无理数_教案
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111111111/21/21/21/2无理数
教学目标
1、理解有理数的意义。
2、知道无理数是客观存在的,了解无理数的概念。
3、会判断一个数是有理数还是无理数。
4、经历数的扩充,在探索活动中感受数学的逼近思想,体会“无限”的过程,发展数感。 教学重点
1.区分有理数与无理数,知道无理数是客观存在的。
2.感受夹逼法,估算无理数的大小。
教学难点:会判断一个数是有理数还是无理数,体会“无限”的过程。
教学过程
一、创设问题情境,引入新课:
1、[问]我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?
[答]在小学我们学过自然数、小数、分数.,在初一我们还学过负数.
[问]我们在小学学了非负数,在初一发现数不够用了,引入了负数,即把从小学学过的正数、零扩充了范围,从形式上来看,我们学过的一部分数又可以分为整数和分数。我们能够把整数写成分数的形式吗?如:5,-4,0。。。,可以吗?
[答]可以!如5= ,-4= ,0=
小结:我们把可以化为分数形式“m/n (m 、n 是整数,n ≠0)”的数叫做有理数;
2、想一想:小学里我们还学过有限小数和循环小数,它们是有理数吗?
问:有限小数如0.3,-3.11,。。。能化成分数吗?它们是有理数吗?
答:0.3= ,-3.11= ,它们是有理数。
问:请将1 /3,4/15 ,2/9写成小数的形式。
答:1 3=0.333...,4/15=0.26666...,2 /9=0.2222.....
问:这些是什么小数?答:循环小数
小结:反之循环小数也能化为分数的形式,它们也是有理数!
循环小数如何化为分数可以一起学习书P17、读一读
二、讲授新课
有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?下面我们就来共同研究这个问题.
1.议一议:有两个边长为1的小正方形,剪一剪,拼一拼,设法得到一个大正方形。
(1) 设大正方形的边长为a ,a 满足什么条件?
(2) A 可能是整数吗?说说你的理由。
(3) A 可能是分数吗?说说你的理由,并与同伴交流。
(1)a 是正方形的边长,所以a 肯定是正数.因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积,所以根据正方形面积公式可知a 2=2.
(2)教师应鼓励学生充分进行思考、交流,并适时给予引导:“12=1,22=4,32=9,...越来越大,所以a 不可能是整数”, 因为2个正方形的面积分别为1,4,而面积又等于边长的平方,所以面积大的正方形边长就大,因为a 2大于1且a 2小于4,所以a 大致为1点几,即可判断出a 是大于1且小于2的数。
2、算一算:
(1)a肯定比1大而比2小,可以表示为1<a<2.那么a究竟是1点几呢?请大家用计算器进行探索,首先确定十分位,十分位究竟是几呢?如1.12=1.21,1.22=1.44,1.32=1.69,1.42=1.96,1.52=2.25,而a2=2,故a应比1.4大且比1.5小,可以写成1.4<a<1.5,所以a 是1点4几,即十分位上是4,请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.请一位同
a=1.41421356…,还可以再继续进行,且a是一个无限不循环小数.
(2)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时,它的平方恰好等于5?请大家分组合作后回答.(约4分钟)
b=2.236067978…,还可以再继续进行,b也是一个无限不循环小数.
小结:归纳总结:a,b既不是整数,也不是分数,则a,b一定不是有理数.如果写成小数形式,它们是无限不循环小数——无理数。关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前,古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”,即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”,也就是一切现象都可用有理数去描述.后来,这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,据说为此希伯索斯被投进了大海,他为真理而献出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的,后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数。
我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的,我们一方面应积极地学习这些经验,另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样科学就会永远停留在某处而不前进,要向古希腊的希伯索斯学习,学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.
除上面的a,b外,圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数,它们都是无理数.
3、有理数与无理数的主要区别
(1)无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.
(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式,而无理数则不能.
三、课堂练习
1、判断题
(1)有理数与无理数的差都是有理数.
(2)无限小数都是无理数.
(3)无理数都是无限小数.
(4)两个无理数的和不一定是无理数.
2、以下各正方形的边长是无理数的是()
(A)面积为25的正方形;(B) 面积为16的正方形;
(C) 面积为8的正方形; (D) 面积为1.44的正方形.
四、课时小结
1.什么叫无理数?
2.数的分类?
3.如何判定一个数是无理数还是有理数.