＝a (x －3)2－9a ＋1，则有－9a ＋1＝0，解得 a ＝ 1.9∴A 点坐标为（3，0），抛物线m 的解析式为 y ＝ 1 x 2－ 2x ＋1. B E C 9 3（2） ∵点 B 关于对称轴直线 x ＝3 的对称点 B ′为（6，1） ∴连接 EB ′交 l 于点 P ，如图所示设直线 EB ′的解析式为 y ＝kx ＋b ， 把（－7，7），（6，1）代入， ⎧6 yl ⎧-7k + b = 7 ⎪k = - 13 n m 得⎨6k + b = 1 ，解得⎨ ， ⎪b = 49E ⎩ 13 则函数解析式为y ＝－ 6 x ＋ 49 . P 13 13 31 F31B B ′ 把 x ＝3 代入，解得 y ＝ ，∴点 P 坐标为（3， ）. 13 13（3） ∵y ＝－ 1 x ＋ 7与 x 轴交于点 D ，∴点 D 坐标为（7，0），O A Dx 2 2 ∵y ＝－ 1 x ＋ 7与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F ，∴点 F 坐标为（3，2）.2 2求得 FD 的直线解析式为 y ＝－ 1 x ＋ 7，2 2若以 FQ 为直径的圆经过点 D ，可得∠FDQ ＝90°，则 DQ 的直线解析式的 k 值为 2，设 DQ 的直线解析式为 y ＝2x ＋b ，把（7，0）代入解得 b ＝－14， 则 DQ 的直线解析式为 y ＝2x －14， 设点 Q 的坐标为（a ， 1 a 2 - 2 a + 1 ），把点Q 代入 y ＝2x －14， 9 3得 1 a 2 - 2a + 1 ＝2a －14，解得 a 1＝9，a 2＝15． 9 3 ∴点 Q 坐标为（9，4）或（15，16）． 08.（1）证明：作 DF ∥BC 交 AC 于 F ，如图， 则∠ADF ＝∠ABC ，∠AFD ＝∠ACB ，∠FDC ＝∠DCE ，∵△ABC 是等腰三角形，∠A ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠DBE ＝120°，∠ADF ＝∠AFD ＝60°＝∠A ，A D F OD 2 - DN 2 M F O N Q ⎪2 BC D⎨ ⎩⎨ ⎩ ⎨A DF∴△ADF 是等边三角形，∠DFC ＝120°，∴AD ＝DF . ∵∠DEC ＝∠DCE ，∴∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD .⎧∠DEC = ∠FDC 在△DBE 和△CFD 中， ⎪∠DBE = ∠DFC = 120︒ ，⎪ED = CD ∴△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB ＝DF ，∴EB ＝AD . （2） 解：EB ＝AD 成立. 理由如下：作 DF ∥BC 交 AC 的延长线于 F ，如图，同（1）得：AD ＝DF ，∠FDC ＝∠ECD ，∠FDC ＝∠DEC ，ED ＝CD ，⎧∠DEC = ∠FDC 又∵∠DBE ＝∠DFC ＝60°，∴在△DBE 和△CFD 中， ⎪∠DBE = ∠DFC ，⎪ED = CD ∴△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB ＝DF ，∴EB ＝AD .（3） 解： EB＝ AD. 理由如下：作 DF ∥BC 交 AC 于 F ，如图，同（1）得：△DBE ≌△CFD （AAS ），∴EB ＝DF .E∵△ABC 是等腰直角三角形，DF ∥BC ，∴△ADF 是等腰直角三角形， ∴DF ＝ AD ，∴ DF ＝ AD ，∴ EB＝ . FAD09. 解：（1）∵抛物线的解析式为y ＝－ 3 [(x －2)2＋n ]＝－ 3 (x －2)2－ 3n ， 5 5 5∴抛物线的对称轴为直线 x ＝2， ∵点 A 和点 B 为对称点，∴2－(m －2)＝2m ＋3－2，解得 m ＝1，∴A （－1，0），B （5，0）. 把 A （－1，0）代入 y ＝－ 3[(x －2)2＋n ]得 9＋n ＝0，解得 n ＝－9；5（2）作 ND ∥y 轴交 BC 于 D ，抛物线解析式为 y ＝－ 3 [(x －2)2－9]＝－ 3 x 2＋ 12x ＋3，5 5 5当 x ＝0 时，y ＝3，则 C （0，3），设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋b ， ⎧5k + b = 0⎧k = - 3把 B （5，0），C （0，3）代入得 ⎩b = 3 ∴直线 BC 的解析式为 y ＝－ 3x ＋3，5⎪ ，解得⎨ 5 ， ⎪⎩b = 3设 N （x ，－ 3 x 2＋ 12 x ＋3），则 D （x ，－ 3x ＋3），5 5 5 ∴ND ＝－ 3 x 2＋ 12 x ＋3－(－ 3 x ＋3)＝－ 3x 2＋3x ，5 5 5 5∴S ＝S＋S ＝ 1 •5•ND ＝－ 3 x 2＋ 15 x ＝－(x － 5 )2＋ 75 ， △NBC △NDC△NDB2 2 2 82 22 y NCA DBO x232 + 52 34 34 3434 34 - t 342 yA O C xM F PQ⎩ ⎩ 当 x ＝ 5 时，△NBC 面积最大，最大值为 75 ；2 8（3）存在．∵B （5，0），C （0，3），∴BC ＝ = .当∠PMB ＝90°，则∠PMC ＝90°，△PMC 为等腰直角三角形，MP ＝MC ， 设PM ＝t ，则 CM ＝t ，MB ＝ －t ， ∵∠MBP ＝∠OBC ，∴△BMP ∽△BOC ，∴PM = BM = BP ， 即 t = 34 - t = BP ，解得 t ＝ 3 34 ，BP ＝ 17 ， OC OB BC 3 5 8 4 ∴OP ＝OB －BP ＝5－ 17 ＝ 3 ，此时 P 点坐标为（ 3，0）；4 4 4当∠MPB ＝90°，则 MP ＝MC ， 设 PM ＝t ，则 CM ＝t ，MB ＝ －t ， ∵∠MBP ＝∠CBO ，∴△BMP ∽△BCO ，∴ MP = BM = BP ， 即 t = = BP ，解得 t ＝ 102 - 9 34 ，BP ＝ 34 - 3 34 ，OC BC BO 3 5 25 5 ∴OP ＝OB －BP ＝5－ 34 - 3 34 ＝ 3 ，此时 P 点坐标为（ 3 34 - 9，0）；5 4 5综上所述，P 点坐标为（ 3 34 - 9，0）或（ 3 ，0）．54 10. 解（1）∵x 2＋4x ＋3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝－3.∵m ，n 是一元二次方程 x 2＋4x ＋3＝0 的两个实数根，且｜m ｜＜｜n ｜，∴m ＝－1，n ＝－3，∵抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （m ，0），B （0，n ），⎧1 - b + c = 0 ⎧b = -2 2－2∴ ⎨c = -3 ，∴ ⎨c = -3 ，∴抛物线解析式为 y ＝x x －3.（2）令 y ＝0，则 x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3，∴C （3，0）. ∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点坐标 D （1，－4）. 过点 D 作 DE ⊥y 轴，∵OB ＝OC ＝3，∴BE ＝DE ＝1， ∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形， ∴∠OBC ＝∠DBE ＝45°，∴∠CBD ＝90°， ∴△BCD 是直角三角形.（3）∵B （0，－3），C （3，0），∴直线 BC 解析式为 y ＝x －3. ∵点 P 的横坐标为 t ，PM ⊥x 轴，∴点 M 的横坐标为 t . ∵点 P 在直线 BC 上，点 M 在抛物线上， ∴P （t ，t －3），M （t ，t 2－2t －3），过点 Q 作 QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形. ∵PQ ＝ ，∴QF ＝1，讨论：如图，当点 P 在点 M 上方时，即 0＜t ＜3 时， PM ＝t －3－(t 2－2t －3)＝－t 2＋3t ，∴S ＝ 1 PM ×QF ＝ 1 (－t 2－3t )＝－ 1 t 2＋ 3 t ；2 2 2 2如图 3，当点 P 在点 M 下方时，即 t ＜0 或 t ＞3 时， PM ＝t 2－2t －3－(t －3)，- 17 -yA O C xB E Dy A OC xQ P FBMD7 7 7 3＋ 41 3－ 41∴S ＝ 1 PM ×QF ＝ 1 (t 2－3t )＝ 1 t 2－ 3 t .2 2 2 211. 解：（1）令 y ＝0 得－ 1 x 2－ 1x ＋2＝0，∴x 2＋2x －8＝0，x ＝－4 或 2，4 2∴点 A 坐标（2，0），点 B 坐标（－4，0），令 x ＝0，得 y ＝2，∴点 C 坐标（0，2）．（2） 由图象可知 AB 只能为平行四边形的边，∵AB ＝EF ＝6，对称轴 x ＝－1，∴点 E 的横坐标为－7 或 5，∴点 E 坐标（－7，－ 27 ）或（5，－ 27 ），此时点 F （－1，－ 27），4 4 4∴以 A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积＝6× 27 ＝ 81．4 2y（3） 如图，①当 C 为顶点时，CM 1＝CA ，CM 2＝CA ，作 M 1N ⊥OC 于 N ，M 1N在 Rt △CM 1N 中，CN ＝ ∴点 M 1 坐标（－1，2＋ = ， ），点 M 2 坐标（－1，2－ ）． C②当 M 3 为顶点时，∵直线 AC 解析式为 y ＝－x ＋1， 线段 AC 的垂直平分线为 y ＝x ， ∴点 M 3 坐标为（－1，－1）． ③当点 A 为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点 M 坐标为（－1，－1）或（－1，2＋B）或（－1，2－ ）．AM 2 OxM 312. 解：（1）∵□ABOC 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A ′B ′OC ′，点 A 的坐标是（0，4），∴点 A ′的坐标为（4，0），点 B 的坐标为（1，4）. ∵抛物线过点 C ，A ，A ′，设抛物线的函数解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），⎧⎪a －b ＋c ＝0 ⎧⎪a ＝－1 可得⎨c ＝4 ，解得⎨b ＝3 ，⎪⎩16a ＋ 4b ＋c ＝0 ⎪⎩c ＝4 ∴抛物线的函数解析式为 y ＝－x 2＋3x ＋4.（2） 连接 AA ′，设直线 AA ′的函数解析式为 y ＝kx ＋b ，⎧0＋b ＝4 ⎧k ＝－1 可得⎨ ，解得⎨ .⎩14k ＋b ＝0 ⎩b ＝4∴直线 AA '的函数解析式是 y ＝－x ＋4.设 M （x ，－x 2＋3x ＋4）， S ＝1 －x 2＋3x ＋4－(－x ＋4)]＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8.△AMA ′2×4×[ ∴x ＝2 时，△AMA ′的面积最大 S △AMA ′＝8，∴M （2，6）. （3） 设 P 点的坐标为（x ，－x 2＋3x ＋4），当 P 、N 、B 、Q 构成平行四边形时， ①当 BQ 为边时，PN ∥BQ 且 PN ＝BQ ， ∵BQ ＝4，∴－x 2＋3x ＋4＝±4. 当－x 2＋3x ＋4＝4 时，x 1＝0，x 2＝3，即 P 1（0，4），P 2（3，4）；当－x 2＋3x ＋4＝－4 时，x 3＋ 41 x3－ 41 3＝即 P 3（ 2 ，－4），P 4（ 2 ， 4＝ 2 ， 2 ，－4）； ②当 BQ 为对角线时，PB ∥x 轴，即 P 1（0，4），P 2（3，4）；当这个平行四边形为矩形时，即 P l （0，4），P 2（3，4）时，N 1（0，0），N 2（3，0）.CM 2 - M N 21 17 73＋ 413－ 41 PN 2 + PM 2 m 2 + (- 3 m + 9)2 2 13 (m - 54)2 + 3244 13 13综上所述，当 P l （0，4），P 2（3，4），P 3（ 2 ，－4），P 4（ 2 ，－4）时， P 、N 、B 、Q 构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N 1（0，0），N 2（3，0）.13. 解：（1）∵过 B ，C ，D 三点的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点 C 的横坐标为 4，BC ＝4，∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ＝4.∵A （2，6），∴D （6，6）.设抛物线解析式为 y ＝a (x －2)2＋2，∵点 D 在此抛物线上，∴6＝a (6－2)2＋2，∴a ＝ 1，4∴抛物线解析式为 y ＝ 1 (x －2)2＋2＝ 1x 2－x ＋3.4 4（2）∵AD ∥BC ∥x 轴，且 AD ，BC 间的距离为 3，BC ，x 轴的距离也为 3，F （m ，6），∴E （ π ，3），∴BE ＝ π ，∴S ＝ 1 (AF ＋BE )×3＝ 1 (m －2＋ π )×3＝ 9 m －3.2 2 2 2 2 4 ∵点 F （m ，6）是线段 AD 上，∴2≤m ≤6，即 S ＝ 9 m －3．（2≤m ≤6）4（3）∵抛物线解析式为 y ＝ 1x 2－x ＋3，∴B （0，3），C （4，3）.4∵A （2，6），∴直线 AC 解析式为 y ＝－ 3x ＋9.2∵FM ⊥x 轴，垂足为 M ，交直线 AC 于 P∴P （m ，－ 3 m ＋9）（2≤m ≤6），∴PN ＝m ，PM ＝－ 3m ＋9.2 2∵FM ⊥x 轴，垂足为 M ，交直线 AC 于 P ， 过点 P 作 PN ⊥y 轴，∴∠MPN ＝90°，∴MN ＝ = = .∵2≤m ≤6，∴当 m ＝ 54时，MN 13最大＝ ＝ 18 13 ．13 14. 解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （－2，0），点 B （4，0），点 D （2，4），∴设抛物线解析式为 y ＝a （x ＋2）（x －4），∴－8a ＝4，∴a ＝－ 1，2∴抛物线解析式为 y ＝－ 1 (x ＋2)(x －4)＝－ 1x 2＋x ＋4.2 2 （2） 如图 1，①点 E 在直线 CD 上方的抛物线上，记 E ′，连接 CE ′，过 E ′作 E ′F ′⊥CD ，垂足为 F ′， 由（1）知，OC ＝4，∵∠ACO ＝∠E ′CF ′，∴tan ∠ACO ＝tan ∠E ′CF ′，∴AO = E 'F ' = 1. CO CF ' 2设线段 E ′F ′＝h ，则 CF ′＝2h ，∴点 E ′（2h ，h ＋4）. ∵点 E ′在抛物线上，∴－ 1 (2h )2＋2h ＋4＝h ＋4，2324 13 yE ′ C D FF ′E A BOx2 2 2 2 ∴h ＝0（舍），h ＝ 1 ，∴E ′（1， 9）.2 2②点 E 在直线 CD 下方的抛物线上，记 E ，同①的方法得，E （3， 5），2 点 E 的坐标为（1， 9 ），（3， 5）.2 2（3） ①CM 为菱形的边，如图 2，在第一象限内取点 P ′，过点 P ′作 P ′N ′∥y 轴，交 BC 于 N ′，过点 P ′作 P ′M ′∥BC ，交 y 轴于 M ′， ∴四边形 CM ′P ′N ′是平行四边形.∵四边形 CM ′P ′N ′是菱形，∴P ′M ′＝P ′N ′. 过点 P ′作 P ′Q ′⊥y 轴，垂足为 Q ′，∵OC ＝OB ，∠BOC ＝90°，∴∠OCB ＝45°，∴∠P ′M ′C ＝45°. P ′ m 1 m 2 m 4 设 点 （ ，－ 2＋ ＋ ），在Rt △P ′M ′Q ′中，P ′Q ′＝m ，P ′M ′＝ m ， ∵B （4，0），C （0，4），∴直线 BC 的解析式为 y ＝－x ＋4， ∵P ′N ′∥y 轴，∴N ′（m ，－m ＋4），∴P ′N ′＝－ 1 m 2＋m ＋4－(－m ＋4)＝－ 1m 2＋2m ，2 2 ∴ m ＝－ 1m 2＋2m ，∴m ＝0（舍）或m ＝4－2 ， 2菱形 CM ′P ′N ′的边长为 (4－2 )＝4 －4．②CM 为菱形的对角线，如图 3，在第一象限内抛物线上取点 P ，过点 P 作 PM ∥BC ，交 y 轴于点 M ，连接 CP ，过点 M 作 MN ∥CP ，交 BC 于 N ， ∴四边形 CPMN 是平行四边形，连接 PN 交 CM 于点 Q ， ∵四边形 CPMN 是菱形，∴PQ ⊥CM ，∠PCQ ＝∠NCQ . ∵∠OCB ＝45°，∴∠NCQ ＝45°，∴∠PCQ ＝45°， ∴∠CPQ ＝∠PCQ ＝45°，∴PQ ＝CQ .设点 P （n ，－ 1 n 2＋n ＋4），∴CQ ＝n ，OQ ＝n ＋2，2 ∴n ＋4＝－ 1n 2＋n ＋4，∴n ＝0（舍），∴此种情况不存在．2∴菱形的边长为4 －4． 15. 解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点 A （－3，0），B （9，0）和 C （0，4）．∴设抛物线的解析式为 y ＝a (x ＋3)(x －9).∵C （0，4）在抛物线上，∴4＝－27a ，∴a ＝－ 4，27∴设抛物线的解析式为 y ＝－ 4 27 ∵CD 垂直于 y 轴，C （0，4）(x ＋3)(x －9)＝－ 4 27 x 2＋ 8x ＋4，9∴－ 4 27 x 2＋ 8x ＋4＝4，∴x ＝6，∴D （6，4）.92 2 2 yQMPN CDABOxyM ′ Q ′ P ′CDN ′ ABOx⎪⎩ ⎩ ⎩⎪ （2）如图 1，∵点 F 是抛物线 y ＝－ 4 27 x 2＋ 8x ＋4 的顶点，9∴F （3， 16 ），∴FH ＝ 4.3 3GH =FH4 ∵GH ∥A 1O 1，∴ AO FG ，∴ GH = 3 ，∴GH ＝1.1 13 4∵Rt △A 1O 1F 与矩形 OCDE 重叠部分是梯形 A 1O 1HG ，∴S ＝S－S ＝ 1 A O ×O F － 1 GH ×FH ＝ 1 ×3×4－ 1 ×1× 4 ＝ 16． 重叠部分 △A 1O 1F △FGH 2 1 1 1 22 23 3（3）①当 0＜t ≤3 时，如图 2，∵C 2O 2∥DE ，O G OO O G t 2 ∴ 2 = 2 ，∴ 2= ，∴O 2G ＝ t ，DE OE 4 6 3 ∴S ＝S ＝ 1 OO ×O G ＝ 12 ＝ 1 t 2，△OO 2G 2 2 2t × t 2 3 3 ②当 3＜t ≤6 时，如图 3，∵C 2H ∥OC ， ∴ DC 2 = C 2 H ，∴ 6 - t = C 2 H ，∴C 2H ＝ 2(6－t )， CD OC 6 4 3∴S ＝S 四边形 A 2O 2HG ＝S △A 2O 2C 2－S △C 2GH＝ 1 OA ×OC － 12 2C 2H ×(t －3) ＝ 1 ×3×4－ 1 × 2 2 2(6－t )(t －3) 3 ＝ 1t 2－3t ＋12 3∴当 0＜t ≤3 时，S ＝ 1 t 2，当 3＜t ≤6 时，S ＝ 1t 2－3t ＋12．3 ⎧- b 3 = -1 ⎪ 2a ⎧a = -1⎪ 16. 解：（1）依题意得： ⎨a + b + c = 0，解得⎨b = -2 ，⎪c = 3 ⎩∴抛物线解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.⎪c = 3∵对称轴为 x ＝－1，且抛物线经过 A （1，0），∴把 B （－3，0）、C （0，3）分别代入直线 y ＝mx ＋n ， ⎧-3m + n = 0 得⎨n = 3 ⎧m = 1 ，解得⎨n = 3 ，∴直线 y ＝mx ＋n 的解析式为 y ＝x ＋3.（2）设直线 BC 与对称轴 x ＝－1 的交点为 M ，则此时 MA ＋MC 的值最小． 把 x ＝－1 代入直线 y ＝x ＋3 得，y ＝2，∴M （－1，2），即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为（－1，2）. （3）设 P （－1，t ），又∵B （－3，0），C （0，3），∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10， ①若点 B 为直角顶点，则 BC 2＋PB 2＝PC 2， 即 18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得 t ＝－2；3 - 17 6 + 2 5 2 5⎩⎨ ②若点C 为直角顶点，则 BC 2＋PC 2＝PB 2， y 即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得 t ＝4， P③若点P 为直角顶点，则 PB 2＋PC 2＝BC 2， PC即 4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得 t 1＝ 3 + 217 ，t 2＝ 3 - 2 17 ；M综上所述 P 的坐标为（－1，－2）或（－1，4）或BAOx（－1， 2 ） 或（－1， ）． P217. 解：（1）把 A （－1，0），B （4，0），C （－2，－3）代入 y = ax 2 + bx + c 中， P⎧a = - 1 ⎪⎧a - b + c = 0 ⎪ 得⎪ ⎪ 3⎨16a + 4b + c = 0 ，解得⎨b = 2 ， ⎪4a - 2b + c = -3 ⎪ ⎪c = 2 ⎪⎩ 故二次函数的解析式为 y = - 1 x 2 + 3x + 2 .2 2（2） 设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ，⎧4k + b = 0 ⎧k = 1 1 则⎨-2k + b = -3 ，解得⎪ 2 ，∴ y = x - 2 . 2 ⎪⎩b = -2设点 E （m ， - 1 m 2 + 3m + 2 ）， -2 < m < 4 ， 2 2 则点 G （ -m 2 + 3m + 8 ， - 1 m 2 + 3m + 2 ）， 2 2∴ EG = (-m 2 + 3m + 8) - m = -m 2 + 2m + 8 . 易证△EFG ∽△DOB ，则△EFG 的周长 C与△DOB 的周长 C满足 C ∆EFG= EG ，易知 OD ＝2，OB ＝4，BD ＝ 2 △EFG，∴C ∆EFG= -m 2 + 2m + 8△DOB， C ∆DOB DB∴ C ∆EFG =3 5 + 5 (-m 2 + 2m + 8) = 3 5 + 5[-(m -1)2 + 9]. 5 5∴当 m ＝1 时，△EFG 的周长最大，最大值是 27 5 + 45 .5（3） 假设存在点 E ，使得△EDB 是以 BD 为直角边的直角三角形，设 E （a ， - 1 a 2 + 3a + 2 ）. 2 2 ①若∠EBD ＝90°，如图 1，过点 E 作 EF ⊥x 轴，垂足为 F ，则∠FBE ＋∠BEF ＝∠FBE ＋∠DBO ＝90°， ∴∠BEF ＝∠DBO ，∴△BEF ∽△DBO ，- 1 a 2 + 3a + 2 ∴ EF = BF ，∴ 22 = 4 - a，解得 a ＝3 或 a ＝4（舍去）， BO DO 4 2 此时 E （3，2）.3 + 17 5 yEAB OFxCD ⎩ 2②若∠EDB ＝90°，如图 2，过点 E 作 EF ⊥y 轴，垂足为 F ， 同理可得△DEF ∽△BDO ，-- 1 a 2 + 3 a + 2 - (-2) ∴ EF = DF ，∴ a = 2 2 ， DO BO 2 4 解得 a ＝－1 或 a ＝8，此时 E （－1，0）或 E （8，－18）. 故存在满足条件的点 E ， 点 E 的坐标为（3，2），（－1，0），（8，－18）.。
2016～2017学年度下学期期中考试七年级 数学 参考答案 一、选择题(每小题3分，共42分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 C C B C B C C D D A B B C A二、填空题（每小题4分，共20分）．15. ＞ 16. 30° 17. 48° 18. 3或-1 19. 3三、解答题20. （满分11分）（1）解：原式=)23(23-- --------------2分 =2323+- --------------3分 =324---------------5分（2）解：， 由①得：x=2﹣2y ③， --------------2分将③代入②，得：2（2﹣2y ）+y=4， --------------3分解得：y=0， --------------4分将y=0代入①，得：x=2， --------------5分故方程组的解为 --------------6分----------------------------------------------------------------------------------------------------------21. (满分9分，每空3分)（两直线平行，同位角相等）；（等量代换）；（内错角相等，两直线平行）22. (满分8分)解：过A 作x 轴的平行线l 交y 轴于点E ，过B 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线l 于点C ， 则S 长方形ECDO =5×4=20， ---------------2分S 直角△AEO =×5×1=2.5； ---------------4分S直角△ABC=×3×3=4.5；---------------5分S直角△OBD=×4×2=4；---------------6分则S△OAB=S矩形ECDO﹣S Rt△ABC﹣S Rt△AEO﹣S Rt△OBD=9．---------------8分------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23. (满分10分)证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC；----------------------2分∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=180°；----------------------4分∴AB∥CD；-----------------------5分（2）∵DE平分∠BDC，∴∠2=∠FDE；-----------------------6分∵∠1+∠2=90°，∴∠BED=∠DEF=90°；-----------------------7分∴∠3+∠FDE=90°；-----------------------8分∴∠2+∠3=90°．--------------------------10分-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------24. (满分10分)解：（1）点B在点A的右边时，﹣1+3=2，--------------1分点B在点A的左边时，﹣1﹣3=﹣4，--------------2分所以，B的坐标为（2，0）或（﹣4，0）；--------------3分（2）存在--------------------4分设点P到x轴的距离为h，×3h=10，解得，h=，--------------6分点P在y轴正半轴时，P（0，），--------------8分点P在y轴负半轴时，P（0，﹣），--------------9分综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．--------------10分-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------25. (满分10分)（1）证明：∵∠CED=∠GHD，∴CE∥GF；----------------------2分（2）解：∵CE∥GF，∴∠C=∠FGD，----------------------3分∵∠C=∠EFG，∴∠FGD=∠EFG，----------------------4分∴AB∥CD，∴∠AED+∠D=180°；----------------------6分（3）解：∵∠DHG=∠EHF=100°，∠D=30°，CE∥GF, AB∥CD∴∠CED=100° , ----------------------8分∵∠AED+∠D=180°,∴∠AED=150°, ----------------------9分∴∠AEC=50°,∴∠AEM=130°----------------------10分。
