第五章《分式》

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第五章《分式》
【知识归纳】
分式的概念；分式的基本性质；分式的乘除（通常是先分解因式，后约分）；
分式的加减（通常是先通分，后约分）；最后的结果一定要是最简的；
解分式方程，分式方程的应用题，都要检验。

1：分式的意义
例1．（1）当x 时，分式11x有意义．
分析：要使分式有意义，只要分母不为0即可
（2）已知分式11xx的值是零，那么x的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
1

分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点：（1）分子为零；（2）分母不为零
评注：在分式的定义中，主要考查分式AB在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。当B≠0时，分式AB有
意义；当B=0时，分式AB无意义；当A=0且B≠0时，分式AB的值为0
2：分式的变形

例2．下列各式与xyxy相等的是（ ）

A ()5()5xyxy B 22xyxy C 222()()xyxyxy D 2222xyxy
解析：正确理解分式的基本性质是分式变形的前提
3：分式的化简
分式的约分与通分是进行分式化简的基础，特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意
的一个重要方面

例3．化简：x－1x÷(x－1x).
分析：本题要先解决括号里面的，然后再进行计算
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4：分式的求值
例4．先化简代数式：22121111xxxxx，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．

5：解分式方程
例5．解分式方程：22322xxx

若关于x的分式方程2+1122kxxx无实数解，则k=
6：分式方程的应用
例6．A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，
那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？

7：综合决策
例7．在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两
个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完
成．请问：
（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？
（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费
用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用为多少？
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考点一、分式的基本概念
例1、从“6＋3x2、2、4＋a、3b、c”中选取四个（不重复），每两个分别组成代数式，其中一个是整式，
一个是分式．
解析：整式包括单项式和多项式；分式指的是具有AB的形式，其中A，B都是整式，并且B中都含有字母的代数
式．

例2、某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a元，之后的每一分钟收费b元．如果某人
打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（ ）分钟
A．8ab B．8ab C．8abb D．8abb
考点二、当分式有(无)意义和值为0时,字母的取值范围
本考点主要涉及两种基本题，一是确定分式有、无意义时字母的取值范围，二是分式的值为0时，字母的取
值。对于一个分式，当分母为0时，分式无意义；当分母不等于0时，分式有意义，且无需考虑分式的分子；当
分式的值为0时，一定要注意分子为0，分母不为0这两个条件要同时满足。
例3、（1）使分式2xx有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≠-2 C．x > -2 D．x < -2

（2）分式21(1)(2)xxx无意义的条件是 ；有意义的条件是 ；分数值
为0的条件是
例4、若分式11xx的值为零，则x的值等于 ．
考点三、分式的基本性质
例5、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）．

A．122122xyxyxyxy B．0.220.22abababab C．11xxxyxy D．abababab
考点四、分式的化简与计算
例6、化简（-1x）÷21xx的结果是（ ）

A．-x-1 B．-x+1 C．-11x D．11x
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例7、有一道题：“先化简，再求值：236()39xxxx÷219x，其中x= -2007”。小亮同学做题时把
“x= -2007”错抄成了x=2007，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事．

例8、先化简代数式221()22xxxx÷224x，请你取一个x的值，求出此时代数式的值．

考点五、分式方程的概念及其解
例9、 请选择一组a，b的值，写出一个形如1abx的关于x的分式方程，使它的解为x= -1，这样的分
式方程可以是________．
例10、解方程：341xx

考点六、分式方程的应用
例11、某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，
很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量
比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书
总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？

【易错点剖析】
1．符号错误
例1．不改变分式的值，使分式baba的分子、分母第一项的符号为正．
错解：babababa 正解：
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2．分式的基本性质用错
例2. 不改变分式的值，把分式baba32232的分子、分母各项系数都化为整数．

错解：原式=babababa32343)32(2)232(． 正解：原式=．
3．约分中的错误
例3．约分：2222babaaba．
错解：原式=22322111bb． 正解：原式=．
4．结果不是最简分式
例4．计算：2222223223yxyxyxyxyxyx．

错解：原式=222222)32()2()3(yxyxyxyxyxyx．
正解：原式=．

5．误用分配律
例5．计算：)222(422mmmmm．

错解：原式=)2(2321)2(2122)2(22)2()2(22mmmmmmmmmm．
正解：原式=．

6．忽略分数线的括号作用
例6．计算：1123xxxx．

错解：原式=1121)1)(1(111122323xxxxxxxxxxxx．
正解：原式=