学而思寒假七年级尖子班讲义第5讲二元一次方程组进阶

初一数学二元一次方程组的解法人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：二元一次方程组的解法二､教学重点：（1）掌握二元一次方程和二元一次方程组的概念 （2）掌握二元一次方程组的解法三､知识点扫描：（1）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数项的次数是1的方程。

（2）二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。

（3）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

（4）代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法.简称代入法。

（5）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边相加或相减，就能消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

四､中考考点分析：本节中考命题的重点是二元一次方程（组）的有关概念及二元一次方程（组）的解法，考查方法有直接用代入法或加减法解二元一次方程组，分值不高，且以填空､选择､简单解答题的形式出现。

【典型例题】例一､已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=-)2(3n m 2)1(4n 2m ，则m+n 的值是（ ）。

A ､1B ､0C ､－2D ､－1解法一：由（1）得m=4+2n 代入（2）中得2（4+2n ）－n=3解得n=－35m=32∴m+n=－1 解法二：用（2）－（1）得m+n=－1例二､［2008中考试题］若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30b 5a 313b 3a 2的解是⎩⎨⎧==2.1b 5.8a 则方程组⎩⎨⎧=-++=--+9.30)1y (5)2x (313)1y (3)2x (2的解是（ ） A 、⎩⎨⎧==2.1y 5.8x B 、⎩⎨⎧==2.2y 5.10x C 、⎩⎨⎧==2.2y 5.6x D 、⎩⎨⎧==2.0y 5.10x解：例三、若方程组⎩⎨⎧=-=-16by ax 332y x 5与⎩⎨⎧=-=-22by 2ax 519y 2x 有相同的解，求a ､b 的值。

《二元一次方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；2.掌握消元法（代入或加减消元法）解二元一次方程组的方法；3.理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；4.掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；5.通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧b a＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩. 要点诠释：（1）它的一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思．4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个.要点二、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.要点三、实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 要点四、三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的求知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.412,325,51,x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=-⎨⎪-+=⎩ 273,31,34a b a c b c +=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩等都是三元一次方程组. 要点诠释：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点诠释： （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x ，y ，z )表示题目中的两个(或三个)未知数；（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】类型一、二元一次方程组的相关概念1.在下列方程中，只有一个解的是（ ）A . 1330x y x y +=⎧⎨+=⎩ B . 1332x y x y +=⎧⎨+=-⎩ C . 1334x y x y +=⎧⎨-=⎩ D . 1333x y x y +=⎧⎨+=⎩【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案 【答案】C .【解析】选项A 、B 、D 中，将方程1x y +=，两边同乘以3得333x y +=，从而可以判断A 、B 选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D 中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C. 【总结升华】在111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 均不为零），（1）当121222a a c a b c =≠时，方程组无解；（2）当121222a a c a b c ==，方程组有无数组解； （3）当1222a a ab ≠，方程组有唯一解． 举一反三：【高清课堂：二元一次方程组章节复习409413 例1（3）】 【变式1】若关于x 、y 的方程()12mm x y ++=是二元一次方程，则m = ．【答案】1．【变式2】已知方程组531x y ax y b -=⎧⎨+=-⎩有无数多个解，则a 、b 的值等于 ．【答案】a ＝﹣3，b ＝﹣14．类型二、二元一次方程组的解法2. (黄冈调考)解方程组2()5335()322x y y x y y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩①②【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元．仔细观察题目，不难发现，方程组中的每一个方程都含有(x -y )，因此可以把(x -y )看作一个整体，消去(x -y )可得到一个关于y 的一元一次方程．【答案与解析】解：由①×9得：6(x -y )+9y ＝45 ③ ②×4得：6(x -y )-10y ＝-12 ④ ③-④得：19y ＝57， 解得y ＝3．把y ＝3代入①，得x ＝6．所以原方程组的解是63x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果． 举一反三：【变式】(换元思想)解方程组16105610x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩【答案】 解：设6x y m +=，10x yn -=． 则原方程组可化为15m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=-⎩．所以36210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 即1820x y x y +=⎧⎨-=-⎩．∴ 119x y =-⎧⎨=⎩．3.（2015•江都市模拟）小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c ，解得已知小文除抄错了c 外没有发生其他错误，求a+b+c的值． 【思路点拨】把代入方程组第一个方程求出c 的值，将x 与y 的两对值代入第二个方程求出a 与b 的值，即可求出a+b+c 的值．【答案与解析】 解：把代入cx ﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5， 把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．举一反三：【变式】已知二元一次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+175194y x y x 的解为a x =，b y =，则=-b a .【答案】11.类型三、实际问题与二元一次方程组4.用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽.60cm【思路点拨】初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x ，宽为y ，就可以列出一个关于x 、y 的二元一次方程组. 【答案与解析】解：设每块地砖的长为xc m 与宽为ycm ，根据题意得：6023x y x x y +=⎧⎨=+⎩，解得：4515x y =⎧⎨=⎩ 答：每块地砖长为45cm ，宽为15cm【总结升华】有些题目的相等关系不是直接给我们的，这就需要我们仔细阅读题目，设法提炼出题目中隐含的相等关系.举一反三：【变式】如图，长方形ABCD 中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积.【答案】解：设每个小长方形的长为x ，宽为y ，根据题意得：422(2)37x y x y y +=⎧⎨+-=⎩，解得103x y =⎧⎨=⎩所以阴影部分的面积为：22(73)922(79)910382y xy +-=+-⨯⨯=. 答：图中阴影部分的面积为82.5.（龙岩）已知：用2辆A 型车和1辆B 型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A 型车和1辆车B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案与解析】【总结升华】本题实际上是求二元一次方程组的正整数． 举一反三：【变式1】甲、乙两班学生到集市上购买苹果，价格如下：甲班分两次共购买苹果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70千克。

第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组考点1：二元一次方程1.如果ax +2y =1是关于x 、y 的二元一次方程，那么a 的值应满足（ ） A.a 是有理数 B.a ≠0 C.a =1 D.a 是正有理数2.下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A.2x -3y =5B.x +1=10C.x1+5y =8 D.2x +xy =-13.若（a -2）x +（b +1）y =7是关于x 、y 的二元一次方程，则（ ） A.a ≠2 B.b ≠-1 C.a ≠2且b ≠-1 D.a ≠2或b ≠-14.下列方程中，哪些是二元一次方程？哪些不是二元一次方程？ （1）x -y =0 （2）x 1-y1=3 （3）x 2-x +1=0 （4）ax +by =5（a ≠0，b ≠0，a 、b 是常数)5.若方程2x 2a -1+y b -2=1是二元一次方程，求a +b 的值.考点2 二元一次方程的解6.已知⎩⎨⎧==a y x 1，是二元一次方程x -y =5的解，则a =________.7.二元一次方程5x +2y =13（ ） A.只有一组解 B.有两组解 C.有无数组解 D.无解8.（2008·武汉）已知关于x 的方程4x -3m =2的解是x =m ，则m 的值是（ ） A.2B.-2C.72 D.-72 9.已知二元一次方程2x -3y =-15， （1）用含有y 的代数式表示x ；（2）当y =3、4、5时，分别求出对应的x 值.考点3 二元一次方程组与它的解10.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） A.⎩⎨⎧=-=+13y x y xB.⎩⎨⎧==45y x C.06=-+=-y x y x D.⎩⎨⎧==-34xy y x11.已知二元一次方程组⎩⎨⎧=--=+②.643①,3y x y x 下列说法中，正确的是（ ）A.同时适合方程①、②的x 、y 的值是方程组的解B.适合方程①的x 、y 的值是方程组的解C.适合方程②的x 、y 的值是方程组的解D.同时适合方程①、②的x 、y 的值不一定是方程组的解 12.（2008·杭州）已知⎩⎨⎧-==11y x 是方程32=-ay x 的一个解，那么a 的值是（ ） A.1 B.3C.-3D.-113.已知⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，则（m+n ）2008的值为________.14.为了确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）.已知加密规则为：明文a 、b 、c 对应的密文a +1、2b +4、3c +9.如果接收方收到密文7、18、15，请你解密得出明文.8.2 消元——二元一次方程组的解法第1课时 代入消元法考点1：直接代入1.方程2x +y =6，用含x 的代数式表示y ，则y =________. 用含y 的代数式表示x ，则x =________.2.方程组⎩⎨⎧=-=+.53,132y x y x ②①若用代入法解最好将方程______代入______.3.解下列二元一次方程组. （1）⎩⎨⎧=+=.823,2x y x y （2）⎩⎨⎧+==+.1152,52y x y x考点2：变形后代入 4.方程组⎩⎨⎧=-=+.1153,32y x y x ②①若用代入法解最好将方程______用______的代数式表示____________.5.下列是用代入法解方程组⎩⎨⎧-==-.2113,23y x y x ②①的开始步骤，其中最简单、正确的是（ ）A.由①，得y =3x -2. ③，把③代入②，得3x =11-2（3x -2）.B.由①，得x =32+y .③，把③代入②，解3×32+y =11-2y . C.由②，得y =2311x -.③，把③代入①.得3x 2311x--=2. D.把②代入①，得2211=--y y .6.方程组⎩⎨⎧=+=-.1,52y x y x 的解是（ ）A.⎩⎨⎧==.1y ,2xB. ⎩⎨⎧==.1,0y xC. ⎩⎨⎧=-=.1,2y xD. ⎩⎨⎧-==.1y ,2x7.解下列方程组.（1）⎩⎨⎧=++=.832,6y x x y ②① （2）⎩⎨⎧=+-=+.15,1932y x y x ②①8.小明给小刚出了一道数学题：如果将原方程组⎩⎨⎧=+=-.3 □,3 □2y x y x ②①第1个方程y 的系数遮住，第2个方程x 的系数覆盖，并且告诉你⎩⎨⎧==.1,2y x 是这个方程组的解，你能求出原来的方程组吗？第2课时 加减消元法考点1：直接加减消元1.方程组235,2715.x y x y +=⎧⎨-=-⎩中的x 的系数特点是_________；方程组⎩⎨⎧=+=-.11y 5x 6,7y 5x 3中y的系数的特点是_________；这两个方程组用________法解较简便. 2.方程组3210,52 6.y x y x -=⎧⎨+=⎩的解是________,________.x y =⎧⎨=⎩3.（2008·河北）如图8.2-1所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是___________g.4.方程组432431x y x y -=⎧⎨+=⎩，既可用___________法消去未知数________，也可用_________法来消去未知数_________.5.已知方程组①435,4614.x y x y -=⎧⎨+=⎩ ②34,350.y x y x =+⎧⎨+=⎩其中方程组①采用________消元法简单，而方程组②采用_________消元法简单.6.解下列方程组 （1）250,72130.x y x y ++=⎧⎨--=⎩ （2）15,5.x y x y +=⎧⎨-=⎩考点2.变形后加减消元 7.已知二元一次方程组3428437x y x y +=⎧⎨+=⎩不解方程组，则x +y =_________，x －y =_____.8. 已知方程3x 2c -d -3-2y 7c -5d +1=1是二元一次方程，则c =________，d =________. 9. 已知02x y =⎧⎨=⎩，41x y =⎧⎨=⎩都是方程ax +by =8的解，则a =_______,b =________.10. 方程组356234x y x y -=⎧⎨-=⎩②①,将②×3-①×2得( )A.-3y =2B.4y +1=0C.y =0D.7y =-611. 解方程组：①⎩⎨⎧=-=;9y 5x 3,y 2x ②⎩⎨⎧=+=-;10y 2x 3,7y 2x 4③⎩⎨⎧=-=+;1y 4x 3,0y x ④⎩⎨⎧=-=+.7y 3x 2,9y 5x 4.比较适宜的方法是（ ） A.①②用代入法，③④用加减法B.①③用代入法，②④用加减法图8.2-1C.②③用代入法，①④用加减法D.②④用代入法，①③用加减法12.解下列方程组 （1）9523429y x y x -=⎧⎨+=⎩ （2）2735313x y x y -=⎧⎨+=-⎩ （3）1.5214.578x y x y -=-⎧⎨-+=⎩第3课时 二元一次方程组解法的综合应用考点1：选择适当的方法解二元一次方程组 1. 解方程组235327x y x y -=⎧⎨-=⎩②①下列解法不正确的是（ ）A. ①×3-②×2,消去xB.①×2-②×3,消去yC.①×(-3)+②×2,消去xD.①×2-②×(-3)消去y2.解方程组92153410x y x y +=⎧⎨+=⎩②①，用加减法消去x 的方法是_________；用加减法消去y的方法是__________. 3.解下列方程组（1）1222315154233x y x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ （2）132(1)6x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩考点2：特殊方程组的解法 4.方程组2(2)422x x y x y ++=⎧⎨+=⎩的解是__________.5.已知3x y -=2x y +=4，则x =_________,y =________. 6.已知21x y =-⎧⎨=⎩是方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则（a +b ）(a -b )的值为（ ）A.-353B.353C.0D.27.请写出一个以x 、y 为未知数的二元一次方程组，要求同时满足下列两个条件：（1）由两个二元一次方程组成； （2）方程组的解为⎩⎨⎧==.3y ,2x考点3：二元一次方程的简单应用 8.小亮对小明说：“我的生月和日相加是37，月的2倍和日相加是43”小亮说真话了吗？9.（2008·杭州）课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题，今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？如果假设鸡有x 只，兔有y 只，请你列出关于x 、y 的二元一次方程组；并写出你求解这个方程组的方法.8.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 对大小牛的食量估计考点1：直接设元1.（2007·河北）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等，图8.3-1给出了“河图”的部分点，请你推算出P 处所对应的点图是（ ）图8.3-12.有鸡兔若干只，装在同一笼子中，数一数共有55个头，160条腿，问鸡、兔各有多少只？设鸡有x 只，兔有y 只.根据题意可列出方程组是（ ） A. 5522160x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.5544160x y x y +=⎧⎨+=⎩ C. 5524160x y x y +=⎧⎨+=⎩ D. 5542160x y x y +=⎧⎨+=⎩3.（2007·鄂尔多斯）一种蔬菜加工后出售，单价可提高20%，但重量减少10%.现有未加工的这种蔬菜30千克，加工后可以比不加工多卖12元，则这种蔬菜加工前和加工后每千克各卖多少元？设这种蔬菜加工前每千克卖x 元，加工后每千克卖y 元，根据题意，所列方程组正确的是（ ）A. (120%)30(110%)3012y x y x =+⎧⎨+-=⎩B. (120%)30(110%)3012y xy x =+⎧⎨--=⎩C. (120%)30(110%)3012y xy x =-⎧⎨--=⎩D. (120%)30(110%)3012y xy x =-⎧⎨+-=⎩4.某同学到邮局买了8角和1.2元的两种邮票共11张，花了10.8元，若8角邮票买x张，1.2元邮票买y张，应列方程组为____________.5.某车间有28个工人生产某种螺栓和螺母，每人每天生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母），应分配____人生产螺栓.6.一个长方形周长是108厘米，长比宽的2倍多6厘米，则长方形的长是_______厘米，宽是________厘米.考点2.综合运用7.古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是（）A.5B.6C.7D.88.（2008·巴东）“五一”黄金周，巴中人民商场“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，某顾客在女装部购买了原价x元，男装部购买了原价为y元服装各一套，优惠前需付700元，而他实际付款580元，则可列方程组为（）A.5800.80.85700x yx y+=⎧⎨+=⎩B.7000.850.8580x yx y+=⎧⎨+=⎩C.7000.80.85700580x yx y+=⎧⎨+=-⎩D.7000.80.85580x yx y+=⎧⎨+=⎩9.10年前，母亲的年龄是儿子的6倍，10年后，母亲的年龄是儿子的2倍，设母亲现在年龄x岁，儿子现在年龄y岁，则有方程组____________ ____________⎧⎨⎩.10.（2007·吉林）王阿姨和李奶奶一起去超市买菜，王阿姨买西红柿、茄子、青椒各1kg,共花了12.8元,李奶奶买西红柿2kg、茄子1.5kg,共花了15元.已知青椒每千克4.2元,请你求出每千克西红柿、茄子各多少元?第2课时设计种植方案考点1：一般问题1. 一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，若该货物的进价为21元，则每件的标价应为（）A.27.72元B.28元C.29.17元D.30元2. 一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，则x，y的值为（）A.x=13，y=2B.x=14，y=1C.x=15，y=1D.x=14，y=23.（2007·乐山）某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务，该公司应按排几天精加工，几天粗加工？设安排x天精加工，y天粗加工.为解决这个问题，所列方程组正确的是（）A.14016615x yx y+=⎧⎨+=⎩B.14061615x yx y+=⎧⎨+=⎩C.15166140x yx y+=⎧⎨+=⎩D.15616140x yx y+=⎧⎨+=⎩4. 有甲、乙两种商品，甲商品的利润率为5%，乙商品的利润率为4%，共获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共获利44元，则两种商品的买入价分别是（）A.400元，600元B.600元，400元C.580元，440元D.520元，460元5. 一队民工参加水利工地挖土及运土工作，平均每人每天挖土5方或运土3方，如果安排a人挖土，b人运土，恰好使挖的土能及时运走，则a∶b=_________.6. 某班学生准备分组活动，如果每组7人，则余下3人；若每组8人，则最后一组只有3人.求这班学生有多少人，准备分多少组.设该班有学生x人，准备分y组，根据题意，列出方程组为__________.7. 甲种物品每个4千克，乙种物品每个7千克，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76千克：（1）列出关于x，y的二元一次方程；（2）若x=12，则y=__________；（3）若有乙种物品8个，则甲种物品有_________个；（4）请你用含x的代数式表示出y，然后再探究出满足条件的x、y的全部数值.考点2. 综合运用8.（2007·辽宁）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6∶5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分.若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（）A.65240x yx y=⎧⎨=-⎩B.65240x yx y=⎧⎨=+⎩C.56240x yx y=⎧⎨=+⎩D.56240x yx y=⎧⎨=-⎩9.（2006·河北）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图8.3-2、图8.3-3.图8.3-2 图8.3-3图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ,y 的系数与相应的常数项.把图8.3-2所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219,423.x y x y +=⎧⎨+=⎩类似地，图8.3-3所示的算筹图我们可以表述为（ ） A. 2114327x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.2114322x y x y +=⎧⎨+=⎩ C. 3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.264327x y x y +=⎧⎨+=⎩10.如图8.3-4，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.（1）在图（1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x 、y 的值. （2）把满足（1）的其他6个数填入图（2图8.3-4第3课时 原料费与运输费考点1：一般问题1.抗洪救灾小组A 地段现有28人，B 地段现有15人，现在又调来29人，分配在A 、B 两个地段，要求调配后A 地段人数是B 地段人数的2倍，则调往A 地段人数和B 地段的人数分别是( ) A.18，11 B.24，5 C.20，9 D.14，152.开学后书店向学校推销两种课外读物，如果原价买这两种书共需880元，书店推销时第一种书打了八折，第二种书打了七五折，结果两种书共少要了200元，则原来每种书需要钱数为( ) A.400元，480元 B.480元，400元 C.360元，300元 D.300元，360元3.甲、乙两人练习跑步,如果甲让乙先跑10米,甲跑5秒钟就可追上乙,如果甲让乙先跑2秒钟,那么甲跑4秒钟就能追上乙,若设甲、乙每秒钟分别跑x 、y 米,列出方程组为( )（1） （2）A.5105442x yx y+=⎧⎨-=⎩B.5510424x yx y=+⎧⎨-=⎩C.5()104()2x yx y x-=⎧⎨-=⎩D.55104()2x yx y y-=⎧⎨-=⎩4.一个两位数各位数字之和为10,十位数字与个位数字互换后,所得新数比原数小36,则原来的两位数是___________.5.某学生骑自行车从学校去县城,先以每小时12千米的速度下山,而后以每小时9千米的速度通过平路到达县城,共用去55分钟;返回时,他以每小时8千米的速度通过平路,再以每小时4千米的速度上山回到学校,用去1小时30分钟,学校到县城的距离是多少千米.考点2：综合运用6.甲、乙两人在200米的环形跑道上练竞走,当他们都从某处同时出发背向行走时每30秒钟相遇一次;同向行走时,每隔4分钟相遇一次,则两人的速度分别为_________. 7.某学校的男运动员比女运动员的2倍少4人,男运动员与女运动员的人数比是5∶3,求男、女运动员各有多少人.若设男运动员x人,女运动员y人,则可列方程组为( )A.2453x yx y=+⎧⎨=⎩B.2435x yx y=-⎧⎨=⎩C.2435x yx y=+⎧⎨=⎩D.2453x yx y=-⎧⎨=⎩8.(2008·海南)根据北京奥运票务网站公布的女子双人3米跳板跳水决赛的门票价格（如表所示），小明预订了B等级、C等级门票共7张，他发现这7张门票的费用恰好可以预订3张A等级门票.问小明预订了B等级、C等级门票各多少张？第4课时综合应用题考点1：销售问题1. 刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元.设刘刚买的两种贺卡分别为x张、y张,则下面的方程组正确的是( )A.1028yxx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩B.128210x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C.1028x yx y+=⎧⎨+=⎩D.8210x yx y+=⎧⎨+=⎩2. 买钢笔和铅笔共30支,其中钢笔是铅笔支数的2倍少3支,若设买钢笔x支,铅笔y支,则列出的方程组应是( )A.3023x yy x+=⎧⎨=+⎩B.3023x yy x+=⎧⎨=-⎩C.3023x yx y+=⎧⎨=+⎩D.3023x yx y+=⎧⎨=-⎩3. 某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共560元,今天又卖出9件衬衫和6条裤子共680元,若设每件衬衫售价x元,每条裤子售价y元,则可列方程组为__________.4. 某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共40千克到市场去卖.问:考点2：工程问题5. 某项工程,甲单独完成需要10天,乙单独完成需要15天,则甲、乙合作一天完成全部工作的( )A.111015+ B.11015+C.111015- D.1111015+6. 某班学生参加运土劳动,一部分同学抬土,另一部分同学挑土,已知全班同学共用土筐59个,扁担36条,问抬土和挑土的同学各有多少人?若设抬土的有x人,挑土的有y 人,则( )A.2592362x yxy⎧+⎛⎫=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩B.2592362xyxy⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C.2592236xyx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩D.259236x yx y+=⎧⎨+=⎩7. 一艘船载重量是560吨，容积是2280立方米，现有甲、乙两种货物,甲种货物每吨的体积是3立方米,乙种货物每吨的体积是6立方米,两种货物应该各装多少吨,才能最大限度地利用船的载重和容积.正确的答案是( )A.甲、乙两种货物分别是360吨、200吨B.甲、乙两种货物分别是200吨、360吨C.甲、乙两种货物分别是260吨、300吨D.甲、乙两种货物分别是300吨、260吨8.甲、乙两人做同样的零件,如果甲先做一天,乙再开始做,5天后两人做的零件一样多;如果甲先做30个,乙再开始做,4天后乙反而比甲多做10个,求甲、乙两人每天做多少个零件,若设甲、乙两人每天分别做x、y个零件,由题意则有方程组( )A. (51)5304410x yx y +=⎧⎨+=+⎩B. 155304410x yx y +=⎧⎨+=+⎩C. (51)5304410x y x y +=⎧⎨+=-⎩D. 155304410x yx y +=⎧⎨+=-⎩考点3. 面积问题9.如图8.3-5，8块相同的长方形地砖恰好能拼成一个矩形图案，地砖间的缝隙忽略不计，且这个矩形的宽为20cm ，求每块矩形地砖的面积.图8.3-510.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图8.3-6（1），恰好可拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试”，结果七拼八凑，拼成如图8.3-6（2）那样的正方形.咳！中间还留下一个洞，恰好是边长为2mm 的小正方形！（1） （2）图8.3-6你能帮他们解开其中的奥秘吗？8.4 三元一次方程组解法举例 第1课时 三元一次方程组的解法考点1：用代入法解方程组1.方程x +2y -3z =0的解有1,1,().x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 2,(),2.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ (),3,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩……2.方程组323,2311,12.x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩的解是（）A.3,6,3.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩B.5,4,3.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩C.2,8,2.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩D.3,8,1.xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩3.用代入法解下列方程组（1）4,21,17.x zy zx y z=-⎧⎪=+⎨⎪++=⎩（2）23,5,311.x yy zz x=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩考点2.用加减法解方程组4.解三元一次方程组3213272312x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩③②①时，首先消去z，得二元一次方程组为___________________，再消去未知数x，得一元一次方程为_________________.解得y=_______;将y代入变形得到的二元一次方程组中，求得x=_________，最后将x和y值同时代入②；得z=__________.5. 方程组24393251156711x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩③②①中，未知数_________的系数成倍数关系,解此方程组首先考虑消去未知数______较简单，得到关于_______________的二元一次方程组为____________.6. 解方程组229229232x yy zz x+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩得x等于( )A.18B.11C.10D.97. 解下列三元一次方程组.(1)2402040a bb ca b c+-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩(2)2,21231x y zx y zx y z++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩第2课时三元一次方程组的应用考点：三元一次方程组的应用1. 一个三位数，个位、百位上的数字和等于十位上的数字2倍，百位上的数字的3倍比个位、十位上的数字和大1，个位、十位、百位上的数字和是15,则这个三位数是__________.2. 若a+2b-3c=4, 5a-6b+7c=8, 则9a+2b-5c=__________.3. 如右图8.4-1，表中各行、各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a+b+c+d+e+5的值是__________.4. 某校参加市中学生运动会，获取的金牌数与银牌数的比是5∶6，铜牌数比金牌数2倍少5块，金牌数的3倍与银牌数之和等于42块，则该校获取金牌________块，银牌________块，铜牌_______块.5. .第八章二元一次方程组参考答案8.1 二元一次方程组1.B2.A3.C4.是二元一次方程的有x-y=0,ax+by=5(a≠0,b≠0,a,b为常数)5. ∵2x2a-1+y b-2=1是二元一次方程, ∴2a-1=1,b-2=1, ∴a=1,b=3,a+b=46.-47.C8.A 9.(1)x=3152y-;(2)当y=3时,x=-3,y=4时,x=32-;y=5时,x=0. 10.D 11.A 12.A13.1 14.由题意得1724183915abc+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得a=6,b=7,c=28.2 消元——二元一次方程组的解法第1课时代入消元法图8.4-11.6-2x ,62y- 2. ②,① 3.(1) 12x y =⎧⎨=⎩ (2) 31x y =⎧⎨=-⎩ 4.① 含有x ,y 5.D 6.D 7.(1) 24x y =-⎧⎨=⎩ (2)143x y =-⎧⎨=⎩ 8.原方程组为233x y x y -=⎧⎨+=⎩第2课时 加减消元法1.相同，互为相反数，加减消元2. 22x y =-⎧⎨=⎩3.204.加，y ；减， x5.加减，代入6.(1) 13x y =⎧⎨=-⎩ (2) 105x y =⎧⎨=⎩ 7.5,-21 8. 203,283 9.1,410.C 11.B 12.(1) 53x y =⎧⎨=⎩ (2)21x y =-⎧⎨=-⎩ (3) 65x y =⎧⎨=⎩ 第3课时 二元一次方程组综合运用1.D2. ①-②×3,①×2-②3.(1) 20151815x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2)32x y =⎧⎨=⎩ 4. 01x y =⎧⎨=⎩5.10,-26.C7.如32121x y y x +=⎧⎨-=⎩ 不唯一 8.设小亮的生月和日分别为x ,y ，依题意，得37243x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得631x y =⎧⎨=⎩，∵6月只有30日，∴小亮说的是假话. 9.方程组如下：352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，可以用代入消元法来解这个方程组.8.3 实际问题与二元一次方程组 第1课时 对大小牛的食量估计1.C2.C3.B4. 110.8 1.210.8x y x y +=⎧⎨+=⎩ 5.12 6.38,16 7.A 8.D 9.106(10)102(10)x y x y -=-⎧⎨+=+⎩ 10.设每千克西红柿x 元,每千克茄子y 元.根据题意,得 4.212.8,2 1.515.x y x y ++=⎧⎨+=⎩解得4.2,4.4x y =⎧⎨=⎩ 答:每千克西红柿4.2元,每千克茄子4.4元 第2课时 设计种植方案1.B2.B3.D4.B5.3∶56. 7385y x y x =-⎧⎨=+⎩ 7.(1)4x +7y =76 (2)4 (3)5(4)y =7647x-；5,8；12,4； 8.D 9.A 10.(1)由题意得 234345x y y y +=-⎧⎨+=⎩解得11x y =-⎧⎨=⎩ (2)如图第3课时 原料费与运输费1.C2.A3.D4.735.9千米，设下坡路为x 千米，平路为y 千米，则有55129603482x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：36x y =⎧⎨=⎩6.225米/分，175米/分7.B8.设小明预订了B 等级与C 等级门票分别为x 张和y 张. 依题意，得73001505003x y x y +=⎧⎨+=⨯⎩ 解这个方程组得34x y =⎧⎨=⎩. 答：小明预订了B 等级门票3张，C 等级门票4张.第4课时 综合运用 1.D 2. D 3. 7456096680x y x y +=⎧⎨+=⎩4.设西红柿进了x 千克，豆角进了y 千克401.2 1.660x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得1030x y =⎧⎨=⎩所以当天卖完这些西红柿和豆角能赚10×（1.8-1.2）+30×(2.5-1.6)=33(元) 5.A 6.B 7.A 8.C 9.解：设每块长方形地砖的长为x cm,宽为y cm. 列方程组320x y x y =⎧⎨+=⎩ 解得155x y =⎧⎨=⎩15×5=75（cm 2），即每块地砖的面积为75cm 2. 10.设每个小长方形的长为x mm ，宽为y mm ，由图（1）可得3x=5y由图（2）得2y-x=2. 解方程组3522x yy x=⎧⎨-=⎩，得106xy=⎧⎨=⎩通过计算可知，图（1）的面积为480mm2，图（2）的面积为484mm2.8.4 三元一次方程组解法举例第1课时三元一次方程组的解法1. x=-13, y=4, x=-9 2.D 3.(1)1115xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩(2)332xyz=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩4.55255731x yx y+=⎧⎨+=⎩, 2y=6,y=3, x=2, z=1 5.y,y,x、z,813314820x zx z+=⎧⎨+=⎩6.C7.(1)3121abc=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩(3)312xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩第2课时三元一次方程组的应用1.4562.243.214.10,12,155.当x=0时c=3 当x=2时，4a+2b+c=3 当x=1时，a=1 故有123abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩则空格分别填入0,4,2责任编辑庞保军。

沪科版 七年级上
课时拔尖22
二元一次方程(组)
＋＝，
= ，
1. 若关于 x ， y 的方程组ቊ
的解为ቊ
则

=
，
＋＝
( − ) + = ，
方程组 ቊ
的解是(
( − ) + =
= ，
= ，


A. ൝
B. ൝
＝
＝

= ，
得

− ＝ ，
＋( − ) = ，
൝
所以成立.

− ( − )＝ ，
1
2
3
＋ = ，
= ，
(3)若方程组ቊ
的解是ቊ
求 m 的值，
＝
−
，
− =
并判断该方程组是否符合上述规律.
= ，

【解】将ቊ
代入 x － my ＝16，解得 m ＝ ，

C. ൝
＝


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= ，

D. ൝
＝

1
2
3
)
【点拨】
( − ) + = ，
将方程组ቊ
可变形为
( − ) + =
(−)

＋
＝，


൞(−)
＋
＝.


1
2
3
＋＝，
因为关于 x ， y 的方程组ቊ
的解为
＋＝
3
足3 x － y ＝7，那么 m 的值是
.
⁠
1
2
3
【点拨】
− ＝，
解方程组ቊ＋＝ + ，