重庆大学2013-2014学年(秋)数理统计AB试题与答案

2012年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题5分, 共30分)1. 设随机变量X 服从正态分布(1,4)N , 已知(1)a Φ=, 其中()x Φ表示标准正态分布的分布函数, 则{13}P X -≤≤=21a -.解: 111311{13}11(1)(1)2222(1)(1(1))2(1)12 1.X X P X P P a -----⎧⎫⎧⎫-≤≤=≤≤=-≤≤=Φ-Φ-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Φ--Φ=Φ-=- 2. 设概率()0.3,()0.5,()0.6P A P B P A B ==+=, 则()P AB = 0.1 . 解: ()()()()0.2P AB P A P B P A B =+-+=,()()()0.30.20.1P AB P A P AB =-=-=.3. 设随机变量,X Y 的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪夫不等式估计(|2|6)P X Y +≥≤ 13/36 . 解: 由已知条件得, (2)2220E X Y EX EY +=+=-+=,(2)4()2(,2)4()4(,)D X Y DX D Y Cov X Y DX D Y Cov X Y +=++=++4()41164(1/2)213DX D Y ρ=++=++⋅-⋅=, 所以, 13(|2|6)36P X Y +≥≤. 4. 已知,X Y 是具有相同分布的两个独立随机变量, 且1(1)(1)2P X P Y =-==-=, 1(0)(0)2P X P Y ====, 则()P X Y == 1/2 . 解:()(0,0)(1,1)1(0)(0)(1)(1).2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ====+=-=-===+=-=-=5. 设1216,,,X X X 是来自2(0,)N σ的样本, S 是样本均方差, 则1614ii XS=∑服从t (15).解: 由定理3(15)t ,161611(15)4i ii X X X t S ===∑∑.6. 设1281,,,(,9)X X X N μ, 要检验假设0:0H μ=, 则当0H 为真时, 用于检验的统计量3X 服从的分布是(0,1)N . 解: 由定理1(0,1)X N , 3(0,1)X N .二. 解答下列各题:7. (10分)已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率.解: 设A =“该人是色盲”, 1A =“该人是男人”, 2A =“该人是女人”.由全概率公式知, 2111()()()0.050.0025 2.625%22i i i P A P A P A A ===⨯+⨯=∑.8. (10分) 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令1,,0,i X ⎧=⎨⎩第次取出球第次取出白球，i 红i 1,2i =. 实在不放回模式下求12,X X 的联合分布律,4/7 3/7 j P因为1212{0,0}{0}{0}P X X P X P X ==≠==, 所以12,X X 不独立. 9. (10分)设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为3,01,,(,)20,xx x y x f x y ⎧<<-<<⎪=⎨⎪⎩其他，求,X Y 的边缘概率密度函数. 解: 当01x <<时, 23()(,)32xX x xf x f x y dy dy x +∞-∞-===⎰⎰.所以,23,01,()0,.其他X x x f x ⎧<<=⎨⎩当10y -<<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y -==-⎰;当01y ≤<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y ==-⎰; 所以,23(1),11,()40,.其他Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩10. (10分) 设,X Y 相互独立, 且(1)(1)0P X P Y p ====>, (0)(0)10P X P Y p ====->,令1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩当为偶数,当为奇数,求Z 的分布律.解:{0}{0,1}{1,0}{0}{1}{1}{0}2(1)P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===- 22{1}{0,0}{1,1}{0}{0}{1}{1}(1).P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===+- 所以, Z11. (10分12,,X 是来自具有分布的总体的随机样本,试用中心极限定理计算()5P X >.(已知(2)0.508Φ=.)解: 由题知1()3i E X =,2()1i E X =,故()228()9i i i D X EX EX =-=. 由中心极限定理知,20012001600(,)39ii X N =∑. 所以, 11111()4014052005n i n n i i i i i X P X P P X P X ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪>=>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑1200200403311(2)(2)0.508404033n i i X P =⎛⎫-- ⎪ ⎪=-≤≈-Φ-=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭∑. 12. (10分)设总体X 的密度函数为36(),0,(;)0,其他,xx x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩求θ的矩估计ˆθ并计算ˆD θ.解: 依题意,306()()2xE X xx dx X θθθθ=-==⎰,得参数θ的矩估计量为ˆ2X θ=. 4ˆ4D DX DX n θ==. 而2223063()()10x E X x x dx θθθθ=-=⎰,故22244ˆ()5D DX EX E X n n n θθ==-=.13. (10分) 某电器零件平均电阻一直保持在2.64Ω,使用新工艺后,测得100个零件平均电阻在2.62Ω,如改变工艺前后电阻均方差保持在0.06Ω,问新工艺对零件电阻有无显著影响?(取0.01α=)(1.96)0.975,Φ=(1.64)0.95,Φ=(2.58)0.995Φ=. 解: 设X 为零件的平均电阻, 则2~(,0.06)X N μ. (1)假设0: 2.64H μ=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3)由0.01α=, 确定临界值22.58u α=, , 使得2{||}0.01P U u α>=;(4)由样本值 2.62x =, 得统计量U 的观察值3.33x u ==≈-.(5)因为 2.58u >,所以拒绝原假设0H ,认为新工艺对零件电阻有显著影响.2013年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题4分, 共20分)1. 设随机变量,X Y 相互独立, 且同分布, {1}{1}0.5P X P X =-===,{1}{1}0.5P Y P Y =-===, 则{}P X Y == 1/2 .解: 1{}{1,1}{1,1}{1}{1}{1}{1}.2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ===-=-+====-=-+===2.22x edx +∞-=⎰2. 解:因为221x +∞--∞=⎰,所以22xe +∞--∞=⎰即2202x e +∞-=⎰. 3. 设连续型随机变量X的密度函数22()2()x f x μσ--=, x -∞<<+∞, 则EX =μ, DX =2σ. 解:因为22()2()x X f x μσ--=, 所以2(,)X N μσ.4. 设总体(3,10)XN , 12100,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本, 则10011100i i X X ==∑1~(3,)10X N . 解: 由定理1知, 1~(3,)10X N . 5. 设袋中有8个红球, 2个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一次与第三次都摸到红球的概率是 28/45 . 解: 记i A =“第i 次摸到红球”, 1,2,3i =.13131223123123()()(())()P A A P A A P A A A A P A A A A A A =Ω=+=+123123121312121312()()()()()()()()P A A A P A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+=+876827281098109845=⨯⨯+⨯⨯=. 二. 解答题6. (12分) 某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为0.92, 乙为0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率. 参考练习册反12第4题. 解: 设A =“甲有效”, B =“乙有效”.题目转为: 已知()0.92,()0.93P A P B ==, {}0.85P B A =, 求()P A B +和{}P A B . 因为()()()(){}0.851()1()()P BA P B A P B P AB P B A P A P A P A --====--, 所以, ()0.862P AB =.所以, ()()()()0.988P A B P A P B P AB +=+-=;()()()()0.920.862{}0.831()1()10.93()P AB P A B P A P AB P A B P B P B P B ---====≈---. 7. (12分)设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x a b x x =+-∞<<+∞, 求常数,a b 以及随机变量X 的密度函数. 解: 根据分布函数的性质得()1,2()0,2b F a b F a ππ⎧+∞=+=⎪⎪⎨⎪-∞=-=⎪⎩ 所以1,21.a b π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩X 的密度函数为21()(1)f x x π=+.8. (14分) 设某种类型人造卫星的寿命X (单位: 年)的密度函数为21,0,()20,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若2颗这样的卫星同时升空投入使用, 试求:(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率. 参考教材P37例3 解: 1颗卫星3年内正常运行的概率为32231{3}2x P X e dx e +∞--≥==⎰. 记Y 表示2颗卫星在3年内正常运行的颗数, 则32(2,)Y B e -.(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率2332{2}P Y e e --⎛⎫=== ⎪⎝⎭;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率232{1}1{0}11P Y P Y e -⎛⎫≥=-≥=-- ⎪⎝⎭.9. (14分) 设某高校英语考试成绩近似服从均值为72的正态分布, 96分以上的考生占总数的2.3%(已知满分为100, 合格线为60), 试求: (1) 考生成绩在60-84之间的概率;(2) 该校考生的合格率.((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ= 解: 设某高校英语考试成绩为X , 则2(72,)XN σ.由题意知{96}0.023P X ≥=, 即7296720.023X P σσ--⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭, 所以241()0.023σ-Φ=, 即24()0.977(2)σΦ==Φ.因此, 12σ=.(1) 考生成绩在60-84之间的概率6072728472{6084}(1)(1)2(1)10.6826;121212X P X P ---⎧⎫≤≤=≤≤=Φ-Φ-=Φ-=⎨⎬⎩⎭(2) 合格率726072{60}1(1)(1)0.8413.1212X P X P --⎧⎫≥=≥=-Φ-=Φ=⎨⎬⎩⎭10. (14分) 一工厂生产的某种电池的寿命服从正态分布(25,100)N , 现在从这种电池中随机抽取16个, 测得平均寿命为23.8小时, 由此能否断定: 在显著性水平为0.05α=时, 该种电池的平均寿命小于25小时. ((1.96)0.975,(1.64)0.95)Φ=Φ= 解: 设X 为电池寿命, 则~(,100)X N μ.(1)假设00:25H μμ≥=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3) 由0.05α=, 确定临界值 1.64u α-=-, 使得{}0.05P U u α<-=; (4)由样本均值23.8x =, 得统计量U 的观察值00.48u ===-.(5)因为00.48 1.64u =->-,此时没有充分理由说明小概率事件{ 1.64}u <-一定发生. 所以接受原假设0H , 认为这种电池的平均寿命不小于25小时. 注: 原假设不能设为00:25H μμ<=,此时μ取不到0μ,统计量X U =就没有意义了!11. (14分)设总体X 是离散型随机变量, 其所有可能的取值为0, 1, 2, 已知2(1)EX θ=-, 2{2}(1)P X θ==-, θ为参数. 对X 取容量为10的样本如下 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2.求参数θ的矩估计和极大似然估计.解:(1) 由2(1)X θ=-, 得θ的矩估计量为12Xθ=-; 结合 1.1x =, θ的矩估计值为10.452x θ=-=.(2) 构造似然函数为11912101210(){1,1,,2}{1}{1}{2}32(1)L P X X X P X P X P X θθθ=========-,取对数ln ()ln3211ln(1)9ln L θθθ=+-+,求导数(ln ())11901d L d θθθθ=-+=-, 得θ的极大似然估计值为920θ=.2014年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(共40分, 每空5分)1. 设~(,)X B n p , ~(,)Y B m p , 且X 与Y 独立, 则X Y +~(),(p m n B +)分布;2. 设2~(,)X N μσ, 则X 的密度函数()f x =(222)(21σμσπ--x e);3. 设总体X 的方差为2σ, 12,,,n X X X 为样本, X 为样本均值, 则期望211()n i i E X X n =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑(21σn n -); 4. 设12,,,n X X X 为样本, 则统计量211n i i X n =∑的名称为(样本2阶原点矩);5. 设总体~(,1)X N μ, 12,,,n X X X 为来自该总体的样本, 则21()ni i X μ=-∑服从()(2n χ)分布;6. 一批产品中有5个正品, 3个次品, 从中任取2个, 恰有1个次品, 1个正品的概率为(2815281315=C C C );7. 样本的特性是(独立、同分布且与总体分布相同);8. 在假设检验中, 可能犯两类错误. 其中第一类错误也称为弃真, 弃真的确切含义为(当原假设是真的时，拒绝了它). 二. 计算题(60分, 每题10分)1. 假设某贪官收受一次贿赂而被曝光的概率为0.05, 到目前为止共收受80次贿赂, 假设案发前每次收受贿赂是否曝光相互独立. 试用概率说明 “多行不义必自毙”. (取20190.3520⎛⎫≈ ⎪⎝⎭)解：记i A 为事件“第i 次收受贿赂而被曝光”（1,2,,80i），---------------------2 于是案发的概率为 )(801∑=i i A P ------------- ------------- -----------------4 )(1)(1801801∏∏==-=-=i i i i A P A P----------------------6985.035.01)2019(195.0148080=-=-=-=。

一、设 X1 , X 2 ,…，X m , X m1 ,…，X mn 为来自总体 X ~N 0, 2 的一个样本， 试确定下列统计量的分布
n Xi
i 1 m n m
（ 1 ） Y1
m
2
i m 1
X
； （ 2 ） Y2
2 i
n X i 2 m Xi
i m 1 i 1 mn 2
n n 2 i 1 2 1 e 2 ) ( 2 2 ) 2 e 2 2 n xi2
xi2
n
L( 2 , X 1 , X 2 ,
Xn) (
i 1
ln( L( 2 , X 1 , X 2 , ln( L( 2 , X 1 , X 2 , d 2
xi2 n X n )) ln( 2 ) ln 2 i 1 2 2 2 X n )) n 1 n 1 n 2 i 1 ( xi 2 ) 2 2 2 4 2 2( ) 2 n i 1
s
2
c1
1 1 2 (n 1), c2 2 (n 1) n 1 2 n 1 1 2 s2
k0 :{
2
c2或
s2
2
c1}
（2） H0 : 2 1, H1 : 2 2
2 拒绝域 k0 ： (n 1)s 2 12 (n 1);22s 2 0.95 (22) 33.92; ：
m
2 i m1
X

n X i 2 m Xi
i m 1 i 1 mn 2
Y2 ~ F (m, n)
2 i
n
Xi
(3)
i 1
m
m n
m
~ N (0,1),

北 京 交 通 大 学2013~2014学年第二学期概率论与数理统计阶段测验（一）参 考 答 案一．（本题满分8分）将12本各不相同的书籍放在书架的一层上，求指定的4本书放在一起的概率． 解：设{}本书放在一起指定的4=A ，求()A P ．12本不同的书籍放在书架的一层上，有不同的放法!12种（样本点总数）．将指定的4本书看成一本，再与其它的8本书一起放，有放法!9种；再，指定的4本书有放法!4，因此事件A 含样本点数为!4!9⨯个．所求概率为 ()01818.0551!12!4!9==⨯=A P ． 二．（本题满分8分）已知甲袋中装有2个红球、5个白球；乙袋中装有4个红球、3个白球．现掷一颗均匀的骰子，若所得点数能被3整除，则从乙袋中取出一球，否则从甲袋中取出一球．⑴. 计算所取的球为红球的概率（4分）；⑵. 已知所取的球为红球，球该球是从甲袋中取出的概率（4分）． 解：设{}从甲袋中取球=A ，{}取出的球为红球=B ， ⑴. 由全概率公式，得()()()()()A B P A P A B P A P B P += 21874317232=⨯+⨯=⑵. 由Bayes 公式，得 ()()()()()()()AB P A P A B P A P A B P A P B A P ⨯+⨯⨯=21743172327232=⨯+⨯⨯=三．（本题满分8分）一实习生用同一台机器独立地制造3个同种零件，第i 个元件是不合格品的概率为11+=i p i ， ()3,2,1=i 以X 表示3个零件中合格品的个数，求{}2=X P ． 解：设{}个零件是合格品第i A i =，()3,2,1=i ．则 {}3213213212A A A A A A A A A X ⋃⋃==， 而且321,,A A A 相互独立，以及()()()43411,32311,21211321=-==-==-=A A A P所以，{}()3213213212A A A A A A A A A P X P ⋃⋃== ()()()321321321A A P A A P A A P ++=()()()()()()()()()321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=2411413221433121433221=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．四．（本题满分8分）有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯．如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次．⑴. 某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少（3分）？⑵. 某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验10次，成功3次．试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）（5分）． 解：⑴. 设{}试验成功一次=A ，则有()7014844==C C A P⑵. 设X ：试验10次成功的次数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛701,10~B X由于()473310101633.370697013-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P 因此随机事件{}6==X B 是一个小概率事件，根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理，随机事件{}6==X B 是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们可以断定此人确有区分酒的能力．五．（本题满分8分）将一个表面涂有颜色的正方体等分为1000个小正方体，从这些小正方体中任取一个．令X 表示所取的小正方体含有颜色的面数，⑴ 求X 的分布列（5分）；⑵ 求概率()1≥X P （3分）． 解：⑴ X 的取值为3,2,1,0． {}100083==X P ，{}1000962==X P ，{}10003841==X P ，{}10005120==X P ． 所以，X 的分布列为⑵ ()()111<-=≥X P X P ()01=-=X P 512.01-= 488.0.01-=．六．（本题满分8分）设离散型随机变量X 的可能取值为 ,2,1，其相应的概率分别为()!k C k X P kλ⋅==， () ,2,1=k ．其中0>λ为参数．求常数C ． 解：由 ()∑∞===11k k X P∑∞=⋅=1!k kk C λ∑∞=⋅=1!k kk C λ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=∑∞=1!0k k k C λ ()1-⋅=λe C 所以，11-=λe C ． 七．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从41=λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率． 解：X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex p xX ． 设=A “候车时间超过5分钟”，则()4554415-+∞-==≥=⎰e dx e X P p x ．设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,5~，因此所求概率为()()()()41155005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥4438.0151144545545=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---e e e ． 八．（本题满分8分）设连续型随机变量X 的分布函数为()x B A x F arctan +=， ()+∞<<∞-x ．试求：⑴. 系数A 与B ；⑵. 概率{}11<<-X P ． 解：⑴. 由()1lim =+∞→x F x ，()0lim =-∞→x F x ，得()()B A x B A x F x x 2a r c t a nlim lim 1π+=+==+∞→+∞→， ()()B A x B A x F x x 2a r c t a nlim lim 0π-=-==-∞→-∞→．解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0212B A B A ππ ，得21=A ，π1=B 所以，()x x F arctan 121π+=()+∞<<∞-x ⑵. {}11<<-X P ()()11--=F F()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1a r c t a n 1211a r c t a n 121ππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=41214121ππππ 21=九．（本题满分9分） 从6,5,4,3,2,1这6个数字中任意取出3个数字，并将其按照大小排列，得：321x x x <<，令随机变量2x X =．求随机变量X 的 ⑴ 分布律（5分）；⑵ 分布函数()x F （4分）． 解：随机变量X 的取值为5,4,3,2．从6个不同的数字中任意取出3个，有取法2036=C 种，由此得()5120412=⨯==X P ，()10320323=⨯==X P ，()10320234=⨯==X P ，()5120145=⨯==X P ． 因此随机变量X 的分布列为234551 103 103 51 X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=5154544321325120x x x x x x F ． 十．（本题满分9分）设在时间t （分钟）内，通过某路口的汽车数()t X 服从参数为t λ的Poisson （泊松）分布，其中0>λ为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为2.0，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率． 解：()t X 的分布列为(){}()tk e k t k t X P λλ-==!，() ,2,1,0=k ．因此在1=t 分钟内，通过的汽车数为 (){}λλ-==e k k X P k!1，() ,2,1,0=k ．由题设，(){}2.001===-λe X P ，所以5ln =λ．因此，(){}(){}()252425111!0521021125ln 220=-=-=⋅-==-=≥--e e X P X P λ． 十一．（本题满分9分）甲袋中有1个黑球和2个白球，乙袋中有3个白球．每次从甲、乙两个袋中各任取一球，交换后放入另一个袋中．求这样交换n 次后，黑球仍在甲袋中的概率． 解：设=n A “第n 次交换后黑球在甲袋中”，并设()n n p A P =，() ,2,1=n ． 由全概率公式，得()()()()()1111----+==n n n n n n n n A A P A P A A P A P A P p()3113211⨯-+⨯=--n n p p3131313132111+=+-=---n n n p p p 313131313131312222++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--n n p p313131313122111+++++==--- n n n p 323131313113131311111nn n n p p -+=--+=-- ⎪⎭⎫⎝⎛-+=--1113112131n n p ． 而 321=p ，代入上式，得 2113121213131121323111⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=--n n n n n p ． 十二．（本题满分9分）设随机变量()1,0~N X ，求随机变量122+=X Y 的密度函数()y p Y ．解：X 的密度函数为()2221x X e x p -=π，()+∞<<∞-x ．所以，随机变量122+=X Y 的分布函数为()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=≤+=≤=211222y X P y X P y Y P y F Y ．所以，当1≤y 时，()0=y F Y ； 当1>y 时，()⎰⎰------==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=2102212122222221212121y x y y x Y dx edx ey X y P y X P y F ππ，即 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=⎰--11222122y y dx ey F y x Y π ，对()y F Y 求导，得随机变量Y 的密度函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-⋅⋅='=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111221222212y y y ey F y p y Y Y π ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--10112141y y e y y π ．。

全国2013年1月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)五、应用题(10分)全国2013年1月高等教育自学考试 概率论与数理统计(经管类)答案1、本题考查的是和事件的概率公式，答案为C.2、解：()()(|)1()()P B AB P AB P B AB P AB P AB ⋂===()()()0.50.15(|)0.5()()1()0.7P BA P B P AB P B A P B P A P A --=====- ()()0.15(|)0.3()()()0.5P B AB P AB P AB B P A P B P B ⋂=====()()(|)1()()P A AB P AB P A AB P AB P AB ⋂=== ，故选B.3、解：本题考查的是分布函数的性质。

由()1F +∞=可知，A 、B 不能作为分布函数。

再由分布函数的单调不减性，可知D 不是分布函数。

所以答案为C 。

4、解：选A 。

{||2}{2}{2}1{2}{2}1(2)(2)1(2)1(2)22(2)P X P X P X P X P X >=>+<-=-≤+<-=-Φ+Φ-=-Φ+-Φ=-Φ 5、解：因为(2)0.20.16P Y c ===+，所以0.04c =又(2)10.80.20.02P X c d ==-==++，所以10.020.040.14d =--= ，故选D 。

6、解：若~()X P λ，则()()E X D X λ==，故 D 。

7、解：由方差的性质和二项分布的期望和方差：1512(1)()()3695276633D X Y D X D Y -+=+=⨯⨯+⨯⨯=+= ，选A8、解：由切比雪夫不等式2(){|()|}1D X P X E X εε-<>-，可得21600{78008200}{|8000|200}10.96200P X P X <<=-<>-= ，选C 。

2013～ 2014年概率论与数理统计A 卷答案一、选择填空题（共18分）1.箱中有5个白球3个红球，任取2个，则两个都是红球的概率为（ D ） A.15/28 B.13/28 C.5/28 D.3/282.设2~(,)X N μσ，则随σ增加，概率(||)P X μσ-<（ C ） A.单调增加B.单调减少 C.保持不变D.与μ有关3.设总体2123(,),,,XN u X X X σ是总体X 的样本，则以下μ的无偏估计中， 最有效的估计量是（ C ）.A.12X X -B.123121236X X X +-C. XD.123241555X X X +-4.设()0.5,()0.8P A P A B ==，且A 与B 互斥，则()P B =0.35.设随机变量X 在（1,6）服从均匀分布，则(24)P X <<=0.46.若总体2~(,)X N μσ，其中2σ未知，则对总体均值μ进行区间估计时选择的枢轴量为X t =二、计算题（共30分）1.某保险公司把投保人分成三类：“谨慎的”、“一般的”、“冒险的”，占的比例分别为20%、50%、30%。

一年中他们出事故的概率分别为0.05、0.15、0.30。

（1）求一年中投保人出事故的概率；（2）现有一投保人出了事故，求他是“谨慎的”客户的概率.解：设i A :投保人是“谨慎的、一般的、冒险的”(i=1,2,3)，B:投保人出事故 （1）112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 0.20.050.50.150.30.30.175=⋅+⋅+⋅= （2）111()(|)(|)()P A P B A P A B P B =0.20.0520.0570.17535⋅==≈2.设随机变量X（1）求()E X ； （2）求()D X .解：（1）11111()(2)01264342E X =-⋅+⋅+⋅+⋅=（2）222221111()(2)01226434E X =-⋅+⋅+⋅+⋅=2217()()()244D XE X E X ∴=-=-=3.设随机变量X 的概率密度为3,0()0,x ce x f x -⎧>=⎨⎩其他（1）求常数c ；（2）求(1)P X <. 解：（1）3301()33x x c cf x dx ce dx e +∞+∞+∞---∞===-=⎰⎰，故3c =（2）1133300(1)31x x P X e dx e e ---<==-=-⎰三、计算题（共40分）1.设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律求（1）X 的边缘分布律； （2）)1(22≤+Y X P . 解：5115(0)2481212P X ==++=， 7517(1)24241212P X ==++=X 的边缘分布律为（2）2251755(1)24824246P X Y +≤=+++= 2.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为38,01,01(,)0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其他，（1）求X 与Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否独立?(说明理由) 解：（1）01x <<时，130()(,)82X f x f x y dy xy dy x +∞-∞===⎰⎰，01y <<时，1330()(,)84Y f y f x y dx xy dx y +∞-∞===⎰⎰.2,01()0,X x x f x <<⎧∴=⎨⎩其他,34,01()0,Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其他 （2）因为()()(,)X Y f x f y f x y ⋅=，所以X 与Y 相互独立.3.设总体X 的概率密度为1,01,0(,)0,x x f x θθθθ-⎧<<>=⎨⎩其他,12,,,n X X X 是总体X 的样本，求未知参数θ的最大似然估计量. 解：似然函数为11111()(,)nnnni ii i i i L f x x x θθθθθθ--======∏∏∏，1ln ()ln (1)ln ni i L n x θθθ==+-∑，似然方程为1ln ()ln 0ni i d L n x d θθθ==+=∑ 解得1ln nii nXθ==-∑是θ的最大似然估计量。

2013—2014学年第一学期期末《统计学》课程试卷（3课时）（B卷）答案一、单项选择题（共10 小题，每题 2 分，共计20 分）1、D2、D3、C4、B5、C6、C7、C8、C9、B10、B二、判断题（共 10 小题，每题 1 分，共计10 分）1、×2、×3、×4、√5、×6、√7、×8、√9、√10、×三、简答题（共 4小题，每题6 分，共计 24 分）1、长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动。

加法模型和乘法模型（7分）2、算术平均数、中位数和众数都是分布集中趋势的测度值，都可以反映分布的一般水平，这是它们的共同点。

（2分）它们之间也有不同之处，首先，算术平均数属于数值平均数，是根据变量数列中各个变量值的具体取计算得到的，而中位数和众数属于位置平均数，是根据变量数列中各个变量值所处的位置来确定的；其次，算术平均数易受极端数值的影响，而中位数和众数则不受极端数值的影响；最后，算术平均数只用于数值型数据（定量数据），中位数可用于定序数据、定量数据，但不能用于定类数据，而众数则可用于定类数据、定序数据和定类数据。

（5分）3、共同点：它们都是非全面调查。

（2分）不同点：1、调查单位的选取方法不同。

抽样调查的样本单位是按照随机原则抽取的，典型调查的调查单位是在对总体进行初步分析的基础上有意识地选取出来的，重点调查的重点单位往往是客观存在，但在具体抽选时也存在一定的主观性；2、调查的目的不同。

抽样调查的目的在于用样本数据估计总体的数量特征；典型调查的目的在于对典型单位进行深入细致的研究，借以认识事物的发展变化规律；重点调查的目的则在于了解总体的基本情况。

（5分）4、定义：回归分析：对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定因变量和自变量之间数量变动关系的数学表达式，以便对因变量进行估计或预测的统计分析方法。

（2分）相关分析：主要任务是研究变量间相关关系放任表现形式和密切程度。

重庆大学概率论与数理统计课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 二 学期开课学院： 数统学院 课程号：10029830 考试日期：考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间： 120分钟分位数：220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==，0.975 1.96u =，(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =一、填空题（每空3分，共42分）1.已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则()P B A B ⋃= 0.25 。

2.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率为 0.602 。

3.从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。

4.一个有5个选项的考题，其中只有一个选择是正确的。

假定应 考人知道正确答案的概率为p 。

如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率为541pp +。

5.重复抛一颗骰子5次得到点数为6 的次数记为X ，则(3)P X >= 13/3888 。

6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。

7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的面积Y 的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩。

8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X YX Y N Z -=+且，则Z 的密度函数21()36z Z f --（z ）。

9.设总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n =的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453nii P X X n σσ=⎧⎫≤-≤⎨⎬⎩⎭∑= 0.97。

10.设1,210,,X X X 是来自总体2(0,)XN σ的样本，则Y =服从 t(8) 。

校训：耐劳苦、尚俭朴、勤学业、爱国家
重庆大学研究生试卷（2011 版）
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五（14 分）近年来，国内灾害频发。每次大的自然灾害来临，都牵动着亿万 人民的心，人们通过各种方式送出援助，给受灾者带去温暖、带去希望。社 会的富裕程度与人们的慈善是否直接相关呢？2008 年“5.12”汶川地震后， 中国联通公司开通了短信捐赠平台，从 5 月 15 日 20 点开始，短短 4 个小时 内接受捐赠达二百多万元。 如果用随机变量 X 表示 2008 年全国 31 个省市的 GDP（单位：亿元） ，Y 表示全国 31 个省市在该时间段内的捐赠金额（单位： 元） ，根据联通公司网上公布的该时间段内 31 个省市的捐款数据和 2009 年 《中国统计年鉴》 ， 计算得到： lxx 2380973569 ， x 10551.57 ，y 86281.16 ，
一 （ 10 分 ） 设 某 地 区 初 三 年 级 学 生 的 体 重 为 X （ 单 位 ： kg ） , 已 知 。现从中随机抽取学生 21 名学生，构成样本 X1 , X 2 , X ~ N ( 4 2, 3 6 )
封
值；3）讨论估计量 T2 ( X1 , X 2 ,
, X n ) 的有效性和相合性。
为了对该问题进行方差分析： 1） 指出该问题中的指标、因素、水平，进行方差分析应满足的前提条件； 2） 给出方差分析中的统计假设； 3） 完 成 方 差 分 析 表 ， 检 验 不 同 化 肥 下 农 产 品 产 量 有 无 显 著 性 差 异 ( 0.05 )？
方差来源 DF （自由度） S2（平方和） S 2 （均方差） 因素 A 随机误差 总和 337.167 84.678 F值
lxy 15691922961， l yy 142047135134.19 。分析：1）假设 X 与 Y 有线性相

重庆大学概率论与数理统计课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 二 学期开课学院： 数统学院 课程号：10029830 考试日期：考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间： 120分钟分位数：220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==，0.975 1.96u =，(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =一、填空题（每空3分，共42分）1.已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则()P B A B ⋃= 0.25 。

从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率为 0.602 。

从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。

4.一个有5个选项的考题，其中只有一个选择是正确的。

假定应 考人知道正确答案的概率为p 。

如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率为541pp +。

5.重复抛一颗骰子5次得到点数为 6 的次数记为X ，则(3)P X > = 13/3888 。

6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。

7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的面积Y的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ⎧<<⎪=⎨⎪⎩。

8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X YX Y N Z -=+且，则Z 的密度函数21()36z Zf --（z ）。

9.设总体2(,)X N μσ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n =的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453n i i P X X n σσ=⎧⎫≤-≤⎨⎬⎩⎭∑= 0.97。

10.设1,210,,X X X 是来自总体2(0,)XN σ的样本，则Y =服从 t(8) 。

涉及到的有关分位数：()()()()()()()()()()()()20.950.950.950.9750.9750.9752222220.9750.0250.0250.9750.950.97520.95 1.645,16 1.746,15 1.753,16 2.12,15 2.131,1628.851527.49,16 6.91,15 6.26,1 5.02,1 3.84,27.382 5.99u t t t t χχχχχχχχ=============一、设123,,X X X 是来自总体~(0,3)X N 的样本。

记()2332i 1111,32i i i X X S X X====-∑∑,试确定下列统计量的分布：（1）3113i i X =∑；（2）23119i i X =⎛⎫⎪⎝⎭∑；（3）()23113i i X X=-∑；（4X解：（1）由抽样分布定理，311~(0,1)3i i X X N ==∑(2)因311~(0,1)3i i X N =∑，故223321111~(1)39i i i i X X χ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（3）由抽样分布定理，()()()2223321131211~(2)3323i i i i S X X X X χ==-=⋅-=-∑∑（4）因()222~(0,1),~23X N S χ，X 与2S独立，故()~2X t 。

二、在某个电视节目的收视率调查中，随机调查了1000人，有633人收看了该节目，试根据调查结果，解答下列问题：（1）用矩估计法给出该节目收视率的估计量；（2）求出该节目收视率的最大似然估计量，并求出估计值；（3）判断该节目收视率的最大似然估计是否是无偏估计；（4）判断该节目收视率的最大似然估计是否是有效估计。

解：总体X 为调查任一人时是否收看，记为~(1,)X B p ，其中p 为收视率（1）因EX p =,而^E X X =，故收视率的矩估计量为^Xp =（2）总体X 的概率分布为()1()1,0,1xxf x p p x -=-=1111()(1)(1)(1)ln ()ln (1)ln(1)ln ()(1)01nniii ii i nx n x x x n X n n Xi L p p p pp p p L p nX p n X p d L p nX n X dp p p==---=∑∑=-=-=-=+---=-=-∏解得收视率p 的最大似然估计量为^Xp =现有一参量为1000的样本121000,,X X X ……，,且10001633ii X==∑则6330.6331000X ==,故收视率的极大似然估计值为0.633.（3）因E X p =，故^X p =是无偏估计（4）因()ln ()(1)1(1)d L p nX n X nX p dp p p p p -=-=---，又E X p=故收视率的最大似然估计X 是p 的有效估计。

涉及到的有关分位数：()()()()()()()()()()()()20.950.950.950.9750.9750.9752222220.9750.0250.0250.9750.950.97520.95 1.645,16 1.746,15 1.753,16 2.12,15 2.131,1628.851527.49,16 6.91,15 6.26,1 5.02,1 3.84,27.382 5.99u t t t t χχχχχχχχ=============一、设123,,X X X 是来自总体~(0,3)X N 的样本。

记()2332i 1111,32i i i X X S X X====-∑∑,试确定下列统计量的分布：（1）3113i i X =∑；（2）23119i i X =⎛⎫⎪⎝⎭∑；（3）()23113i i X X=-∑；（4X解：（1）由抽样分布定理，311~(0,1)3i i X X N ==∑(2)因311~(0,1)3i i X N =∑，故223321111~(1)39i i i i X X χ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（3）由抽样分布定理，()()()2223321131211~(2)3323i i i i S X X X X χ==-=⋅-=-∑∑（4）因()222~(0,1),~23X N S χ，X 与2S独立，故()~2X t 。

二、在某个电视节目的收视率调查中，随机调查了1000人，有633人收看了该节目，试根据调查结果，解答下列问题：（1）用矩估计法给出该节目收视率的估计量；（2）求出该节目收视率的最大似然估计量，并求出估计值；（3）判断该节目收视率的最大似然估计是否是无偏估计；（4）判断该节目收视率的最大似然估计是否是有效估计。

解：总体X 为调查任一人时是否收看，记为~(1,)X B p ，其中p 为收视率（1）因EX p =,而^E X X =，故收视率的矩估计量为^Xp =（2）总体X 的概率分布为()1()1,0,1xxf x p p x -=-=1111()(1)(1)(1)ln ()ln (1)ln(1)ln ()(1)01nniii ii i nx n x x x n X n n Xi L p p p pp p p L p nX p n X p d L p nX n X dp p p==---=∑∑=-=-=-=+---=-=-∏解得收视率p 的最大似然估计量为^Xp =现有一参量为1000的样本121000,,X X X ……，,且10001633ii X==∑则6330.6331000X ==,故收视率的极大似然估计值为0.633.（3）因E X p =，故^X p =是无偏估计（4）因()ln ()(1)1(1)d L p nX n X nX p dp p p p p -=-=---，又E X p=故收视率的最大似然估计X 是p 的有效估计。

第⼆学期概率论与数理统计试卷参考答案重庆⼤学概率论与数理统计课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年第⼆学期开课学院：数统学院课程号：10029830 考试⽇期：考试⽅式：开卷闭卷其他考试时间： 120分钟分位数：220.0050.975(39)20,(39)58.12χχ==，0.975 1.96u =，(2.68)0.9963,(1.79)0.9633Φ=Φ=，0.025(35) 2.0301t =⼀、填空题（每空3分，共42分）1.已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P AB =，则()P B A B ?= 0.25 。

从⼀副扑克牌（52张）中任取3张（不重复），则取出的3张牌中⾄少有2张花⾊相同的概率为 0.602 。

从1到9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取⼀个数，则取出的3个数之积能被10整除的概率为 0.214 。

4.⼀个有5个选项的考题，其中只有⼀个选择是正确的。

假定应考⼈知道正确答案的概率为p 。

如果他最后选对了，则他确实知道答案的概率为541pp +。

5.重复抛⼀颗骰⼦5次得到点数为 6 的次数记为X ，则(3)P X > = 13/3888 。

6.设X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则(4)P X ==0.0902 。

7.设圆的直径X 服从区间（0,1）上的均匀分布，则圆的⾯积Y的密度函数为1//4()0 ,Y y f y elseπ?<。

8.已知(,)(1,9;0,16;0.5) ,32X YX Y N Z -=+且，则Z 的密度函数21()36z Zf --（z ）。

9.设总体2(,)X N µσ，其中2σ已知，从该总体中抽取容量为40n =的样本1,240,,X X X ，则()222110.5 1.453n i i P X X n σσ=??≤-≤∑= 0.97。

10.设1,210,,X X X 是来⾃总体2(0,)XN σ的样本，则Y =服从 t(8) 。

2013—2014学年第一学期《数理统计》期末试卷专业班级数学与应用数学2011级班姓名学号开课系室理学院应用数学系考试日期 2014-1-9页号一二三四五六七八总分本页满分181215121012165100本页得分阅卷人注意事项：1．本试卷正文共8页。

2．反面及附页可作草稿纸。

3．答题时请在试卷正面指定位置答题，注意书写清楚，保持卷面清洁。

4. 试卷本请勿撕开，否则作废。

本试卷可能用到的分位数如下：；2220.950.9750.95(4)9.4877,(1) 5.0239,(1) 3.8415χχχ===。

0.950.9750.95(1,10) 4.96,(1,8)7.57,(1,8) 5.32F F F ===一、填空题 （本题满分18分,每空3分）1、设来自总体的样本值为，则总体X 的经X (3,2,1,2,0)-验分布函数在处的值为_____________。

5()F x 0.8x =2、设来自总体的一个样本为，为样本均值。

则(1,)B θ12,,,n X X X X ___________。

()Var X =3、设是来自总体的简单随机样本，112,,,,...,m m m X X X X+ 2(0,)N σ则统计量服从的分布为__________。

mT =4、设为来自总体的样本，为未知参数，则的矩法1,,n X X (0,)U θθθ估计量为____________________。

5、设为来指数分布的简单随机样本，为未知参数，12,,,n X X X ()Exp λλ则服从自由度为_________的卡方分布。

12ni i X λ=∑6、为来自正态分布的简单随机样本，均未12,,,n X X X 设2(,)N μσ2,μσ知，分别为样本均值和样本无偏方差，则检验假设2,X S 的检验统计量为，在显著性水平0010::H VS H μμμμ=≠t =下的拒绝域为_______________________。

概率论与数理统计A 卷一、单项选择题(每小题2分，共20分)1．设A 、B 为两事件，已知P (B )=21，P (A ⋃B )=32，若事件A ，B 相互独立，则P (A )=( )A ．91B ．61C ．31D ．21 2．对于事件A ，B ，下列命题正确的是( ) A ．如果A ，B 互不相容，则A ，B 也互不相容 B ．如果A ⊂B ，则B A ⊂ C ．如果A ⊃B ，则B A ⊃D ．如果A ，B 对立，则A ，B 也对立3．每次试验成功率为p (0<p <1)，则在3次重复试验中至少失败一次的概率为( ) A ．(1-p )3 B ．1-p 3C ．3(1-p )D ．(1-p )3+p (1-p )2+p 2(1-p )4．已知离散型随机变量X则下列概率计算结果正确的是( ) A ．P (X =3)=0 B ．P (X =0)=0 C ．P (X >-1)=1D ．P (X <4)=15．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率P =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+<32b a X ( )A ．0B ．31C ．32 D ．1A ．(51，151)B ．(151，51)C ．(101，152) D ．(152，101) 7．设(X ,Y )的联合概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧≤≤≤≤+,,0,10,20),(其他y x y x k 则k =( )A ．31B ．21 C ．1D ．38．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X +10的方差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．149．设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P (|X -2|≥3)≤( )A ．91B ．92C ．31D ．94 10．由来自正态总体X ～N (μ，22)、容量为400的简单随机样本，样本均值为45，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是(u 0.025=1.96，u 0.05=1.645)( ) A ．(44，46)B ．(44.804，45.196)C ．(44.8355，45.1645)D ．(44.9，45.1)二、填空题(每小题2分，共30分)11．对任意两事件A 和B ，P (A -B )=______．12．袋中有4个红球和4个蓝球，从中任取3个，则取出的3个中恰有2个红球的概率为______.13．10个考签中有4个难签，有甲、乙2人参加抽签(不放回)，现甲先抽，乙次之，设A ={甲抽到难签}，B={乙抽到难签}．则P (B )=______．14．某地一年内发生旱灾的概率为31，则在今后连续四年内至少有一年发生旱灾的概率为______.15．在时间[]T ,0内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知P (X =4)=3P (X =3)，则在时间[]T ,0内至少有一辆汽车通过的概率为______．16．设随机变量X ～N (10，σ2)，已知P (10<X <20)=0.3，则P (0<X <10)=______．则P {X =Y }的概率为______．18．设随机变量(X ，Y )的联合分布函数为F (x ，y )=⎩⎨⎧>>----.,00,0),1)(1(43其他y x e e y x ，则(X ，Y )关于X 的边缘概率密度f X (x )=______．19．设随机变量X ～B (8，0.5)，Y=2X -5，则E (Y )=______．20．设随机变量X ，Y 的期望方差为E (X )=0.5，E (Y )=-0.5，D (X )=D (Y )=0.75，E (XY )=0，则X ，Y 的相关系数ρXY =______．21．设X 1，X 2，…，X n 是独立同分布随机变量序列，具有相同的数学期望和方差E (X i )=0，D (X i )=1，则当n 充分大的时候，随机变量Z n =∑=ni iXn11的概率分布近似服从______(标明参数)．22．设X 1，X 2，…X n 为独立同分布随机变量，X i ～N (0，1)，则χ2=∑=ni iX12服从自由度为______的χ2分布．23．设X l ，X 2，X 3为总体X 的样本，3214141ˆCX X X ++=μ，则C =______时，μˆ是E (X )的无偏估计． 24．设总体X 服从指数分布E (λ)，设样本为x 1，x 2，…，x n ，则λ的极大似然估计λˆ=______. 25．设某个假设检验的拒绝域为W ，当原假设H 0成立时，样本(x l ，x 2，…，x n )落入W 的概率是0.1，则犯第一类错误的概率为______．三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)26．100张彩票中有7张有奖，现有甲先乙后各买了一张彩票，试用计算说明甲、乙两人中奖的概率是否相同． 27．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x f 试求E (X )及D (X )．四、综合题(每小题12分，共24分)28．已知某种类型的电子元件的寿命X(单位：小时)服从指数分布，它的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,6001)(600x x ex f x某仪器装有3只此种类型的电子元件，假设3只电子元件损坏与否相互独立，试求在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率．29．设随机变量X ，Y 相互独立，X ～N (0，1)，Y ～N (0，4)，U=X +Y ，V=X -Y ， 求(1)E (XY )；(2)D (U )，D (V )；(3)Cov(U ，V )． 五、应用题(10分)30．某食品厂对产品重量进行检测。

3 用于显示时间序列数值型数据，以反映事物发展变化的规律和趋势 的图是（ ）。 A．直方图 B．箱线图 C．茎叶图 D．线图 【答案】D 【解析】如果数值型数据是在不同时间上取得的，即时间序列数据，则 可以绘制线图。线图主要用于反映现象随时间变化的特征。
4 一批产品中有10件产品，其中4件不合格品，6件合格品。从这批产 品中连续抽取两件产品，抽取后不放回，则两次抽到的不合格品的概率 为（ ）。 A．0.7 B．0.4 C．0.133 D．0.36 【答案】C 【解析】在不放回抽样的前提下，两次抽到不合格品的概率为：P＝ 4/10×3/9＝0.133。
B．（60，80）这个区间可能包含也可能不包含全班同学平均考试成绩 的真值；
C．如果做了100次抽样，大概有95次找到的区间包含真值，有5次找到 的区间不包含真值；
D．有95%的区间包含总体参数的真值，有5%的区间可能不包含总体参 数的真值。
【答案】C
【解析】由95%的置信区间指用同样方法构造的总体参数的多个区间 中，有95%的区间包含该总体参数，即在100个样本构造的总体参数的 100个置信区间中，有95个的区间包含了总体参数的真值。而对于一个 特定的区间来说，它是否包含参数的真值的概率为0或1。
C．没有充分证据说明该企业具有本科学历的职工不超过40%；
D．该企业具有本科学历的职工不超过40%。
【答案】B
【解析】假设检验结果拒绝原假设，即根据样本信息有充分理由证明原 假设不成立，故接受备择假设，即有充分证据证明该企业具有本科学历 的职工超过了40%。
13 某质检部门从受检的一批食品中随机抽取了25袋，以分析每袋重量 是否合格。已知产品的重量服从正态分布，且标准差为10克，样本均值 为105.36克，则该批产品平均重量在置信水平为95%的置信区间的长度 近似为（ ）。

X （4）分析随机变量 S
24 的分布。
2
二 （ . 20 分） 设总体分布 X 的密度函数为 f x; c x 未知，求 （1）参数 的矩估计量 ˆ1 ； 1 ˆ ； （2）参数 g 的极大似然估计 g ˆ 无偏性，有效性和相合性。 （3）试分析 g
4
四、某公司的考勤员试图证实星期一的缺勤是其他四个工作日缺勤的两倍，已有三 月的缺勤记录如下表所示： 星期 缺勤数 给定显著水平 一 二 304 176 ，请用检验证实。 三 139 四 141 五 130
五、(20 分)合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度 y 对丝的质量是很重要的因素。如 由生产记录得相关数据 ( xi , yi ) ，i 1,2,...,10 , 今发现它与电流的周波 x 有密切的关系， 计算得到 x 49.61 ， y 16.86 ， l xx 1.989 ， l xy 0.674 l yy 0.244 。 （1）求第一导丝盘的速度 y 与电流的周波 x 的经验回归直线方程； （2）在显著水平 0.05 下，检验 y 与 x 是否有显著的线性关系； （3）求 ，并求回归系数 1 的置信度为 95% 的置信区间。
六、设组观测数据(xi , yi )(i =1,2,…, n) 满足 yi =β0+β1(x- x ) +εi ， 1 n εi ~ N (0,σ 2) (i =1,2,…, n)（其中 x= X i ）且 ε1,ε2,…,εn 相互独立。 n 1 ˆ , ˆ； (1) 求系数 β0，β1 的最小二乘估计量
2 2 2 (1)当 n=17 时，求常数 k 使得 P( X Y 1 2 k S X SY 2S X ,Y ) 0.95