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不完全信息战略博弈的数学模型及其应用

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不完全信息战略博弈的数学模型及其应用
作者：虞林杰
来源：《科学与财富》2010年第11期

[摘 要] 不完全信息战略博弈的相关理论体系远未成熟，逻辑基础并不严密。本文在剖析
不完全信息博弈的概念与特点的基础之上，用数学语言描述不完全信息战略博弈的数学模型，
并举例说明其应用。

[关键词] 不完全信息战略博弈 数学模型 应用

1、前言
在当今博弈论的研究中，关于共同知识、动态博弈的逆向归纳法，以及逻辑全知悖论、贝
叶斯均衡的形式化等博弈论相关内容的讨论已经发展的较为成熟，其应用也逐渐扩展到人类社
会的各个方面，起到了解释和指导社会现象的作用。但是，经典的博弈理论大多建立在完全信
息基础之上，尽管也有很多学者努力构建不完全信息博弈模型，以解决在大多数生活生产的情
况中出现的不完全信息问题，但是相关理论体系远未成熟，逻辑基础并不严密。因此，本文将
在剖析不完全信息博弈的概念与特点的基础之上，用数学语言描述不完全信息战略博弈的数学
模型，并举例说明其应用。

2、不完全信息战略模型的概念与数学描述
不完全信息博弈是指这样的博弈：与完全信息博弈不同，至少有一个参与者博弈参与者对
策略空间及策略组合下其他参与者的支付没有完全的了解，也就是说参与者的获益函数不再是
公共知识，这就是这种模型中所谓的“不完全信息”。在这样的背景下，不完全信息博弈论的主
要任务就是刻画以下特征：博弈主体知识信念的概然性、推理的不确定性和博弈模型均衡的随
机性。由于博弈参与人的信息是不完全的，即使在完全信息的情况下博弈中存在唯一的纳什均
衡，这个均衡也不会一次达到，而必须通过多次博弈，博弈参与人逐渐学习到他人的策略，归
纳总结了博弈的经验之后才能达到，即归纳推理的方法。根据以上特征，我们能够用数学语言
对不完全信息博弈模型进行描述。

定义1 不完全信息博弈模型
根据这一不完全信息博弈模型的定义，我们可以进一步对不完全信息博弈的均衡加以定
义。在不完全信息博弈模型中，任何给定的博弈行动里参与人都知道他自己的类型与收益函
数，因此，单个的参与人可能会认为对每个孤立的自然状态都应进行均衡的定义。但是在任一
特定的状态里，参与人为了做出最优的行动，都需要考虑别的参与人在其他的状态里将如何决
策，因为他自己或他人可能对状态不完全了解。也就是说，单个参与人的信息获得和最终决策
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可能要依赖于参与人自己在别的状态里将可能选择的行动，这也是每个参与人可能都对状态不
了解所造成的。基于此，用数学语言定义不完全信息博弈中的纳什均衡可以表现为以下这种形
式：

定义2 不完全信息博弈纳什均衡定义
3、例析不完全信息博弈模型的应用
本文将举一个比较经典的例子分析不完全信息博弈的应用。即KMRW声誉模型。假设有
某一地区的两个建筑施工企业，他们对施工项目进行竞标价格。企业分为两种，企业A是有
经验且十分理性的企业，而企业B则是欠缺经验且非理性的。企业A知道自己是理性的，但
是不知道B是否是理性的，只知道B企业是理性的概率是P，非理性的概念为1-P。而非理性
的B企业由于某种特定的原因，只会选择一种策略——“针锋相对”，即一开始企业B选择区域
内正常的利润水平，而到了下一期，选择企业A在上一期阶段的选择，二者的获益情况如表1
所示。

可以看出，在完全信息静态博弈模型当中，该获益函数有一个纳什均衡，即（下调，下
调）。尽管两个企业串谋可以获得最大的行业效益，即（维持，维持），行业收益可达6，但
是在一个企业单方面维持利润的情况之下，另一个企业下调利润将获得5的收益，高于行业平
均利润。而在不完全信息条件的静态博弈之下，不管企业B是否是非理性，企业A将选择下
调利润，从而获得5的收益。

如果将这一博弈模型放到动态的情况下考察可以发现，在T1的选择将影响T2的决策情
况。如果企业A在T1选择维持利润，则其期望支付为：


参 考 文 献
[1] 王玉水,刘景园,李俊峰.不完全信息重复博弈与声誉模型的竞标应用[J]. 山西建筑,2008(6).
[2] 辛宝贵,马军海.一个不完全信息古诺博弈动力学模型的构建[J]. 统计与决策,2009(8).
[3] 陈振标,刘敏榕,李峰.竞争情报在不完全信息博弈中的作用[J]. 情报探索,2010(8).
[4] 舒尚奇,张宇.不完全信息战略博弈之数学模型[J].渭南师范学院学报,2004(5).
[5] 贺寿南.不完全信息博弈的逻辑分析[J].周口师范学院学报,2010(4)■

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6-不完全信息动态博弈

6-不完全信息动态博弈


(7, 3)
B 2
(2, 9) A
0.6 Ｎ
0.4
B (3, 6)
L
T
R
2019/11/6
魏光兴——重庆交通大学
A (5, 3)
B
2 A
(2, 6) (4, 7)
B (5, 3)
16
7.2 信号博弈
练习2：
(6, 2) A
LF
R
(2, 8)
B 2
(4, 9) A
0.5 Ｎ
0.5
B (3, 6)
1
A (4, 4, 4)
L 3
R
2
U
B
D
A
D
(3, 3, 0)
(5, 5, 0) (1, 1, 1)
(2, 2, 2)
2019/11/6
魏光兴——重庆交通大学
6
7.1 精炼贝叶斯纳什均衡
练习
1
L
R
2
B M
U
2
3
(3, 2, 0)
Z (4, 4, 4)
Z Y
(6, 5, 0)
(1, 1, 1)
Y
不同类型的局中人选择相同的行为，发送相同的信号；后验 概率与先验概率相同
准分离均衡Semi-separating Equilibrium
又称杂合均衡Hybrid Equilibrium，某些类型的局中人选择随 机行为发送随机信号，另一些类型的局中人选择特定行为发 送特定信号；部分后验概率等于1，部分后验概率变精确
化简后的信号博弈模型
T1
R
A (2, 1)
0.5 Ｎ
(2, 4)
A
0.5 L T2
不完全信息动态博弈

不完全信息动态博弈

德国、法国、西班牙和英国等，是欧洲航空公司的联合企业，
创立目的就是和波音这样已成规模的公司竞争。
波音早于空客成立，所以当欧洲各国抢占市场时，波音早
已在欧洲站稳脚跟。波音公司先进入市场，就可能出现两种情
况——波音公司是一个“无先发优势”的企业，也可能是一个
“有先发优势”的企业。
第5页
2

波音与空客之战
第五章
不完全信息动态博弈
主要内容
第一节
不完全信息动态博弈
第二节
精炼贝叶斯纳什均衡
第三节
信号博弈
第四节
先验信念、策略互动、后验概率
第 2 页
第一节
不完全信息动态博弈
不完全信息动态博弈特点
波音与空客之战
第3页
1
不完全信息动态博弈特点
不完全信息动态博弈：指至少有一方参与者对于博弈的信息不是
完全了解，并且参与者的行动存在先后顺序。和不完全信息静态
由方程 2q1 q2 8 和 q1 2q2 8 可得：
q1=8/3，q2=8/3
在“无先发优势”条件下波音公司利润π(q1)=64/3，空客
公司利润为π(q2)=10/3。
也就是说，在波音公司是“无先发优势”条件下，空客
公司会选择生产，与波音公司竞争。
第 13 页
第二节
精炼贝叶斯纳什均衡
自己肯定选择策略R,所以对这个动态博弈来说，博弈路径必
定是甲选择策略T，乙选择策略R。
第 22 页
3

不可置信的威胁与可置信的威胁
不可置信威胁又称空洞威胁，是完全没有任何威胁作用的威
胁。比如在上述博弈中，乙为了让甲选择策略N，就对甲说，
如果不选择N，乙会选择策略L，局中人甲得益就是0，但甲选
不完全信息博弈

不完全信息博弈


（0.6）
不建厂
2，1
3 ，0
不完全信息静态下市场进入的博弈树
进入E 高建厂成本 [0.4] 建 （0，-1）
不进入D （2，0） E （2，1）
N○
[0.6]
1
低建厂成本
不建
建 不建
2
D
E
（3，0） （1，-1） （4，0） （1）
D E
D
（3，0）
不完全信息静态市场进入模型 －－求解思路
不妨假设：
企业1的单位成本c1是共同信息，企业2的单位成本
c2 是其私人信息，它有高成本 c2H 和低成本 c2L两种情 形，设低成本的概率为p，它是双方的共同知识。
• 给定企业 2 知道企业 1 的成本时，企业 2 将最大化其利
润函数：
π2=q2(a-c2-q1-q2)，
其中c2=c2H或c2L依赖于企业2的实际成本。 由此可得企业2的反应函数为： q2*(q1, c2)=(a-c2-q1)/2 它不但依赖于企业1的产量q1，而且依赖于自己的成本 c2。分别记q2L、q2H为企业2在低成本和高成本下的最 优反应产量，分别为：
不完全信息静态市场进入模型 －－期望收益
• 在位者有两个信息集：高成本类型和低成本类型， 因而有4种纯策略；潜在进入者只有进入不进入两 种纯策略。 • 海萨尼转换后，支付矩阵变为： 潜在进入者 进入 不进入 0.6，-1 3.2，0 1.2，0.2 2.6，0 1.4，-0.2 3.6，0 2，1 3，0
图示——完全信息情形
q2
q1*(q2) 1/2 1/6 1/4 5/12
在完全信息情形下，满足以上条件时， 若企业2为低成本时，纳什均衡产量为 q1*=1/4，q2L*=1/2。 若企业2为高成本时，则企业1和2的纳 什均衡产量分别为5/12和1/6。 完全信息时的纳什均衡
07 不完全信息动态博弈

07 不完全信息动态博弈


行为方行为
a1
声明方 类型
a2
1，1 2，0 1. 2. 3. 不同类型的声明方必须偏好行为方不同行为 对应声明方不同类型，行为方必须偏好不同行为 行为方的偏好必须与声明方具有一致性
t1 t2
2，0 1，1
不能传递信息（声明方 与行为方偏好相反）
练习
行为方行为
a1
声明方 t2 类型
t3
t1
0，1 0，0 0，0
信号博弈精炼贝叶斯均衡
1.信号接收方 R在观察到信号发出方 S的信号 m j 之后，必须有关于 S的类型 的判断，即 S选择 m j时， S是每种类型 ti的概率分布 p (ti | m j ) ≥ 0, ∑ p (ti |m j ) = 1
ti
2.给定 R的判断 p (ti | m j )和 S的信号 m j，R的行为 a * ( m j )必须使 R的期望得益 最大，即 a * ( m j )是最大化问题 max ∑ p (ti |m j )u R (ti , m j , ak )的解
引例2 引例2
N
[u ] 高
在位者 P=4 进入者 进 不进 进 进 不进 不进 进 P=6
底 [1 − u ]
P=5
P=4
P=5
P=6
进 不进
不进 进
不进
在位者的垄断利润情况 P=4 高成本 低成本 2 6 P=5 6 9 P=6 7 8
两企业同在市场的各自利润情况 均衡价格 高成本 低成本 5 4 在位者 3 5 进入者 3-2=1 1-2= -1
那么在第一阶段，低成本的甲权衡： 那么在第一阶段，低成本的甲权衡： 选择价格5 无法扭转乙的信念，甲的收益为14 14； 选择价格5，无法扭转乙的信念，甲的收益为14； 选择价格4 进一步揭示自己的低成本，则乙不进入，甲收益15 15； 选择价格4，进一步揭示自己的低成本，则乙不进入，甲收益15； 权衡比较选择价格4 权衡比较选择价格4 高成本的甲则需要权衡： 高成本的甲则需要权衡： 选择价格为6，导致乙坚定的进入市场，甲收益为10 选择价格为 ，导致乙坚定的进入市场，甲收益为 选择价格5，乙无法修正先验概率则进入，甲收益为9 选择价格 ，乙无法修正先验概率则进入，甲收益为 选择4不划算 选择 不划算 权衡比较选择价格6 权衡比较选择价格