2019届高考数学第二轮高效精练51

解答题通关练1.解三角形1.在AABC中，角A, B, C 所对的边分别为。

，b, c,已知m=(ccos C, 1), 〃 = (2, acos B +/?cos A),且⑴若c- = lb2, S AABC=2娘,求a,人的值；(2)若2sin Acos A = sin A+cos A,求实数4的取值范围.解 (l)・「zn_L〃，.*.m n=2ccos C+acos B+bcos A=0,由正弦定理得2sin Ceos C+sin Acos B+sin Bcos A=0,2sin Ceos C=— sin(A+B)= — sin C.又C£(0, 7i), sin C^O,•cos c= —- • c=~•. VUO I 2,・・l 3.由余弦定理c'=a2+b2—2abcos C, c2=7b2,得a—6Z?2+«/?—0,'.a—2b或a=—3b(舍去)，又C=2*^3, ab=8,•・i=4, Z?=2.(2)由(1)得A 为锐角，故sin Acos A^O.sin A+cos AX Asin Acos A=sin A+cos A, /.A=-s j n ^cos，设£=sin A+cos A=Ssin°+¥),・.・AE(0,寺，.・.10＜皿，O’ 7...人=吕=土在(1,皿］上单调递减，.人＞-------- 2A/2..““(S)2—1—2W，实数人的取值范围为［2皿，+8).2.已知ZvlBC 中，AC=2, A=号，^/3cos C=3sin B.又 sin Bsin(1)求 AB ；⑵若D 为B C 边上一点，且△ACQ 的面积为孚，求ZADC 的正弦值.解(1)因为A=亨，所以B=^—C,由"7§cos C=3sin B 得,cos C='sin 任-所以 cos C=A /3(^^COS c —^sin C )=|cos C —平sin C,所 以§cos C=gsin C,即 tan C=^~.又因为勇(0,寺，所以C=g,从而得3=§一C=§所以AB=AC=2.⑵由已知得| AC CZ )sin 1孚，所以CD=哗,在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2=AC 2+CD 2~2AC-CDcos C=f,即 AD=乎，土 T 吵〜钿泊 AD AC 站• / ■ n 厂 "sin C 2寸由正弦正理倚，sinZADC 故 smZADC - AD - 7 -3. 已知a, b, c 是△ABC 的内角A, B, C 所对的边，且黔+滂=；篇#-L 5111 D olll ^olll D olll⑴求角A ；(2)若a = 4,求AABC 的面积的最大值.护 .i\..sinC | sin 』_ 1—cos2A__ ] 用牛 11J • sinB 十sinC —2sinBsinC.sin sin B sin^A 即阮当且仅当b = c 时取等号，...（阮）max=§，••・Sd4Bc=§"csin A=§X 阮X 乎=乎阮＜平X?=马3, 当且仅当b=c 时取等号,AABC 的面积的最大值为耳£4. （2018-六安模拟）已知函数加=2福sin2（^+J + 2si 皆+x ）cos 俘+尤）1 * sin B sin C sin Bsin C '/. sin 2C+ sin 2B=sin 2A —sin Bsin C. 由正弦定理得，b 2+c 2—a 2= ~bc, . /?2 + c 2 —6Z 21・•・cos A =—液一=—云V0<A<K ,「・A=亨.(2)由(1)知，人=号，由余弦定理得，2冗 42=Z?2+c 2—2/?ccos -^-=b 2+c 2+bc^2bc+bc=3bc 9（1）求函数/（工）的单调递增区间；（2）在如43。

高考数学精品复习资料2019.5专题二 万能答题模板——助你解题得高分数学解答题题型解读数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分．模板1 三角函数的性质问题例1 已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．审题破题 (1)由x ＝x 0是y ＝f (x )的对称轴可得g (x 0)取到f (x )的最值；(2)将h (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．解 (1)f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， 所以2x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6(k ∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6，k ∈Z . 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34.当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12[1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6]＋1＋12sin 2x＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32是增函数． 故函数h (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12 (k ∈Z )．第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，即化为“一角、 一次、一函数”的形式；第二步：由y ＝sin x 、y ＝cos x 的性质，将ωx ＋φ看做一个整体，解不等式，求角的 范围或函数值的范围；第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．跟踪训练1 已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间．解 f (x )＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x ·cos x ＋1＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＋1 ＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1≤3.∴当2x ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值3；当2x ＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－5π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1.(3)由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π (k ∈Z )． 模板2 三角函数与向量、三角形例2 在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3(tan A －tan B )＝1＋tan A ·tan B ，又已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(cos B ，sin B )，求|3m －2n |的取值范围．审题破题 由已知A ，B 关系式化简，利用向量的数量积求出|3m －2n |并化简为一个角的三角函数形式．解 因为3(tan A －tan B )＝1＋tan A ·tan B ，所以tan A －tan B 1＋tan A ·tan B ＝33，即tan(A －B )＝33，又△ABC 为锐角三角形，则0<A <π2，0<B <π2，所以－π2<A －B <π2，所以A －B ＝π6.又|3m －2n |2＝9m 2＋4n 2－12m·n ＝13－12sin(A ＋B )＝13－12sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6. 又0<C ＝π－(A ＋B )<π2，0<A ＝π6＋B <π2，所以π6<B <π3，所以π2<2B ＋π6<5π6.所以sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以|3m －2n |2∈(1,7)． 故|3m －2n |的取值范围是(1，7)．第一步：进行三角变换，求出某个角的值或者范围；第二步：脱去向量的外衣，利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数 问题；第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．跟踪训练2 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .(1)将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)记f (x )的最大值为M ，a 、b 、c 分别为△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的边长，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝M ，且a ＝2，求bc 的最大值．解 (1)由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 又T ＝2πω＝2π2＝π.所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)易得M ＝3，于是由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝M ＝3，得2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋1＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1， 因为A 为三角形的内角，故A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，解得bc ≤4. 于是当且仅当b ＝c ＝2时，bc 取得最大值4. 模板3 空间平行或垂直关系的证明例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、 BD 的中点，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD .(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PCD .审题破题 (1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．(2)先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理．证明 (1)连接AC ，则F 是AC 的中点，又∵E 为PC 的中点， ∴在△CP A 中，EF ∥P A ，又∵P A ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD .(2)∵平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥P A .又P A ＝PD ＝22AD ，∴△P AD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，即P A ⊥PD .又∵CD∩PD＝D，∴P A⊥平面PCD，又∵P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD.第一步：将题目条件和图形结合起来；第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系； 第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.跟踪训练3 (20xx·山东)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连接EH ，DH .又E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD . 所以CE ∥平面P AD . 方法二 连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF ∥P A . 又因为AB ⊥P A ，所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .又因为EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . 所以AB ⊥平面EFG .又因为M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥CD ， 又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG . 又因为MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . 模板4 空间角的求解问题例4 (20xx·浙江)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120°，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝26，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值． 审题破题 (1)由M 、N 分别为PB 、PD 的中点，可利用△PBD 的中位线得到MN ∥BD ；(2)利用空间向量来解．(1)证明 连接BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MN 是△PBD 的中位线，所以MN ∥BD . 又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD .(2)解 连接AC 交BD 于点O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为 x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示． 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°， 得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6. 又因为P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥AC .在直角△P AC 中，AC ＝23，P A ＝26，AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4. 由此知各点坐标如下：A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)，P (－3，0,26)，M ⎝⎛⎭⎫－32，－32，6，N ⎝⎛⎭⎫－32，32，6，Q ⎝⎛⎭⎫33，0，263.设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量，由AM →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，6，AN →＝⎝⎛⎭⎫32，32，6知⎩⎨⎧32x －32y ＋6z ＝0，32x ＋32y ＋6z ＝0.取z ＝－1，得m ＝(22，0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量，由QM →＝⎝⎛⎭⎫－536，－32，63，QN →＝⎝⎛⎭⎫－536，32，63知 ⎩⎨⎧－536x －32y ＋63z ＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0.取z ＝5，得n ＝(22，0,5)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333.第一步：作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直的直线； 第二步：建立空间直角坐标系，设出特征点坐标； 第三步：求半平面的法向量n ，m ；第四步：求法向量n ，m 的夹角或cos 〈m ，n 〉；第五步：将法向量的夹角转化为二面角，要注意直观判定二面角的大小； 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.跟踪训练4 (20xx·江西)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值． (1)证明 在△ABD 中，因为E 为BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3.因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA .故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，∴EF ∥AB ，GF ∥P A . 又∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴GF ⊥AD ，EF ⊥AD ， 故AD ⊥平面CFG .(2)解 以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D (0，3，0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32， 故BC →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，CP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，32，CD →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0.设平面BCP 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CP →＝0n 1·BC →＝0即⎩⎨⎧－32x 1－32y 1＋32z 1＝012x 1＋32y 1＝0令y 1＝－3，则x 1＝3，z 1＝2，n 1＝(3，－3，2)． 同理求得面DCP 的法向量n 2＝(1，3，2)， 从而平面BCP 与平面DCP 的夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝44×22＝24.模板5 数列通项公式的求解问题例5 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列． (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．审题破题 (1)可令n ＝1，n ＝2得关系式联立求a 1；(2)由已知可得n ≥2时，2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减．解 (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)，③由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减得a n ＋1－3a n ＝2n ， 则a n ＋12n －32·a n 2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝⎛⎭⎫a n2n －1＋2. 又a 120＋2＝3，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1＋2是首项为3，公比为32的等比数列， ∴a n2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式， ∴a n ＝3n －2n .第一步：令n ＝1，n ＝2得出a 1，a 2，a 3的两个方程，和已知a 1，a 2，a 3的关系 联立求a 1；第二步：令n ≥2得关系式后利用作差得a n ＋1，a n 的关系；第三步：构造等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1＋2，并求出通项；第四步：求出数列{a n }的通项．跟踪训练5 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3； (2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式．(1)解 在S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1中分别令n ＝1,2,3，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a 1－1a 1＋a 2＝2a 2＋1a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(2)证明 由S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1得： S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1，n ≥2.两式相减得a n ＝2a n －1－2(－1)n ，n ≥2.a n ＝2a n －1－43(－1)n －23(－1)n＝2a n －1＋43(－1)n －1－23(－1)n ，∴a n ＋23(－1)n ＝2⎣⎡⎦⎤a n －1＋23(－1)n －1(n ≥2)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 是以a 1－23＝13为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋23(－1)n ＝13×2n －1，∴a n ＝13×2n －1－23×(－1)n .模板6 数列求和问题例6 (20xx·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .审题破题 (1)由S n 的最大值，可据二次函数性质求k ，因而确定a n ；(2)利用错位相减法求和．解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n .(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.第一步：利用条件求数列{b n }的通项公式； 第二步：写出T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n 的表达式；第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如：公式法、裂项法， 本题用错位相减法)； 第四步：明确规范表述结论；第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求a n 时，易 忽视对n ＝1，n ≥2时的讨论.跟踪训练6 已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上的一点．等比数列{a n }的 前n 项和为f (n )－c .数列{b n } (b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1 (n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0012 012的最小正整数n 是多少？解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x . 由题意知，a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227.又数列{a n }是等比数列，∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)． ∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1) ＝S n ＋S n －1 (n ≥2)．又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.∴数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式．∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)． (2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋12×⎝⎛⎭⎫13－15＋12×⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 0012 012，得n >1 00110，∴满足T n >1 0012 012的最小正整数n 的值为101.模板7 概率与统计问题例7 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200, 140,110,160,220,140,160. (1)完成下列频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 审题破题 (1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算．解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有3个．故近(2)由题意知，当X ＝70时，Y ＝460； X 每增加10，Y 增加5，故Y ＝460＋5×X －7010＝X2＋425.P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210) ＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.第一步：理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表； 第二步：利用互斥事件的概率公式求概率、作答.跟踪训练7 (20xx·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评 委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解 (1)(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.模板8 离散型随机变量的分布列问题(理)例8 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．审题破题 (1)对“甲、乙至少一人闯关成功”进行标记、分解，再利用概率公式求解；(2)确定ξ的所有取值，计算ξ所有取值对应事件的概率写出分布列． 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ，则P (A )＝C 14·C 22C 36＝420＝15，P (B )＝(1－23)3＋C 13·23(1－23)2＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×15＋2×45＝95.第一步：求解离散型随机变量的分布列及其期望，首先分清事件的构成与 性质，确定离散型随机变量的取值；第二步：根据概率类型选择公式求解变量取每一个值的概率；第三步：列出分布列的表格；第四步：最后根据期望的定义式或计算公式求解其值；第五步：反思回顾，根据分布列性质检验结果是否正确，计算是否正确.跟踪训练8 某师范大学地理学院决定从n 位优秀毕业生(包括x 位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师，每一位学生被选派的机会是相同的．(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，试求出n 与x 的值；(2)在(1)的条件下，记X 为选派的2位学生中女学生的人数，写出X 的分布列．解 (1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，而从n 位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总方法数为C 2n＝n (n －1)2，2位学生中恰有1位女学生的方法数为C 1n －3C 13＝(n －3)×3.依题意可得C 1n －3C 13C 2n ＝3(n －3)n (n －1)2＝35， 化简得n 2－11n ＋30＝0，解得n 1＝5，n 2＝6. 当n ＝5时，x ＝5－3＝2；当n ＝6时，x ＝6－3＝3.故所求的值为或(2)当时，X 可能的取值为0,1,2，X ＝0表示只选派2位男生，这时P (X ＝0)＝C 02C 23C 25＝310，X ＝1表示选派1位男生与1位女生，这时P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，X ＝2表示只选派2位女生，这时P (X ＝2)＝C 22C 03C 25＝110.X 的分布列为当时，X 可能的取值为0,1,2，X ＝0表示只选派2位男生，这时P (X ＝0)＝C 23C 03C 26＝15，X ＝1表示选派1位男生与1位女生，这时P (X ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，X ＝2表示只选派2位女生，这时P (X ＝2)＝C 03C 23C 26＝15.X 的分布列为模板9 圆锥曲线的定点问题例9 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1，离心率为e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP →·MQ →为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题破题 (1)利用待定系数法求E 的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得解得所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在符合条件的点M (m,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，MP →·MQ →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2.①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由得x 2＋2k 2(x －1)2－2＝0，即(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 22k 2＋1，所以MP →·MQ →＝2k 2－22k 2＋1－m ·4k 22k 2＋1＋m 2－k 22k 2＋1＝(2m 2－4m ＋1)k 2＋(m 2－2)2k 2＋1.因为对于任意的k 值，MP →·MQ →为定值，所以2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2)，得m ＝54.所以M ⎝⎛⎭⎫54，0，此时，MP →·MQ →＝－716. ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1，y 1y 2＝－12，由m ＝54，得MP →·MQ →＝－716.综上，符合条件的点M 存在，且坐标为⎝⎛⎭⎫54，0.第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程； 第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y －y 0＝ k (x －x 0)的形式，则k ∈R 时直线恒过定点(x 0，y 0)；若是动态的曲线方程，将动态的 曲线方程转化成f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的形式，则λ∈R 时曲线恒过的定点即是f (x ， y )＝0与g (x ，y )＝0的交点；第四步：下结论；第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是 以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.跟踪训练9 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)．(1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A ，B 为抛物线上的两点，且直线AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．(1)解 由已知得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为3，所以|3k |1＋k 2＝3， 解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22.(2)证明 设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 不与x 轴垂直，所以AB 斜率存在，所以直线MN 的斜率为y 0x 0－4，直线AB 的斜率为4－x 0y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程得消去x ，得⎝⎛⎭⎫1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 为线段AB 的中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2.即线段AB 中点的横坐标为定值2.模板10 圆锥曲线中的范围、最值问题例10 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．审题破题 用a ，b 表示s 可得关于a ，b ，c 的不等式，进而转化成关于e 的不等式，求e 的范围．解 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2， 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2， 于是s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2，可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0， 解得54≤e 2≤5.由于e >1，故所求e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5.第一步：提取.从题设条件中提取不等关系式；第二步：解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；第三步：下结论.根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参 数的取值范围；第四步：回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲 线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a ，b ，c 的大小关 系等.跟踪训练10 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x212＝1，即y 2＋2x 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0，Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*)x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2， 所以所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0.所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1， 由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0. 解得－1<m <－12或12<m <1.即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1. 模板11 函数的单调性、极值、最值问题 例11 已知函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1(x ∈R )．其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数f (x )的单调区间与极值．审题破题 (1)直接求f ′(x )，得f ′(2)后写出切线方程；(2)求导函数f ′(x )后要对a 进行讨论，可以列表观察函数f (x )的单调性，极值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又f ′(x )＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，f ′(2)＝－625. 所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0. (2)f ′(x )＝2a (x 2＋1)－2x (2ax －a 2＋1)(x 2＋1)2＝－2(x －a )(ax ＋1)(x 2＋1)2.由于a ≠0，以下分两种情况讨论．①当a ＞0，令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1a ，x 2＝a .当所以f (x )在区间⎝⎭⎫－∞，－1a ，(a ，＋∞)内为减函数， 在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，a 内为增函数． 函数f (x )在x 1＝－1a处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫－1a ， 且f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a 2. 函数f (x )在x 2＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1. ②当a ＜0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝a ，x 2＝－1a ，当所以f (x )在区间(－∞，a )，⎝⎭－1a ，＋∞内为增函数，在区间⎝⎭⎫a ，－1a 内为减函数． 函数f (x )在x 1＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1.函数f (x )在x 2＝－1a 处取得极小值f (－1a)，且f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a 2.第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R .第二步：求f (x )的导数f ′(x )．第三步：求方程f ′(x )＝0的根．第四步：利用f ′(x )＝0的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干 个小开区间，并列出表格．第五步：由f ′(x )在小开区间内的正、负值判断f (x )在小开区间内的单调性． 第六步：明确规范地表述结论．第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f ′(x )＝0的根为x 1＝－1a，x 2＝a .要确定x 1，x 2的大小，就必须对a 的正、负进行分类讨论．这就是 本题的关键点和易错点．跟踪训练11 已知函数f (x )＝a ln x ＋2a 2x＋x (a ≠0)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直，求实数a 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)当a ∈(－∞，0)时，记函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤12e 2. (1)解f (x )的定义域为{x |x >0}．f ′(x )＝a x －2a 2x 2＋1 (x >0)． 根据题意，有f ′(1)＝－2，所以2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝32. (2)解 f ′(x )＝a x －2a 2x 2＋1＝x 2＋ax －2a 2x 2＝(x －a )(x ＋2a )x 2(x >0)． ①当a >0时，因为x >0，由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0，解得x >a ；由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0，解得0<x <a .所以函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．②当a <0时，因为x >0，由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0，解得x >－2a ；由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0，解得0<x <－2a .所以函数f (x )在(0，－2a )上单调递减，在(－2a ，＋∞)上单调递增．(3)证明 由(2)知，当a ∈(－∞，0)时，函数f (x )的最小值为f (－2a )，即g (a )＝f (－2a )＝a ln(－2a )＋2a 2－2a－2a ＝a ln(－2a )－3a . g ′(a )＝ln(－2a )＋a ·－2－2a－3＝ln(－2a )－2， 令g ′(a )＝0，得a ＝－12e 2. 当a－12e 2是g (a )在(－∞，0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g (a )的最大值点． 所以g (a )最大值＝g ⎝⎛⎭⎫－12e 2 ＝－12e 2ln ⎣⎡⎦⎤－2×⎝⎛⎭⎫－12e 2－3⎝⎛⎭⎫－12e 2 ＝－12e 2ln e 2＋32e 2＝12e 2. 所以，当a ∈(－∞，0)时，g (a )≤12e 2成立． 模板12 导数与不等式问题例12 设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)是否存在x 0>0，使得|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．审题破题 (1)先求出f (x )，再求g (x )，然后讨论g (x )的单调区间，最值；(2)可构造函数h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ，通过g (x )的单调性比较g (x )，g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小；(3)对任意x >0若不存在x 0，只需取一特殊值即可；若存在x 0，一般利用最值解决．解 (1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2， 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)满足条件的x 0不存在．证明如下：假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立，即对任意x >0， 有ln x <g (x 0)<ln x ＋2x，(*) 但对上述x 0，取x 1＝e g (x 0)时，有ln x 1＝g (x 0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立．第一步：构造函数h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ；第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h (x )的单调性；第三步：根据h (x )的单调性比较h (x )和0的大小；第四步：下结论，反思回顾.跟踪训练12 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＋ln x .(1)当a ＝b 时，若函数f (x )在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；(2)设函数f (x )在x ＝12，x ＝1处取得极值，且f (1)＝－1，若对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤14，2，f (x )≤m 恒成立，求m 的取值范围．(参考数据：e ≈2.7)解 (1)∵a ＝b 时，f (x )＝ax 2＋ax ＋c ＋ln x ，∴f ′(x )＝2ax ＋a ＋1x ＝2ax 2＋ax ＋1x(x >0)． 当a ＝0时，f ′(x )＝1x>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，∵x >0，∴2ax 2＋ax ＋1>0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，设g (x )＝2ax 2＋ax ＋1，函数g (x )在⎣⎡⎭⎫－14，＋∞上单调递减，且g (0)＝1>0，故在(0，＋∞)上，函数g (x )的符号不确定，即此时f ′(x )的符号不确定，∴函数f (x )在 (0，＋ ∞)上不单调．综上可知，a 的取值范围是[0，＋∞)．(2)∵f (x )在x ＝12，x ＝1处取得极值， ∴f ′(1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＋1＝0a ＋b ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， 即f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x ， 且f (x )＝x 2－3x ＋c ＋ln x .又∵f (1)＝－1，∴1－3＋c ＝－1，得c ＝1，∴f (x )＝x 2－3x ＋1＋ln x .∵当x ∈⎣⎡⎭⎫14，12时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎣⎡⎭⎫14，12上单调递增；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减；∵当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(1,2]上单调递增．∴f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝14－32＋1＋ln 12＝－14－ln 2， 而f (2)＝－1＋ln 2，f (2)－f ⎝⎛⎭⎫12＝－34＋ln 4 ＝ln 4－ln e ，由于4>e>e ，故f (2)>f ⎝⎛⎭⎫12， ∴f (x )max ＝－1＋ln 2，∴m ≥－1＋ln 2.34 34。

规范答题示范 —— 解析几何解答题
【典例 】 (12 分)(2017 ·全国 Ⅱ卷 )设 O 为坐标原点，动点
M 在椭圆
C：
x2 2＋
y2
＝ 1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 N→P＝ 2N→M.
(1)求点 P 的轨迹方程；
(2)设点 Q 在直线 x＝－ 3 上，且 O→P·P→Q＝1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l
所以 O→Q·P→F＝0，即 O→Q⊥ P→F，
……………………………………………………………………………… 11 分 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左
焦点 F. ………………………………………………………………………………
12 分
[ 高考状元满分心得 ]
第五步：由 O→Q·P→F＝0，证明 OQ⊥PF；
第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论 . 【巩固提升】 (2018 ·郑州质检 )已知椭圆 C： x42＋y2＝1，点 O 是坐标原点，点 P
是椭圆 C 上任意一点，且点 M 满足 O→M＝λO→P(λ>1，λ是常数 ). 当点 P 在椭圆 C
上运动时，点 M 形成的曲线为 Cλ. (1)求曲线 Cλ的轨迹方程； (2)直线 l 是椭圆 C 在点 P 处的切线， 与曲线 Cλ的交点为 A，B 两点，探究△ OAB
过 C 的左焦点 F.
[ 信息提取 ]
看到求点 P 的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后利用已知条件，采用代 入法求轨迹方程；
看到过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F，想到证明 O→Q⊥P→F.
[ 规范解答 ]
(1)解 设 P(x，y)， M(x0，y0)，则 N(x0，0)，N→P＝ (x－x0，y)， N→M＝(0，y0)，

仿真冲刺卷(五)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018·成都二诊)i是虚数单位,则复数的虚部为( )(A)3 (B)-3 (C)3i (D)-4i2.已知函数f(x)为偶函数,且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称.若g(3)=2,则f(-2)等于( )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)33.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )(A)∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(B)∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2(C)∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(D)∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x24.(2017·江西上饶市二模)《算法统宗》是中国古代数学名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“竹筒容米”就是其中一首:家有八節竹一莖,为因盛米不均平;下頭三節三生九,上梢三節貯三升;唯有中間二節竹,要将米数次第盛;若是先生能算法,也教算得到天明!大意是:用一根8节长的竹子盛米,每节竹筒盛米的容积是不均匀的.下端3节可盛米3.9升,上端3节可盛米3升,要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,中间两节可盛米多少升.由以上条件,要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为( )(A)9.0升(B)9.1升(C)9.2升(D)9.3升5.(2017·黑龙江哈尔滨模拟)一个五面体的三视图如图,正视图是等腰直角三角形,侧视图是直角三角形,则此五面体的体积为( )第5题图(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为( )(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)407.富华中学的一个文学兴趣小组中,三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究,并且他们选择的名家各不相同.三位同学一起来找图书管理员刘老师,让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象.刘老师猜了三句话:“①张博源研究的是莎士比亚;②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹;③高家铭自然不会研究莎士比亚.”很可惜,刘老师的这种猜法,只猜对了一句,据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是( )(A)曹雪芹、莎士比亚、雨果 (B)雨果、莎士比亚、曹雪芹(C)莎士比亚、雨果、曹雪芹 (D)曹雪芹、雨果、莎士比亚8.(2017·山东济宁一模)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为( )第8题图(A)0 (B)1 (C)2 (D)39.(2018·开封模拟)如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,O2,这两个球相外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是( )10.如图,F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C交于A,B两点.若|AB|∶|BF1|∶|AF1|=3∶4∶5.则双曲线的离心率为( )第10题图(A) (B)2(C)3 (D)11.(2017·宁夏银川二模)设函数f′(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,有f(x)sin x-f′(x)cosx<0,a=f(),b=0,c=-f(),则( )(A)a<b<c (B)b<c<a(C)c<b<a (D)c<a<b12.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<),f(0)=,f(x)在A(x0,y0)处取得极大值,B(x0-,0),C(x0,-y0),△ABC是锐角三角形,则下列结论正确的是( )(A)存在x∈(0,),使得f(x)=1成立(B)若存在x>0,使得f(x)=1,则必有x>(C)存在m>0,使得f(x)在(0,m)内单调递减(D)存在x∈(0,),使得f(x)=0成立第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2017·辽宁抚顺市高考一模改编)在一次马拉松比赛中,30名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编号为1～30号,再用系统抽样方法从中抽取6人,则其中成绩在区间[130,151]上的运动员人数是.14.(2018·广东模拟)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.15.(2017·云南省大理州高考一模)若数列{a n}的首项a1=2,且a n+1= 3a n+2(n∈N*),令b n=log3(a n+1),则b1+b2+b3+…+b100= .16.(2017·福建省莆田市高考一模)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,若|AB|=6,则|FM|= .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图所示,在△ABC中,B=,=λ(0<λ<1),AD=BD=,AC=.(1)求证:△ABD是等腰三角形;(2)求λ的值以及△ABC的面积.18.(本小题满分12分)(2018·湖南百所重点中学诊断)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如下面的折线图所示.(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高?(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;相关公式:==,=-.19.(本小题满分12分)如图所示,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除了A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC=EB,DC∥EB,AB=4,tan∠EAB=.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当AC=BC时,求二面角D AE B的余弦值.20.(本小题满分12分)(2017·河南商丘三模)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为,曲线C在点P处的切线交x轴于点Q,直线l1经过点Q且垂直于x轴.(1)求线段OQ的长;(2)设不经过点P和Q的动直线l2:x=my+b交曲线C于点A和B,交l1于点E,若直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,试问:l2是否过定点?请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=+ax+2ln x(a∈R)在x=2处取得极值.(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间;(2)已知方程f(x)=m有三个实根x1,x2,x3(x1<x2<x3),求证:x3-x1<2.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)直线l与直线C2交于M,N两点,若|MN|≥2,求实数a的取值范围.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m,n).(1)求m,n的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y≥16xy.1.A ==-3+3i,所以虚部为3.故选A.2.D 因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(3)=2,所以f(2)=3.因为函数f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2)=3.故选D.3.D 由于特称命题的否定形式是全称命题,全称命题的否定形式是特称命题,所以“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2”.4.C 由题意要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,设相差的同一数量为d升,下端第一节盛米a1升,由题意得解得a1=1.36,d=-0.06,所以中间两节可盛米的容积为a4+a5=(a1+3d)+(a1+4d)=2a1+7d=2.3.这根八节竹筒盛米的容积总共为2.3+3.9+3=9.2(升).故选C.5.B 由三视图可得,该几何体是一个四棱锥,且底面是一个上、下底分别为1和2,高为2的直角梯形,棱锥高为2,所以该四棱锥的体积是V=××(1+2)×2×2=2.故选B.6.D在(x+)(2x-)5中,令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,即a=1.原式=x·(2x-)5+(2x-)5,故常数项为x·(2x)2(-)3+·(2x)3·=-40+80=40.故选D.7.A 假设“张博源研究的是莎士比亚”正确,那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的,这不符合“刘老师只猜对了一句”这一条件,所以假设错误;假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确,故①不正确,即张博源研究的不是莎士比亚,②不正确,即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹.这样的话莎士比亚没人研究了,所以此假设错误;前两次假设都是错误的,那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那句,那么其他两句话是猜错的,即高家铭研究莎士比亚,那么张博源只能研究曹雪芹,刘雨恒研究雨果.故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果,故选A.8.C 由程序框图知,算法的功能是求可行域内,目标函数S=2x+y的最大值,画出可行域,如图中阴影所示.当x=1,y=0时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.故选C.9.B 由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切,排除C,D,把其中一个球扩大为与正方体相切,则另一个球被挡住一部分,由于两球半径不等,所以排除A;B正确.故选B.10.A 因为|AB|∶|BF1|∶|AF1|=3∶4∶5,所以设|AB|=3x,|BF1|=4x,|AF1|=5x,所以△ABF1为直角三角形.又点B在双曲线左支上,则|BF2|-|BF1|=2a,故|BF2|=|BF1|+2a=4x+2a,从而可知|AF2|=x+2a,又|AF1|-|AF2|=2a,则5x-x-2a=2a,因此x=a.Rt△F1BF2中,|BF2|2+|BF1|2=4c2,即(4x+2a)2+(4x)2=4c2,所以(4a+2a)2+(4a)2=4c2.整理得52a2=4c2,即=13,因此=,即e=.11.A 令g(x)=f(x)cos x,则g′(x)=f′(x)cos x-f(x)sin x>0,当0<x<π时,g(x)在(0,π)上单调递增,因为0<<<<π,所以cos f()<cos f()<cos f(),化为f()<0<-f(),即a<b<c,故选A.12.B 由f(0)=,得sin ϕ=,又|ϕ|<,所以ϕ=,即f(x)=sin(ωx+),当ωx+=+2kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z时,f(x)取得极大值1,即A(+,1),又△ABC是锐角三角形,BC=BA,因而∠ABC<,则<1,∈(,+∞),则x=+>+4k,k∈Z,若x>0,则k≥0,得x>,因而A错误,B正确,由-+2kπ≤ωx+≤+2kπ得-+≤x≤+,则对m>0,使得f(x)在(0,m)内单调递增或有增有减,C错误,若f(x)=0,则ωx+=kπ,k∈Z,即x=-,k∈Z,当k>0时,x>2k-≥,x>,当k≤0时,x<2k-≤-,则x∉(0,),D错误.故选B.13.解析:将运动员按成绩由好到差分成6组,则第1组为(130,130, 133,134,135),第2组为(136,136,138,138,138),第3组为(141,141, 141,142,142),第4组为(142,143,143,144,144),第5组为(145,145, 145,150,151),第6组为(152,152,153,153,153),故成绩在区间[130, 151]内的恰有5组,共25人,故应抽取6×=5(人).答案:514.解析:作可行域如图阴影部分所示,其中A(-1,2),B(4,-2),C(3,-3),当直线y=-x+z过点B(4,-2)时,z=x+y取得最大值,最大值为2.答案:215.解析:因为数列{a n}的首项a1=2,且a n+1=3a n+2(n∈N*),所以+1=3(a n+1),a1+1=3,所以{a n+1}是首项为3,公比为3的等比数列,所以a n+1=3n,所以b n=log3(a n+1)=log33n=n,所以b1+b2+b3+…+b100=1+2+3+…+100==5 050.答案:5 05016.解析:因为抛物线y2=4x,所以p=2,设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),直线y=k(x-1)代入y2=4x,整理可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2+,利用抛物线定义,x1+x2=|AB|-p=6-2=4.所以AB中点横坐标为2,所以2+=4,所以k=±,AB中点纵坐标为k,AB的垂直平分线方程为y-k=-(x-2),令y=0,可得x=4,所以|FM|=3.答案:317.(1)证明:在△ABD中,AD=,BD=1,所以由正弦定理=,得sin∠BAD==,所以∠BAD=,所以∠ADB=π--=,所以△ABD是等腰三角形.(2)解:由(1)知∠BAD=∠BDA=,所以AB=BD=1,∠ADC=.在△ACD中,由余弦定理AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC,得13=3+CD2-2××CD×(-). 整理得CD2+3CD-10=0,解得CD=-5(舍去),CD=2,所以BC=BD+CD=3,所以λ=.所以S△ABC=AB·BC·sin B=×1×3×=.18.解:(1)由折线图可知5月和6月的月平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元),第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元),第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41(百万元),所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)因为=2.5,=5,=12+22+32+42=30,x i y i=1×4+2×4+3×6+4×6=54,所以==0.8,所以=5-2.5×0.8=3,所以=0.8x+3,当x=8时,=0.8×8+3=9.4.所以估计第3年8月份的利润为9.4百万元.19.(1)证明:因为AB是半圆O的直径,所以BC⊥AC.因为CD⊥平面ABC,所以CD⊥CB.所以BC⊥平面ACD.因为CD=EB,CD∥EB,所以BCDE是平行四边形.所以BC∥DE,所以DE⊥平面ACD.因为DE⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面ACD.(2)解:依题意,EB=AB·tan∠EAB=4×=1,AC=BC=2.如图所示,建立空间直角坐标系C xyz,则D(0,0,1),E(0,2,1),A(2,0,0),B(0,2,0). 所以=(-2,2,0),=(0,0,1),=(0,2,0),=(2,0,-1).设平面DAE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则即令x1=1,得z1=2,所以n1=(1,0,2).设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,z2),则即令x2=1,得y2=1,所以n2=(1,1,0).所以cos<n1,n2>===.由图知,二面角D EA B的平面角为钝角,所以二面角D EA B的余弦值为-.20.解:(1)由抛物线C:y2=nx(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为得2+=,所以n=2,故抛物线方程为y2=2x,P(2,2).所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=,则y′=.故曲线C在点P处的切线斜率k==,切线方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0.令y=0得x=-2,所以点Q(-2,0),故线段OQ的长为2.(2)由题意知l1:x=-2,因为l2与l1相交,所以m≠0,将x=-2代入x=my+b,得y=-,故E(-2,-), 设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-2my-2b=0,则y1+y2=2m,y1y2=-2b,直线PA的斜率为==,同理直线PB的斜率为,直线PE的斜率为.因为直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,所以+=2×,即=.因为l2不经过点Q,所以b≠-2.所以2m-b+2=2m,即b=2.故l2:x=my+2,即l2恒过定点(2,0).21.(1)解:由已知得f′(x)=x+a+(x>0),f′(2)=2+a+=0,所以a=-3,所以f′(x)=x-3+==(x>0),令f′(x)>0,得0<x<1或x>2;令f′(x)<0,得1<x<2,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(2,+∞),单调递减区间是(1,2).(2)证明:由(1)可知函数f(x)的极小值为f(2)=2ln 2-4,极大值为f(1)=-,可知方程f(x)=m三个实根满足0<x1<1<x2<2<x3,设h(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),则h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=>0,则h(x)在(0,1)上单调递增,故h(x)<h(1)=f(1)-f(2-1)=0,即f(x)<f(2-x),x∈(0,1),所以f(x2)=f(x1)<f(2-x1),由(1)知函数f(x)在(1,2)上单调递减,所以x2>2-x1,即x1+x2>2,①同理设g(x)=f(x)-f(4-x),x∈(1,2),则g′(x)=f′(x)+f′(4-x)=>0,则g(x)在(1,2)上单调递增,故g(x)<g(2)=f(2)-f(4-2)=0,即f(x)<f(4-x),x∈(1,2),f(x3)=f(x2)<f(4-x2),由(1)知函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,所以x3<4-x2,即x3+x2<4,②由①②可得x3-x1<2.22.解:(1)根据题意,由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2, 曲线C1的极坐标方程ρ(ρ-4sin θ)=12,可得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12,设点P(x′,y′),Q(x,y),根据中点坐标公式,得代入x2+y2-4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4.(2)直线l的普通方程为y=ax,设圆心到直线的距离为d,由弦长公式可得|MN|=2≥2,可得圆心(3,1)到直线l的距离为d=≤,即4a2-3a≤0,解得0≤a≤,即实数a的取值范围为[0,].23.(1)解:由|x|+|x-3|<x+6,得或或解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.(2)证明:由(1)知9x+y=1,又x>0,y>0,所以(+)(9x+y)=10++≥10+2=16,当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以+≥16,即x+y≥16xy.。