2013高考数学三轮押题冲刺 基础知识最后一轮拿分测验 数列的应用

n n N 。 2
n ，求数列 bn 的前 n 项的和 Sn 。 an
参考答案：
1.
, 4 2,

1 502 ；2. [ 6 , ] ； 3． 8, 7 ；4. 1 4 。 2
3 x , 2 4
f (0)
i
.
5. 已知 cos x


2 （2）求 sin 2 x 的值. , x , .（1）求 sin x 的值； 3 4 10 2 4
6. 已知：数列 an 满足 a1 2a2 22 a3 …… 2n 1 an （1）求数列 an 的通项（2）若 bn
3 4 3 , ，故 cos x 1 sin 2 x 1 5 5 2 4
2
（2）因为 x
sin 2 x 2 sin x cos x
所以 sin 2 x
24 7 , cos 2 x 2 cos 2 x 1 25 25


sin 2 x cos cos 2 x sin 3 3 3


24 7 3 50
1 ………………………………………………………………1 分 2 n n 2 时， a1 2a2 22 a3 …… 2n 1 an （1） 2 n 1 a1 2a2 22 a3 …… 2n 2 an 1 （2）………………3 分 2 1 1 n 1 （1）-（2）得 2 an ， an n ……………………………………5 分 2 2 1 1 又 a1 适合上式 an n …………………………………………7 分 2 2

向量的坐标运算【考点导读】 1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.【基础练习】1 若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则31AB =(3,2)--2 平面向量,a b 中，若(4,3)=-a ，b =1，且5⋅=a b ，则向量b =43(,)55- 3.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=23- 4.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)=-b x ，且⊥a b ，则x =15.已知向量(cos ,sin )θθ=a ,向量1)=-b 则|2|-a b 的最大值，最小值分别是4,0【范例导析】例1、平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1==-=a b c ，回答下列问题：（1）求满足=+a mb nc 的实数m ,n ；（2）若()()//2+-a kc b a ，求实数k ；（3）若d 满足()()//-+d c a b，且-=d c ，求d分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.解：（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==9895n m （2）()()2,52,2,43-=-++=+a b k k c k a（3）设(),d x y =，则()()4,2,1,4=+--=-b a y x c d由题意得()()()()⎩⎨⎧=-+-=---5140124422y x y x 得⎩⎨⎧-==13y x 或⎩⎨⎧==35y x ∴()()3,153d =-或， 点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。

例2.已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为AD ，求AD 及点D 的坐标、分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.解：设点D 的坐标为(x ,y )∵AD 是边BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥BC又∵C 、B 、D 三点共线， ∴BC ∥BD 又AD =(x －2,y －1), BC =(－6,－3)BD =(x －3,y －2)∴⎩⎨⎧=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x 解方程组，得x =59,y =57 ∴点D 的坐标为(59，57)，AD 的坐标为(－51，52) 点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.例3．已知向量33cos ,sin ,cos ,sin ,2222⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x a b 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 求（1）⋅a b 及+a b ；（2）若()2λ=⋅-+f x a b a b 的最小值是23-，求λ的值。

第2讲 等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华 【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。

（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为 若d=0,则数列{a n }为 若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为 ，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。

2013届全国各地高考押题数学（文科）精选试题分类汇编5：数列一、选择题1 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1011S S -=,则11S 等于 （ ）A ．109B ．119 C ．1110D ．65【答案】B2 ．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）若等比数列{}n a 满足123453a a a a a ++++=,222221234512a a a a a ++++=,则123453a a a a a ++++=的值是（ ）A B ．C ．4D ．2【答案】C3 ．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））己在等差数列{}n a 的公差0d <,若462824,10a a a a =+=,则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．50B ．45C ．40D ．35【答案】B4 ．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）已知数列}{n a 满足:)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+,则=12a（ ）A ．210-1B ．211-1C ．212-1 D ．213-1【答案】C5 ．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127a a a +++=（ ）A ．14B ．21C ．28D ．35【答案】C【解析】因为34512a a a ++=,所以44a =,所以1274728a a a a +++==.6 ．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2g ,则a a a 1210++=L（ ）A ．15B ．12C ．-12D ．-15【答案】A【解析】a 1+a 2=a 3+a 4==a 9+a 10=3,故所求和=3×5=15.选A 二、填空题7 ．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）已知等差数列{n a }中,35a a +=32,73a a -=8,则此数列的前10项和10S =_____【答案】190【解析】由7348a a d -==,解得2d =,由3532a a +=,解得110a =.所以101109101902S a d ⨯=+=. 8 ．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）在等差数列{}n a 中,若11a =,前5项的和525S =,则2013a =_______________.【答案】4025【解析】在等差数列中,51542555102S a d d ⨯==+=+,解得2d =,所以2013120121201224025a a d =+=+⨯=.9 ．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）定义映射:f A B →,其中{(,),}A m n m n =∈R ,B =R ,已知对所有的有序正整数．．．对(,)m n 满足下述条件: ①(,1)1f m =; ②若n m >,(,)0f m n =; ③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+-; 则(,2)f n =_______. 【答案】22n-10．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）等差数列{}n a 的前n 项和是n S ,若125a a +=,349a a +=,则10S 的值为_______【答案】65【解析】由125a a +=,得125a d +=,由349a a +=得1259a d +=,解得11,2d a ==,所以1011091020+45=652S a ⨯=+=.11．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）“公差为d 的等差数列数列{}n a 的前n 项的和为n S ,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2d 的等差数列”,类比上述性质有:“公比为q 的等比数列数列{}n b 的前n 项的和为n T ,则数列___________________________”. 【答案】{}nnT 是公比为q的等比数列【解析】nn nn b b b T 121)(⋅⋅= nn nqb 11211)(-+++=()1112)1(1)(--==n nn n n q b qb ,∴{}nnT 是公比为q 的等比数列.12．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）记123k k kk S =+++k n +,当1,2,3,k =时,观察下列等式:21322432354346542511,22111,326111,4241111,5233015,212S n n S n n n S n n n S n n n n S An n n Bn =+=++=++=++-=+++可以推测A B -=_____________________. 【答案】14【解析】:本题考查归纳推理问题.根据各式的规律,显然16A =.令1n =,则5511S ==,代入得511511621212SB B =+++=⇒=-,所以1116124A B ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭. 13．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）观察下列等式:231111222⨯=-⨯,2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯,2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈*N ,2314121122232(1)2n n n n +⨯+⨯++⨯=⨯⨯+__________;【答案】1(1)21n n +-【解析】由已知中的等式:231111222⨯=-⨯,2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯, 2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯,, 所以对于n ∈*N ,2314121122232(1)2n n n n +⨯+⨯++⨯=⨯⨯+1(1)21n n +-.14．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）设{a n }是等比数列,公比q =,S n 为{a n }的前n 项和.记*2117,.n nn n S S T n N a +-=∈设0n T 为数列{n T }的最大项,则0n =__________ .【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题.nT==17]n =+-因为n +n=4,即n=4时取等号,所以当n 0=4时T n 有最大值. 15．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足16,557263=+=a a a a .令1421-=+n n a b )(*∈N n ,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,对任意的n N *∈,不等式100n mT <恒成立,则实数m 的最小值是_______.【答案】10016．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）已知数列{}n a 中满足1111(2)2(1)n n n n a a a a a n n n --=-=≥-，,则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】31nn -【解析】本题考查叠加法求通项公式.因为11(1)n n n n a a a a n n ---=-两边同除1n na a -得111111(2)(1)1n n n a a n n n n--==-≥--,所以2132111111,12a a a a -=--1123=-111n n a a --=11(2)1n n n -≥-,相加得11111n a a n -=-,因为112a =,带入得31n na n =-. 17．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）如图所示,将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来,2在第一个拐弯处,4在第二个拐弯处,7在第三个拐弯处,,则在第20给个拐弯处的正整数是_______.2322212019181716151413121110987654321【答案】211【解析】观察图,仔细分析规律.2322212019181716151413121110987654321第一个拐弯处211=+; 第二个拐弯处4112=++; 第三个拐弯处71123=+++; 第四个拐弯处1111234=++++; 第五个拐弯处16112345=+++++; 发现规律:拐弯处的数是从1开始的一 串正整数相加之和再加1,在第几个拐弯处,就加到第几个正整数,所以第20个拐弯处的数就是:112320211+++++=. 三、解答题18．（2013新课标高考压轴卷（一）文科数学）设{}n a 是公差大于零的等差数列,已知12a =,23210a a =-.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列{}n n a b -的前n 项和n S .【答案】解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,则()12112210a a d a d ⎧=⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得2d =或4d =-(舍)所以2(1)22n a n n =+-⨯= (Ⅱ)21cos 24sin 42xy x ππ-==⨯2cos 22x π=-+其最小正周期为212ππ=,故首项为1; 因为公比为3,从而13n n b -= 所以123n n n a b n --=- 故()()()011234323n n S n -=-+-++-()2213213n n n +-=--211322nn n =++-⋅ 19．（2013届广东省高考压轴卷数学文试题）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,36a =.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若110k S =,求k 的值;(3)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求2013T的值.【答案】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵131226a a a d =⎧⎨=+=⎩,∴2d =数列{}n a 的通项公式()2122n a n n =+-⋅=(2)方法一:∵21(1)(1)2211022k k k k k S ka d k k k --=+=+⋅=+=解得10k =或11k =-(舍去)方法二:∵()221102k k k S +==,解得10k =或11k =-(舍去)(3)∵(22)(1)2n n n S n n +==+,∴1111(1)1nS n n n n ==-++ ∴20131232013T T T T T =++++111111112233420132014⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12013120142014=-=20．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（文）试题）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0,且35,a a 是方程214450x x -+=的两根,数列{}n b 的前n 项和为()1,2nn n b S S n N *-=∈. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式; (2)记n n n c a b =⋅,求证:1n n c c +<; (3)求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)因为35,a a 是方程214450x x -+=的两根,且数列{}n a 的公差0d >,所以355,9a a ==,公差53253a a d -==-.所以()5521n a a n d n =+-=-. 又当1n =时,有11112b b S -==,所以113b =.当2n ≥时,有()1112n n n n n b S S b b --=-=-,所以()1123n n b n b -=≥. 所以数列{}n b 是首项为13,公比为13的等比数列,所以1111333n n nb -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. (2)由(1)知112121,33n n n n n n n n c a b c ++-+=⋅==, 所以()1114121210333n n n n n n n n c c +++-+--=-=≤, 所以1n n c c +≤. (3)因为213n n n nn c a b -=⋅=, 则123135333n T =+++213n n -+,①23411353333n T =+++1232133n n n n +--++,②由①-②,得2321223333n T =+++122133n n n +-+-231131112123333nn n +-⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭+, 整理,得113n nn T +=-. 21．（2013届天津市高考压轴卷文科数学）在数列{}n a 中,已知)(l o g 32,41,41*4111N n a b a a a n n n n ∈=+==+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求证:数列{}n b 是等差数列;(Ⅲ)设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=,求{}n c 的前n 项和n S . 【答案】解:(Ⅰ)∵411=+n n a a ∴数列{n a }是首项为41,公比为41的等比数列, ∴)()41(*N n a n n ∈= (Ⅱ)∵2log 341-=n n a b∴232)41(log 321-=-=n b n n∴11=b ,公差d=3∴数列}{n b 是首项11=b ,公差3=d 的等差数列 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,n n a )41(=,23-=n b n (n *N ∈) ∴)(,)41()23(*N n n c n n ∈⨯-=∴n n n n n S )41()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-, ① 于是1432)41()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②两式①-②相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S =1)41()23(21+⨯+-n n ∴ )()41(381232*1N n n S n n ∈⨯+-=+ . 22．（2013届江西省高考压轴卷数学文试题）对于给定数列{}n c ,如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立,我们称数列{}n c 是“T 数列”.(Ⅰ)若n a n 2=,32n n b =⋅,*n N ∈,数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”?若是,指出它对应的实常数,p q ,若不是,请说明理由;(Ⅱ)证明:若数列{}n a 是“T 数列”,则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”;(Ⅲ)若数列{}n a 满足12a =,)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++,t 为常数.求数列{}n a 前2013项的和.【答案】解:(Ⅰ)因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈ 故数列{}n a 是“T 数列”, 对应的实常数分别为1,2. 因为32n n b =⋅,则有12n n b b += *n N ∈故数列{}n b 是“T 数列”, 对应的实常数分别为2,0 (Ⅱ)证明:若数列{}n a 是“T 数列”, 则存在实常数,p q , 使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立, 且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立,因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立,故数列{}1n n a a ++也是“T 数列”.对应的实常数分别为,2p q(Ⅲ)因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈,则有22332a a t +=⋅,44532a a t +=⋅,=+20112010a a 201023⋅t ,=+20132012a a 201223⋅t .故数列{}n a 前2013项的和)(3212013a a a S ++=+⋅⋅⋅+++)(54a a ++)(20112010a a )(20132012a a ++⋅+=2232t +⋅⋅⋅+⋅423t +⋅201023t 201223⋅t )42(22014-+=t23．（2013届辽宁省高考压轴卷数学文试题）已知等比数列{}n a 的公比为q (1≠q )的等比数列,且201220132011,,a a a 成等差数列, (Ⅰ)求公比q 的值;(Ⅱ)设{}n b 是以2为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为n S ,当2≥n 时,比较n S 与n b 的大小,并说明理由.【答案】解答:(Ⅰ)由题设,2,22011201122011201220112013q a a q a a a a +=+=即.012,021=--∴≠q q a1=∴q 或21-=q ,又1≠q ,∴21-=q(Ⅱ).49)21(2)1(2,212nn n n n S q n +-=--+=-=则当,4)10)(1(,21---==-≥-n n S b S n n n n 时故对于+∈N n○1当92≤≤n 时,n n b S >; ○2当10=n 时,n n b S =;○3当11≥n 时,n n b S < 24．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（一））已知数列{}n a 的首项123a =121n n n a a a +=+,1,2,3,n =. (Ⅰ)证明:数列1{1}n a -是等比数列; (Ⅱ)数列{}nna 的前n 项和n S . 【答案】解解:(Ⅰ)∵121n n n a a a +=+,∴ 111111222n n n na a a a ++==+⋅, ∴11111(1)2n n a a +-=-,又123a =,∴11112a -=, ∴数列1{1}na -是以为12首项,12为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1111111222n n n a -+-=⋅=,即1112n n a =+,∴2n n n nn a =+. 设23123222n T =+++2n n+, ① 则23112222n T =++1122n n n n+-++,② 由①-②得 2111222n T =++11111(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---, ∴ 11222n n n n T -=--.又123+++(1)2n n n ++=. ∴数列{}nna 的前n 项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==25．（2013届北京市高考压轴卷文科数学）已知点(1,2)是函数()(01)xf x a a a =≠＞且的图象上一点,数列{}n a 的前n 项和()1n S f n =-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)将数列{}n a 前2013项中的第3项,第6项,,第3k 项删去,求数列{}n a 前2013项中剩余项的和.【答案】解:(Ⅰ)把点(1,2)代入函数()xf x a =,得2a =.()121,n n S f n ∴=-=-当1n =时,111211;a S ==-= 当2n ≥时,1n n n a S S -=-1(21)(21)n n -=---12n -=经验证可知1n =时,也适合上式,12n n a -∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{}n a 为等比数列,公比为2,故其第3项,第6项,,第2013项也为等比数列,首项31324,a -==公比32012201328,2a ==为其第671项∴此数列的和为67120134(18)4(21)187--=- 又数列{}n a 的前2013项和为2013201320131(12)21,12S ⨯-==--∴所求剩余项的和为2013201320134(21)3(21)(21)77----=26．（2013届新课标高考压轴卷（二）文科数学）已知数列{}n a 的首项为51=a ,前n 项和为n S ,且521++=+n S S n n )(*N n ∈ (Ⅰ)证明数列{}1+n a 是等比数列 (Ⅱ)令()n n x a x a x a x f +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=221,求函数)(x f 在点1=x 处的导数()1'f ,并比较()12'f 与n n 13232-的大小.【答案】(1)解:521++=+n S S n n (1)∴421++=-n S S n n ,2≥n (2)两列相减得)1(211+=++n n a a 当1=n 时,111212=+=a a1212=+∴a ,611=+a)1(212+=+n a a故总有)1(211+=++n n a a ,*N n ∈,又51=a ,011≠+a 从而2111=+++n n a a ,即数列{}1+n a 是等比数列由(1)知123-⨯=n n a()n n x a x a x a x f +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=221 ∴()121'2-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=n n x na x a a x f ∴()n na a a f +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=21'21()()()12312321232-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+-⨯=n n())321(223222332n n n +⋅⋅⋅⋅⋅+++-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+=()62)1(2131++-⨯-=+n n n n ∴()n n n n n n n f n 132312)1(2)1(12)1323(1222'+-++-⨯-=--=()12122421122++--n n n n=[])12(2)1(12+--n n n(1) 当n=1时(1)式为0 ()n n f 1323122'-=当n=2时(1)式为-12 ()n n f 1323122'-<当3≥n 时,,01>-n 又1222)11(2110+>+≥++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=+=-n n C C C C nn n n n n n n∴[]0)12(2)1(>+--n n n 即(1)式>0 ∴()n n f 1323122'->27．（2013届湖南省高考压轴卷数学（文）试题）设满足以下两个条件的有穷数列a 1, a 2, a n 为n(n=2,3,4,)阶“梦想数列”:① a 1+a 2 +a 3 ++a n =0 ②|a 1|+|a 2|+|a 3|++|a n |=1⑴分别写出一个单调递增的3阶和4阶“梦想数列”;⑵若某21阶“梦想数列”是递增等差数列,求该数列的通项公式;⑶记n 阶“梦想数列”的前k 项和为s k (k=1,2,3,,n)试证:|s k |≤21 【答案】解:(Ⅰ)数列11,0,22-为单调递增的三阶“梦想数列”, 数列3113,,,8888--为单调递增的四阶“梦想数列” (Ⅱ)设等差数列的公差为d,,28．（2013届重庆省高考压轴卷数学文试题）若对于正整数k ,()g k 表示k 的最大奇数因数,例如(3)3g =,(10)5g =.设(1)(2)(3)(4)(2)n n S g g g g g =+++++.(Ⅰ)求(6)g ,(20)g 的值;(Ⅱ)求1S ,2S ,3S 的值;(Ⅲ)求数列{}n S 的通项公式. 【答案】解:(Ⅰ)(6)3g =,(20)5g = (Ⅱ)1(1)(2)112S g g =+=+=;2(1)(2)(3)(4)11316S g g g g =+++=+++=;3(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)1131537122S g g g g g g g g =+++++++=+++++++=(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)不难发现对m *∈N , 有(2)()g m g m = 所以当2n ≥时,(1)(2)(3)(4)(21)(2)n n n S g g g g g g =+++++-+[(1)(3)(5)(21)][(2)(4)(2)]n n g g g g g g g =++++-++++1[135(21)][(21)(22)(22)]n n g g g -=++++-+⨯+⨯++⨯11(121)2[(1)(2)(2)]2n n n g g g --+-⨯=+++114n n S --=+于是114n n n S S ---=,2,n n *≥∈N . 所以112211()()()n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+12244442n n --=+++++14(14)4221433n n --=+=+-,2,n n *≥∈N又12S =,满足上式, 所以对n *∈N ,1(42)3nn S =+ 29．（2013届山东省高考压轴卷文科数学）已知等比数列{}n a 的所有项均为正数,首项1a =1,且435,3,a a a 成等差数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)数列{1n n a a λ+-}的前n 项和为n S ,若n S =21(*)nn N -∈,求实数λ的值. 【答案】【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ,由条件得423,3,q q q 成等差数列, 所以4326q q q+=解得2,3=-=q q 或由数列{}n a 的所有项均为正数,则q =2 数列{}n a 的通项公式为n a =12n -(*)n N ∈(Ⅱ)记n n n a a b λ-=+1,则112)2(22---=⋅-=n n n n b λλ若0,0,2===n n S b λ不符合条件;若2≠λ, 则21=+nn b b,数列{}n b 为等比数列,首项为λ-2,公比为2,此时)12)(2()21(21)2(--=---=n n n S λλ 又nS =21(*)n n N -∈,所以1=λ 30．（2013届福建省高考压轴卷数学文试题）设{}n a 为等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知373,7S S =-=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设42n an b n =⋅+,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d依题意得11133232177672a d a d ⎧+⨯⨯=-⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩解得121a d =-⎧⎨=⎩∴2(1)13n a n n =-+-⨯=-(Ⅱ)由(Ⅰ)得31422n n n b n n --=⋅+=+ ∴123n n T b b b b =++++0121(2222)(123)n n -=+++++++++12(1)122n n n -+=+- (1)212n n n +=-+31．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学文试题（二））在数列{}n a 中,113,21n n a a a n -==--+(2n ≥,且*n N ∈) (Ⅰ)求23,a a 的值;(Ⅱ)证明:数列{}n a n +是等比数列,并求{}n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】解:(Ⅰ)111,21(2,*)n n a a a n n n N -==--+≥∈2132416,611a a a a ∴=--+=-=--+=(Ⅱ)11112111(1)11n n n n n n a n a n n a n a n a n a n ----+--++--+===-+-+--+-{}n a n ∴+以114a +=为首项,1-为公比的等比数列从而14(1)n n a n -+=⋅-,即14(1)n n a n -=⋅-- (Ⅲ)当n 为偶数时,12(1)0(12)2n n n n S a a a n +=++=-+++=-当n 为奇数时,2(1)14(12)4(8)22n n n S n n n +=-+++=-=-+- 综上,1(1)22(1)2n n n n S ++=+⋅--32．（2013届上海市高考压轴卷数学（文）试题）本题共3小题,第(Ⅰ)小题4分,第(Ⅱ)小题6分,第(Ⅲ)小题8分.设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意的n N *∈,n S 是2n a 和n a 的等差中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)在集合{|2,,10001500}M m m k k Z k ==∈≤<且中,是否存在正整数m ,使得不等式210052nn a S ->对一切满足n m >的正整数n 都成立?若存在,则这样的正整数m共有多少个?并求出满足条件的最小正整数m 的值;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ,使得()n n u u u +++∞→ 21lim 存在,并求出这个极限值.【答案】解:(Ⅰ)由题意得,n n n a a S +=22 ①,当1=n 时,12112a a a +=,解得11=a , 当2≥n 时,有12112---+=n n n a a S ②, ①式减去②式得,12122---+-=n n n n n a a a a a于是,1212--+=-n n n n a a a a ,111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a因为01>+-n n a a ,所以11=--n n a a , 所以数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列, 所以{}n a 的通项公式为n a n =(*N n ∈).(Ⅱ)设存在满足条件的正整数m ,则210052)1(2n n n >-+,10052>n, 2010>n ,又2000{=M ,2002,,2008,2010,2012,,2998},所以2010=m ,2012,,2998均满足条件,它们组成首项为2010,公差为2的等差数列.设共有k 个满足条件的正整数,则2998)1(22010=-+k ,解得495=k . 所以,M 中满足条件的正整数m 存在,共有495个,m 的最小值为2010. (Ⅲ)设n n S u 1=,即)1(2+=n n u n ,则)1(232221221+++⨯+⨯=+++n n u u u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211*********n n n ,其极限存在,且()21112lim lim 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++∞→∞→n u u u n n n . 注:n n S c u =(c 为非零常数),121+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n S c n nu (c 为非零常数),1+⋅=n S c n n qu (c 为非零常数,1||0<<q )等都能使()n n u u u +++∞→ 21lim 存在.33．（2013届四川省高考压轴卷数学文试题）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足1(1)2n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足n n b na =,求证:123 (4)n b b b +++<【答案】解:(Ⅰ)当2n ≥时,111111(1)(1)2222n n n n n a a a a a --=---=-+,则13n n a a -=,由题意可知10n a -≠,113n n a a -= 所以{n a }是公比为31的等比数列 1111(1)2S a a ==-,113a =1111()()333n n n a -=⨯=(II)证明:n n n b )31(=设n n n T )31(...)31(3)31(2)31(1321⨯++⨯+⨯+⨯=∴2341111111()2()3()...()33333n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯ ∴1331313()()443234n n n T n +=--<34．（2013届浙江省高考压轴卷数学文试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*22()n n S a n N =-∈,数列{}n b 满足11b =,且12n n b b +=+.(Ⅰ)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式,并求数列{}n n a b ⋅的前n 项的和n D ; (Ⅱ)设22*sin cos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈,求数列{}n c 的前2n 项和2n T . 【答案】【解析】 (Ⅰ)当1=n ,21=a ;当2≥n 时,1122n n n n n a S S a a --=-=- ,∴ 12n n a a -=, ∴{}n a 是等比数列,公比为2,首项12a =, ∴2n n a = 由12n n b b +=+,得{}n b 是等差数列,公差为2 又首项11=b ,∴21n b n =- ∴(21)2n n n a b n ⋅=-⨯ ∴1231123252(23)2(21)2n n n D n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①①×2得23412123252(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②①—②得:123112222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯114(12)22(21)212n n n -+-=+⨯--⨯-12(32)6n n +=--,1(23)26n n D n +=-+(Ⅱ)2(21)n n c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n321222[37(41)]n n T n -=+++-+++-2122223n n n +-=--35．（2013届陕西省高考压轴卷数学（文）试题）在等比数列{}n a 中,已知13a =,公比1q ≠,等差数列{}n b 满足1142133b a b a b a ===，，. (Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】【解析】(Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ,等差数列{}n b 的公差为d . 由已知得:2323,3q a q a ==,d b d b b 123,23,31341+=+==3411123333322=⇒⎩⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧+=+=q d q dq d q d q 或 1=q (舍去), 所以, 此时 2=d所以,n n a 3=, 12+=n b n . (Ⅱ)设(21)3n n n n c a b n ==+⋅,n n c c c S +++= 21()123335373...213n n =⨯+⨯+⨯+++⨯,()23413335373...213n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯两式相减得()()1231233233...3213n n n S n +-=⨯+⨯+++-+⨯, 所以13.n n S n +=⋅36．（2013届海南省高考压轴卷文科数学）等比数列{a n }中,a 1,a 2,a 3分别是下表第一、二、(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n }满足:b n =a n +(﹣1)lna n ,求数列{b n }的前2n 项和S 2n . 【答案】专题:计算题.分析:本题考查的是数列求和问题.在解答时:(Ⅰ)此问首先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况,根据符合的情况进一步分析公比进而求得数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{b n }的通项进行化简,然后结合通项的特点,利用分组法进行数列{b n }的前2n 项和的求解. 解答:解:(Ⅰ)当a 1=3时,不符合题意;当a 1=2时,当且仅当a 2=6,a 3=18时符合题意;当a 1=10时,不符合题意;所以a 1=2,a 2=6,a 3=18,∴公比为q=3,故:a n =2•3n ﹣1,n∈N*.(Ⅱ)∵b n =a n +(﹣1)n lna n=2•3n ﹣1+(﹣1)n ln(2•3n ﹣1)=2•3n ﹣1+(﹣1)n [ln2+(n ﹣1)ln3]=2•3n ﹣1+(﹣1)n (ln2﹣ln3)+(﹣1)n nln3∴S 2n =b 1+b 2++b 2n=2(1+3++32n ﹣1)+[﹣1+1﹣1++(﹣1)2n ]•(ln2﹣ln3)+[﹣1+2﹣3++(﹣1)2n 2n]ln3==32n +nln3﹣1∴数列{b n }的前2n 项和S 2n =32n +nln3﹣1.37．（2013届安徽省高考压轴卷数学文试题）( )若数列{}n a 的前n 和为n S ,首项是()a a R ∈,满足2220n n S na n n -+-=(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)是否存在()a a R ∈,使20n n S S λ-=(其中λ是与正整数n 无关的常数)?若存在,求出x 和k 的值,若不存在,请说明理由;(3)求证:a 为有理数的充要条件是数列{}n a 存在三项构成等比数列.【答案】【解析】(1)因为2220n n S na n n -+-=,所以21122(1)0n n S n a n n ++-+++=,两式相减得:11(1)n n n a n a na n ++=+--,即11n n a a +-=,所以数列{}n a 是等差数列, 所以(1)1()n a a n n a n N *=+-=+-∈(2)解法一、因为20n n S S λ-=,所以[]1(1)2(21)2an n n an n n λ+-=+-, 整理得,(14)(21)(21)0n a λλ----=,所以当14λ=,12a =时,该式恒成立. 即当12a =时,2104n n S S -=,故1124x λ==，即为所求. 解法二、假设存在()a a R ∈满足题意20n n S S λ-=,分别令12n n ==，得: 214200S S S S λλ-=⎧⎨-=⎩,即(21)02(23)210a a a a λλ+-=⎧⎨+--=⎩,解得1124a λ==，,当12a =时,[]21111(1)(21)04224n n S S n n n n n n -=+--+-=为常数,所以1124a λ==，即为所求.(3)①充分性:若三个不同项a i a j a k +++，，成等比数列,且i j k <<,则 ()()()a j a i a k +=++,即2(2)a i k j j ik +-=-,若20i k j +-=,则20j ik -=,解得i j k ==,这与i j k <<矛盾,即20i k j +-≠,此时22j ik a i k j-=+-,且i j k ，，非负整数,故a 是有理数 ②必要性:若a 是有理数,且0a ≤,则必存在正整数k ,使得0a k +>,令y a k =+,则正项数列12y y y ++，，，是原数列{}:12n a a a a ++，，，的一个子数列,只要正项数列12y y y ++，，，中存在着三个不同的项构成等比数列,则原数列必有三个不同项构成等比数列.不失一般性,不妨设0a >,记n a m=(m n N *∈，,且m n ，互质),又设k l N *∈，,l k >,则a a k a l ++，，成等比数列,则2()()a k a a l +=+,解得22m l k k n=+,为使l 为整数,则令k n =,于是2l n mn =+,所以(2)a a n a n m +++，，成等比数列. 综上所述,原命题得证. 14分.。