第一卷（2011年）
一、(12分)设两个独立样本X 1,…,X n , Y 1,…,Y n 分别来自总体N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，
令222
21111
1111,,(),()11n n n n i i X i Y i i i i i X X Y Y S X X S Y Y n n n n =======-=---∑∑∑∑， 及2
,1
1()()1n X Y i i i S X X Y Y n ==---∑。
(1)当n=17时，求常数k
使得12(0.95P X Y μμ->-+=
(2)求概率2
2(1)X
Y
S P S >。
二、(15分)设总体X 的密度函数为(;)f x θ=
,1θ>
(1)求参数θ的矩估计量θ；
(2)求参数()g θθ
=的极大似然估计g ；
(3)试分析g 的无偏性、有效性和相合性。
三、(10分)某生产商关心PC 机用的电源的输出电压，假设输出电压服从标准差为0.25V 的正态分布N(μ,σ2)，
(1)问样本容量n 为多大时，才能使平均输出电压的置信度为0.95的置信区间的长度不超过0.2V ；
(2)设X 1,…,X n 是来自总体X~N(0,θ)的样本，()1max n i i n
X X ≤≤=。统计假设：H 0：θ≥3，
H 1：θ＜3的拒绝域为{}0() 2.5n K X =<，求假设检验犯第Ⅰ类错误的最大概率max α。
四、(10分)一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原止痛片至少缩短一片，因此厂方提出检验假设： 012112:2,:2H H μμμμ=>。此处12,μμ分别是服用原止痛片和新止痛片后至开始起作
用的时间间隔的总体均值。设两总体均为正态分布且方差分别为已知值21σ和22σ，X 1,…,X n 和 Y 1,…,Y n 是分别来自两个总体分布的相互独立样本。试分析上述假设检验的检验统计量和拒绝域。
{
1,(0,1)
0,(0,1)
x x ∈∈
五、(15分)设样本(,)(1,2,...,)i i x y i n =满足，01ln i i i y x ββε=++，且12,,...,n εεε相互独立。
(1)求系数0β和1β的最小二乘估计量0β，1β；
(2)证明：2
2
21
1
1
ˆˆ()()()n
n
n
i i i i i i i y y y y
y y ===-=-+-∑∑∑ 其中011
1ˆˆˆ,,1,2,...,n
i i i
i y y y x i n n ββ===+=∑。
六、(8分)某组装产品有部分噪音很大的次品，很伤脑筋。产生次品的原因似乎是由于这种组装品的某个部位的间隙过大引起的，为了检验这个认识是否正确，待从正
著差异(取显著水平α=0.05)，并指出方差分析中的指标、因素和水平，完成方差分析表。
第二卷（2008年）
一、假设X 1, X 2…,X 9，是来自总体X~N(0,4)的样本，X 是样本均值，S 2是样本方差，求下列常数a 的值。 18
21(1)((2)()0.05(3)(
)0.05i i P X X a
P X a X
P a S
=-<=>=>=∑
二、设总体X 的分布律为 X 1, X 2…,X n ，是来自X 的样本。
(1)试求1
()g θθ
=的矩估计量1g 和极大似然估计量2g ；
(2)试分析2g 的无偏性、有效性和相合(一致)性。
三、设X 1, X 2…,X n 、 Y 1, Y 2…,Y n 分别来自总体N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)的样本，且相
互独立，22
,,,X Y X Y S S 分别表示X 、Y 的样本均值和样本方差。 (1)当参数σ2已知时，分析并给出参数3μ1-4μ2置信度为1-α的置信区间； (2)当参数σ2未知时，对统计假设：012112:341,:341H H μμμμ-=->给出显著水平为α时的检验统计量和拒绝域。 四、设总体X~B(2,p)，X 1, X 2 , X 3是来自总体X 的一个样本，01:0.2,:0.4H p H p ==。
H 0的拒绝域为3012i i K X =⎧⎫
=≥⎨⎬⎩⎭∑。求犯两类错误的概率(提示：3
1
~(6,)i i X B P =∑)。
五、设(X,Y)的观测数据(X i ,Y i )，i=1,2,3,4满足下列线性模型：
10112012
30134014
22Y Y Y Y ββεββεββεββε=++⎧⎪=-+⎪⎨
=-+⎪⎪=++⎩ 其中2~(0,)(1,2,3,4)i N i εσ=且相互独立。
(1)试用最小二乘法求参数0β、1β的乘估计量0β、1β；
(2)分析并求出0β、1β的分布。
六、简述方差分析、正交设计、聚类分析、主成分分析这些统计方法各自的用途。
22()(1)(1),2,3,...,01k P X k k k θθθ-==--=<<
第三卷（2010年）
一.（20分）假设X 1，X 2，….,X 24是来自总体X~N （0，2σ）的简单随机样本，,X S 2分别为样本均值和样本方差
（1）求参数a,b,c,使得X=a(X 1-X 2)2+b(3X 3-4X 4)2
+24
25
i c X ∑服从卡方分布，并指出它
的自由度;
（2）求参数k,使得满足E ()2222S kX σ+=,并求()222D S kX +;
（3）求参数d(0d >)，使得()()122
22165222110.90i i i j j j X X P d X X -=-=⎧⎫-⎪⎪⎪⎪
>=⎨⎬⎪⎪-⎪⎪⎩⎭
∑∑；
（4）分析随机变量2
X 的分布。
二.（20分）设总体分布X 的密度函数为()()1
;,,f x c x x c θθθθ-+=>其中0c >已知，
1θ>未知，求
（1）参数θ的矩估计量1ˆθ；
（2）参数()1
g θθ
=的极大似然估计()ˆg
θ； （3）试分析()ˆg
θ无偏性，有效性和相合性。
三、某厂使用两种不同的原料生产同一类型的产品。随即选取使用原料A 生产的样品22件，测得平均质量为,样本标准差为。选取使用原料B 生产的样品24件，测得平均质量为. 样本标准差为。设产品质量服从正态分布，两个样本独立。
（1） 问能否认为使用原料B 生产的产品质量比使用原料A 的显著大； （2） 求：H 0
：, H 1
： , 假设H 0的拒绝
域
。
