2018届广东省中山市高三第一学期期末统一考试理科数学试题及答案

广东省中山市2017-2018学年高三上学期第五次阶段测试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =--<，(){}|11B x y n x =-，则()R A B = ð（ ） A ．()12， B ．[)12， C ．()11-， D ．(]12， 2.已知复数()1z ai a R =+∈（i 是虚数单位），3455z i z =-+，则a =（ ） A ．2 B ．2- C ．2± D ．123.设函数()()22cos 10f x x ωω=->，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得图象与原图角重合，则ω的最小值等于（ ）A ．1B ．3C ．6D ．94.设31log 4a =，0.313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(22log log c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a b c << C.c a b << D ．a c b << 5.在ABC ∆中，1AB =，3AC =，60B =︒，则cos C =（ ）A ．56-B ．56C. D6.已知数列{}n a 满足11a =，()122n n a a n n N -+=≥∈，，则数列{}n a 的前6项和为（ ） A ．63 B ．127 C.6332 D ．127647.已知函数()53353f x x x x =---+，若()()26f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1-∞，B ．()3-∞， C. ()1+∞， D ．()3+∞， 8.已知()3226f x x x m =-+（m 是常数）在[]22-，上有最大值3，那么些函数在[]22-，上的最小值为（ ） A ．37- B ．29- C.5- D ．11-9.已知平形四边形ABCD 的对角线分别为AC BD ，，且2AE EC =，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则（ ）A ．151212FE AB AD =--B ．151212FE AB AD =-C. 511212FE AB AD =- D ．511212FE AB AD =--10.下列函数中，在区间()01，上单调递增的有①()32x f x x =-；②()2ln x f x x =；③()2243f x x x =-++．（ ） A ．0个 B ．1个 C.2个 D ．3个 11.下列命题中是真命题的为（ ）A ．“存在02000sin 1x x R x x e ∈++<，”的否定是“不存在02000sin 1x x R x x e ∈++<，”B ．在ABC ∆中，“222AB AC BC +>”是“ABC ∆为锐角三角形”充分不必要条件 C.任意31x x N ∈>，D ．存在002x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，000sin cos tan x x x +=12.若偶函数()y f x x R =∈，，满足()()2f x f x +=-，且[]02x ∈，时，()23f x x =-，则方程()sin f x x =在[]1010-，内的根的个数为（ ） A ．12 B ．8 C.9 D ．10 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.()1sin 7πα-=，α是第二象限角，则tan α= ． 14.数列{}n a 的前n 项和n S ，12a =，13n n a a +-=，若57n S =，则n = ．15.已知函数()31x f x ae x =-+的图象在点()()00f ，处的切线方程为y x b =+，则b = ．16.已知函数()()()ln 02ln x x e f x x x e ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==则a b c ++的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，660S =，且1a ，6a ，21a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足()1n n n b b a n N ++-=∈，且13b =，求数列{}n b 的通项公式．18.（本小题满分12分）已知函数()()21cos cos 042f x x x x ωωωω=⋅-<<且13f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若在263ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内函数()y f x m =+有两个零点，求实数m 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知函数()22f x x ax b =++，[]11x ∈-，． （Ⅰ）用a b ，表示()f x 的最大值M ； （Ⅱ）若2b a =，且()f x 的最大值不大于4，求a 的取值范围．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c ，，分别为内角A B C ，，的对边，AM 是BC 边上的中线，G 是AM上的点，2AG GM =．（Ⅰ）若ABC ∆的内角A B C 、、满足sinA :sinB:sinC 2，求sin C 的值（Ⅱ）若222b c bc a ++=，ABC S ∆=AG 取到最小值时，求b 的值21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x a x =+ （Ⅰ）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()()2g x f x x=+，在[)1+∞，上是单调函数，求实数a 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mf x x x=+，()32g x x x x =+-． （Ⅰ）若3m =，求()f x 的极值；（Ⅱ）若对于任意的s ，122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，都有()()110f s g t ≥，求m 的取值范围．广东省中山市2017-2018学年高三上学期第五次阶段测试理数试题答案一、选择题1-5:BBBDD 6-10:CAACC 11、12：DD 二、填空题13. 14.6 15.5 16.2122e e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，【解析】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查考生的数形结合思想、转化与化归思想及观察能力，重在考查特殊与一般数学思想方法的应用，作出函数()()()ln 02ln 0x x e f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩的大致图象，如图所示．由题意，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==，可知不妨设a b c <<，则01a <<，1b e <<．双()()()ln 01lnx 12ln x x x e x x e -<<⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩，所以ln ln a b -=，即1ab -，1b a =，同理ln 2ln a c -=-，即2e a = ，2c ae =．所以()22111a b c a ae e a a a ++=++=++，又01a <<，1b e <<，1b a =，所以11a e<<，令函数()()21111g x e x x x e ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，显然在区间11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()()11g g x g e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，从而2122e a b c e e+<++<+三、解答题17.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d 则()()1211161560205a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得125d a =⎧⎨=⎩ ∴23n a n =+．……………………………………………………………………………………………5 （Ⅱ）由1n n n b b a +-=,所以()112n n n b b a n a N +---=≥∈，当2n ≥时，()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()()121111432n n a a a b n n n n --=+++=--++=+ (9)故()2233x kx k Z ωππ+=+∈，()22233x kx k Z ωπ=+∈，故()13k k Z ∈=+∈． 因为04ω<<，用户1ω=，即()()cos 2sin 236x f x x f x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭或，……………………6分（Ⅱ）由()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知()y f x m =+在63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在233x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，……9分又6x x =-时，1y m =+，3x π=时，1y m =-+，23x x =时，12y m =+．由题意知1102m m -+<≤+，∴112m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，……………………………………………………………………12分19.解：（Ⅰ）()()22f x x a b a =++-图角关于直线x a =-对称．且增区间为[]a -+∞，，减区间为(]a -∞-，，又[]11x ∈-， …………………………………………3分 ∴0a -≤，0a ≥时，()112M f a b ==++ 当0a ->，0a <时，()112M f a b =-=-+∴120120.a b a M a b a ++≥⎧=⎨-+<⎩，，，……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）当0a ≥时，2124M a a =++≤，2230a a +-≤，01a ≤≤．……………………………………9分 当0a <时，2124M a a =-+≤，2230a a --≤，10a -≤≤．…………………………………………11分 ∴11a -≤≤，即[]11a ∈-，．………………………………………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）∵sinA :sainB:sinC 2=，∴由正弦定理得::2a b c =∴222c a b =+，故sin 1C =……………………………………………………………………………………1分（Ⅱ）依题意，2AG GM = ，故23AG AM =，故3AB AC AG += …………………………………………5分由222b c bc a ++=，得2221cos 22b c a A bc +-==-，故sinA =6分又1sin 2ADC S bc A ∆==12lx =；………………………………………………………………………7分因为2AG GM = ，3AB AC AG +=．故()22222222412499993AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AG +++⋅+⋅-==≥== …………………10分当且仅当b c ==11分故当AG 取到最小时，b 的值为．………………………………………………………………………12分 21.（Ⅰ）()2'2f x x x=-，令()'0f x >，得1x >；令()'0f x <，得01x <<， 所以()f x 的单调递增区间是()1∞，，()f x 的单调递区间是()01，． 若函数()g x 为[)1+∞，上的单调增函数，则()'0g x ≥在[)1+∞，上恒成立， 即222a x x ≥-在[)1+∞，上恒成立，设()222x x xϕ=-， ∵()x ϕ在[)1+∞，上单调递减， ∴()()max 10x ϕϕ==，∴0a ≥；②若函数()g x 为[)1+∞，上的单调函数，则()'0g x ≤在[)1+∞，上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围[)0+∞，． 22.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，，3m =时， ()3ln f x x x =+，()22313'x f x x x x-=-+=，()'30f =， ∴3x >，()'0f x >，()f x 是增函数，03x <<，()'0f x <，()f x 是减函数．∴()f x 有极小值()31ln3f =+，没有极大值．……………………………………………………5分 （Ⅱ）()32g x x x x =+-，()2'321g x x x =+-当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()'0g x >，∴()g x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调递增函数，()210g =最大，………………7分对于任意的s ，122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．()()110f s g t ≥恒成立，即对任意122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()lnr 1m f x x =+≥恒成立，∴ln m x x r ≥-，…………9分 令()ln h x x x r =-，则()'1ln 1ln h x x r =--=-． ∴当1x >时，()'0h x <，当01x <<时，()'0h x >， ∴()h x 在(]01，上是增函数，在[)1+∞，上是减函数，当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()h x 最大值为()11h =，…………………………………………………………………11分∴1m ≥即[)1m ∈+∞，．………………………………………………………………………………………12分。

中山市高三级2018学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x =-≤≤,{}2430N x x x =-+>,则M N ⋂=（ ）A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于( )A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=A ．36B ．42C ．45D ．635．在某次测量中得到的A 样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差6．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ）A.m 2225B ．m 225C ．m 250D ．m 3507．如图，定义某种运算a S b =⊗，运算原理如右图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．11B ．13C ．8D ．48．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．69．已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当(0,10]x ∈时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( )A ．11B ．10C ．9D ．810．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ．⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

广东省中山市2017-2018学年高三上学期第六次阶段测试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合()(){}250M x x x =-+<，(){}ln 1N x y x ==-，则M N = （ ） A ．{}51x x -<< B ．{}52x x -<< C ．{}12x x <<D ．{}21x x -<<2.已知()34i 12i z -=+，则复数z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．15B ．15-C ．25D ．25-3.已知角α的终边经过点()1,3-，则tan 2α=（ ） A ．12-B ．12C ．34D ．34-4.已知()f x 在R 上是奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()47f f +=（ ）A ．1B ．1-C ．2-D ．3-5.已知抛物线24x y =的焦点为F ，直线l ：1y x =+交抛物线于A ，B 两点，AF FB >，则AF FB=（ ）A ．32B ．52C ．2D ．36.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．107.已知3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．35-B ．45-C ．35D ．458.5位同学将分别到A 、B 、C 三个地方旅游，每个地方至少去一位同学，且甲只能选择A 地，则不同的旅游方案有（ ） A ．96种B ．80种C ．64种D ．50种9.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（A ，0ω>，π2ϕ<），相邻对称中心之间的距离为π2，当5π12x =时，()f x 取得最小值，则（ ）A ．()()()110f f f <-<B ．()()()011f f f <<-C ．()()()101f f f -<<D ．()()()101f f f <<-10.已知函数()()log 41a f x x =+-（0a >，1a ≠）的图像恒过定点A ，若直线2x ym n+=-（m ，0n >）也经过点A ，则3m n +的最小值为（ ）A ．16B ．8C．112+ D ．1411.已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作任一条渐近线的垂线，垂足为点A ，若点B 在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，且22F A AB =，则C 的渐近线方程为（ ） A．y = B ．2y x =± C ．3y x =±D．y =12.已知函数()32221,0,63,0x ax x f x x x a x ⎧--<⎪=⎨-++≥⎪⎩．有且只有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()3,0-C ．()3,6-D ．()1,2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.边长为2的等边ABC ∆中，D 为AC 的中点，2AE EB =，则CE BD = ___________．14.()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为___________．15.已知x ，y 满足条件10,20,220,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则x z y =的取值范围是___________．16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 02b a B c --=，272a bc =，bc >，则tan B =___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且2221nn n S a S =-（2n ≥）．（Ⅰ）证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）若21nn S b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）若向量),sin a x x ωω=，()cos ,sin b x x ωω=，其中，0ω>，记函数()12f x a b =- ，若函数()f x ．（1）求()f x 的表达式；（2）设ABC ∆三内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，若3a b +=，c =()1f C =，求ABC ∆的面积．19.（本小题满分12分）某企业对其一批产品中的部分产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计产品中该物质含量的平均数及方差（同一组数据用该区间中点值作代表）； （Ⅱ）该批产品的级别和利润如下表：从该批产品中连续放回地抽取2件，设这2件产品的利润为X 元，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为32y x =+相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点()2,0A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值（O 为坐标原点）．21.（本小题满分12分）已知()212f x x =，()ln g x a x =（0a >）． （1）求函数()()()F x f x g x =的极值；（2）若函数()()()()1G x f x g x a x =-+-在区间1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有两个零点，求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（其中α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅰ）若A ，B 为曲线1C ，2C 的公共点，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）若A ，B 分别为曲线1C ，2C 上的动点，当AB 取最大值时，求AOB ∆的面积．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a =--，()2g x x m =-+（m ∈Z ）若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个，为3-． （Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若()f x 的图象恒在()12g x 图象的上方，求实数a 的取值范围．广东省中山市2017-2018学年高三上学期第六次阶段测试理数试题答案（参考）一、选择题1.A2.D3.C4.B5.D6.C7.B8.D9.A 10.B 11.B 12.C 二、填空题13.2- 14.30 15.1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.2三、解答题17.本题考查等差数列的概念性质，通项公式和裂项求和，考查运算求解能力．（Ⅱ）由（Ⅰ）得()1111221n n n S S =+-⨯=-，所以121n S n =-，()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ ．…………………………………（12分） 18.解：（Ⅰ）),sin a x x ωω=，()cos ,sin b x x ωω=()211cos sin sin 2226f x a b x x x x πωωωω⎛⎫∴=-=+-=- ⎪⎝⎭由题意可知其周期为π，故1ω=，则()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（Ⅱ）由()1f C =，得sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0C π<< ，112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，解得3C π= 又3a b +=，c =2222cos3c a b ab π=+-，()233a b ab ∴+-=，即2ab =，由面积公式得ABC ∆面积为1sin 2ab C =19.本题考查统计与概率的基础知识，考查考生利用频率分布直方图分析问题的能力，考查考生对频率的理解与计算能力，考查考生对事件的关系，运算的理解以及利用简单的事件表达较为复杂的事件的能力，考查考生对概率运算性质的理解，掌握及实际应用能力．解：（Ⅰ）平均数650.1750.2850.4950.384x =⨯+⨯+⨯+⨯=，方差()()()()2222265840.175840.285840.495840.389s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．……（5分）（Ⅱ）由频率分布直方图得一件产品获得的利润为50元，100元，150元，200元的概率分别是0.1，0.2，0.4，0.3，X 的可能取值有100，150，200，250，300，350，400，()21000.10.01P X ===， ()15020.10.20.04P X ==⨯⨯=， ()22000.220.10.40.12P X ==+⨯⨯=， ()25020.10.320.20.40.22P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()23000.420.20.30.28P X ==+⨯⨯=， ()35020.40.30.24P X ==⨯⨯=， ()24000.30.09P X ===，所以X 的分布列为：1000.011500.042000.122500.223000.28EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3500.244000.09290+⨯+⨯=．…………………………………………………………………（12分）20.本题主要考查椭圆的概念，标准方程以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的思想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力． 解：（Ⅰ）由题意知，离心率c e a ==，所以c =，b =， 所以椭圆方程为2223x y a +=，将2y x =+与其联立得22412120x x a ++-=，由()221244120a ∆=-⨯⨯-=，得a =1b =，所以椭圆C 的方程为2213x y +=．………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）设线段AP 的中点为D ，因为BA BP =，所以BD AP ⊥， 由题意知直线BD 的斜率存在，设()00,P x y （00y ≠）， 则点D 的坐标为002,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭， 且直线AP 的斜率002AP y k x =-， 所以直线BD 的斜率为0021AP x k y --=， 所以直线BD 的方程为00002222y x x y x y -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0x =，得2200042x y y y +-=，则2200040,2x y B y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由220013x y +=，得220033x y =-，所以200210,2y B y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以四边形OPAB 的面积为2000211122222OPAB OPA OABy S S S y y ∆∆--=+=⨯⨯+⨯⨯2000002112222y y y y y +=+=+≥=，当且仅当00122y y =，即012y =±时，等号成立．…………………………………………（12分）21.【答案】（1）()()()21ln 2F x f x g x ax x ==（0x >） ()11ln ln 22F x ax x ax ax x ⎛⎫'∴=+=+ ⎪⎝⎭由()0F x '>得12x e ->，由()0F x '<，得120x e -<<()F x ∴在120,e -⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在12,e -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，()12min4aF x F e e -⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，()F x 无极大值．（2）()()21ln 12G x x a x a x =-+-()()()11x a x aG x x a x x+-'∴=-+-= 又0a >，1x e e <<，易得()G x 在1,1e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在[)1,e 上单调递增， 要使函数()G x 在1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有两个零点，需()()10100G e G G e ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩，即()2211021102102a a e e a e a e a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩，22212212222e a e e a e e a e -⎧>⎪+⎪⎪∴<⎨⎪⎪->⎪-⎩，2211222e a e e -∴<<+，即a 的取值范围是2211,222e e e -⎛⎫⎪+⎝⎭．22.本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查考生对直线的参数方程，圆的极坐标方程，直线的极坐标方程的理解和应用，不仅考查考生的逻辑思维能力，而且考查考生的运算求解能力．解：（Ⅰ）消去参数α得曲线1C 的普通方程1C ：2220x y x +-=，曲线2C ：4sin ρθ=化为直角坐标方程得2C ：2240x y y +-=，两式相减得420y x -=，即为直线AB 的方程，故直线AB 的斜率为12．…………………（5分） （Ⅱ）由1C ：()2211x y -+=知曲线1C 是以()11,0C 为圆心，半径为1的圆； 由2C ：()2224x y +-=知曲线2C 是以()20,2C 为圆心，半径为2的圆．因为1122AB AC C C BC ≤++，所以当AB 取最大值时，圆心1C ，2C 在直线AB 上， 所以直线AB （即直线12C C ）的方程为22x y +=． 因为O 到直线AB的距离为d ==又此时12123AB C C =++=+ 所以AOB ∆的面积为(1312S ==．…………………………………（10分） 23.本题考查不等式的基本性质，考查绝对值不等式的解法和参数的取值范围． 解：（Ⅰ）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤， 所以1122m m x ---+≤≤． 因为不等式的整数解为3-，则11322m m ---+≤-≤， 解得57m ≤≤，又不等式仅有一个整数解3-，所以6m =．………………………………（5分） （Ⅱ）因为()f x 的图象恒在函数()12g x 的上方，故()()102f xg x ->， 得213a x x <-++对任意x ∈R 恒成立．设()213h x x x =-++，则()31,3,5,31,31,1,x x h x x x x x --≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪+>⎩作出()h x 图象得出当1x =时，()h x 取得最小值4，故当4a <时，()f x 的图象恒在()12g x 图象的上方， 即实数a 的取值范围是(),4-∞．………………………………………………………………（10分）。

中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合},2|{2R x x x x A ∈-==，},1{m B =，若B A ⊆，则m 的值为（ ）A ． 2B ． -1C ．-1或2D ．2或22.若复数iaiz -+=21（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ． 2 B ．21 C ． 21- D ．-23.一名法官在审理一起盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，乙说：“我没有作案，是丙偷的”，丙说：“在甲和乙中有一个人是罪犯”，丁说：“乙说的是事实”，经调查核实，这四人中只有一人是罪犯，并且得知有两人说的是真话，两人说的是假话，由此可判断罪犯是（ ）A ．甲B ． 乙C ． 丙D ． 丁 4. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果s 的值为（ ） A ． 0 B ．23 C. 3 D ．23- 5. 若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+00224y x y y x ，若y x z 2+=，则z 的最大值是（ ）A ． 1B ． 4 C. 6 D ．86. 李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等. 其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ）A ．10步，50步B ．20步，60步 C. 30步，70步 D ．40步，80步7.已知实数22ln =a ，33ln =b ，55ln =c ，则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．b a c << C. a b c << D ．c a b << 8. 已知函数)(x f 与)('x f 的图像如图所示，则函数xe xf xg )()(=的递减区间为（ ） A ． )4,0( B ．)4,34(),1,(-∞ C. )34,0( D ．),4(),1,0(+∞9.函数14)62sin(2-+=xx x y π的图像大致为（ ） A ． B ．C. D ．10. 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11B BCC 内的动点，且//1F A 平面AE D 1，则F A 1与平面11B BCC 所成角的正切值t 构成的集合是（ ）A ．}32552|{≤≤t t B ．}2552|{≤≤t t C. }322|{≤≤t t D ．}222|{≤≤t t 11. 已知131<≤k ，函数k x f x --=|12|)(的零点分别为21,x x )(21x x <，函数12|12|)(+--=k k x g x 的零点分别为43,x x )(43x x <，则)(1324x x x x +-+的最小值为（ ） A ．1 B ．3log 2 C. 6log 2 D ．3 12. 已知函数)0(cos4cos sin 3)(2>-=ωωωωx x x x f ，其周期为π，21)(=θf ，则=-++)4()2(πθπθf f （ ） A ． 25- B ．29- C. 211- D ．213-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知54)4cos(=+πα，则=α2sin ． 14.已知)2,1(-=a ，)2,0(=+b a ，则=||b ．15.某班运动队由足球队员18人、篮球队员12人、乒乓球队员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n 的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为1+n 时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n 为 ．16.数列}{n a 的前n 项和n S ，已知511=a ，且对任意正整数n m ,，都有n m n m a a a =+，若对任意*N n ∈，t S n <恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列}{n a 的前n 项和n S ，且25655=+=a a S . （1）求}{n a 的通项公式；（2）若不等式)4()1(2782+->++n n n a k n S 对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围. 18. 如图，在ABC ∆中，2=AB ，31cos =B ，点D 在线段BC 上. （1）若43π=∠ADC ，求AD 的长； （2）若DC BD 2=，ACD ∆的面积为324，求CAD BAD ∠∠sin sin 的值.19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）. （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？20. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤.（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（3≤）项的概率. （2）如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向090，在汽车边缘不压射线AC 与射线BD 的前提下，将汽车驶入指定的停车位，根据经验，学员甲转向090后可使车尾边缘完全落在线段CD 上，且位于CD 内各处的机会相等，若m BD CA 3.0==，m AB 4.2=. 汽车宽度为m 8.1，求学员甲能按教练要求完成任务的概率.21. 如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，060=∠DAB ，DC AD ⊥，BC AB ⊥，⊥QD 平面ABCD ，QD PA //，1=PA ，2===QD AB AD .（1）求证：平面⊥PAB 平面QBC ； （2）求该组合体QPABCD 的体积. 22. 已知函数R a x ax x x f ∈+-=,21ln )(2. （1）若0)1(=f ，求函数)(x f 的单调递减区间；（2）若关于x 的不等式1)(-≤ax x f 恒成立，求整数a 的最小值中山市高三级2017—2018学年度第一学期期末统一考试数学（文科）参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 AABBCBBDDDBD13. 725-14. 17 15. 6 16. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17.解：（Ⅰ）设公差为d ，则11154545252a d a d a d ⨯+=+++=，∴1 1 3a d =-=，． ∴{}n a 的通项公式为34n a n =-．（Ⅱ）()312n n n S n -=-+，228273327n S n n n ++=++，43n a n +=；则原不等式等价于()911nk n n-<++对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，91k n n ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； 当n 为偶数时，91k n n <++恒成立…6分又∵917n n++≥，当且仅当3n =时取等号， 所以当n 为奇数时，91n n++的最小值为7，当n 为偶数时，4n =时，91n n ++的最小值为294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范是2974k -<< 18．解:（Ⅰ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin 3B =． 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B=∠，又2AB =，4ADB π∠=，22sin 3B =．∴83AD =．（Ⅱ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，3ABC ADC S S ∆∆=，又423ADC S ∆=，∴42ABC S ∆=， ∵1sin 2ABCS AB BC B ∆=⋅，∴6BC =， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠． ∴42AC =， ∵1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 且2ABD ADC S S ∆∆=， ∴sin 242sin BAD AC CAD AB∠=⋅=∠19． 解: (1)由弧长计算及扇环面的周长为30米，得()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+，100<<x …3分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当x ＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． (注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)20. 解: (1)根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有情况如下：学员编号 补测项目 项数 （1）（2） ②③⑤ 3 （1）（4） ②③④⑤ 4 （1）（6） ③④⑤ 3 （1）（9） ①③⑤ 3 （2）（4） ②④⑤ 3 （2）（6） ②③④⑤ 4 （2）（9） ①②⑤ 3 （4）（6） ②③④ 3 （4）（9） ①②④⑤ 4 （6）（9）①③④⑤4由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，由古典概型可知，所求概率为=10635. (2)在线段CD 上取两点B '，D '，使8.1='='D D B B m ，记汽车尾部左端点为M ，则当M 位于线段B A '上时，学员甲可按教练要求完成任务，而学员甲可以使点M 等可能地出现在线段D C '上，根据几何概型，所求概率212.16.08.13.024.28.14.2==-⨯+-=''=D C B A P . 21. 解：（1）证明：因为QD ⊥平面ABCD ，PA QD P ，所以PA ⊥平面ABCD ． 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，且ABPA A =，所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面QBC ，所以平面PAB ⊥平QBC （2）面QDB 将几何体分成四棱锥B PADQ -和三棱锥Q BDC -两部分， 过B 作BO AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， 所以PA BO ⊥，又因为AD OB ⊥，PAAD A =，所以BO ⊥平面PADQ ，即BO 为四棱锥B APQD -的高， 并且3BO =，3PADQ S =梯形， 所133B PADQ PADQV S BO -=⋅=梯形， 因为QD ⊥平面ABCD ，且已知2QD =，BCD ∆为顶角等于120︒的等腰三角形，2BD =，33BDC S ∆=， 所以12339Q BDC BDC V S QD -∆=⋅⋅=， 所以组合体QPABCD 的体积为23113399+=． 22．解：（1）因为(1)102af =-=，所以2a =，此时2()ln ,0f x x x x x =-+>， 2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> 由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞．（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． 令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <． 所以整数a 的最小值为2．方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥． 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ． 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++． 因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-<所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2．中山市高三级2017—2018学年度第一学期期末统一考试数学（文科）参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AABBCBBDDDBD13. 725-14. 17 15. 6 16. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17.解：（Ⅰ）设公差为d ，则11154545252a d a d a d ⨯+=+++=，∴1 1 3a d =-=，． ∴{}n a 的通项公式为34n a n =-． …………3分（Ⅱ）()312n n n S n -=-+，228273327n S n n n ++=++，43n a n +=；则原不等式等价于()911nk n n-<++对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，91k n n ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； 当n 为偶数时，91k n n <++恒成立…6分又∵917n n++≥，当且仅当3n =时取等号， 所以当n 为奇数时，91n n++的最小值为7， 当n 为偶数时，4n =时，91n n ++的最小值为294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范是2974k -<<………10分 18．解:（Ⅰ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin 3B =． ………………2分 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，又2AB =，4ADB π∠=，22sin 3B =．∴83AD =． ………………5分（Ⅱ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，3ABC ADC S S ∆∆=，又423ADC S ∆=，∴42ABC S ∆=， ………………7分 ∵1sin 2ABCS AB BC B ∆=⋅，∴6BC =，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠． ∴42AC =， ………………9分 ∵1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 且2ABD ADC S S ∆∆=， ∴sin 242sin BAD AC CAD AB∠=⋅=∠ ………………12分19． 解: (1)由弧长计算及扇环面的周长为30米，得()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+，100<<x …3分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．……5分装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， ……………………7分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …9分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当x ＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． …………………12分 (注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)21. 解: (1)根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有情况如下：学员编号 补测项目 项数 （1）（2） ②③⑤ 3 （1）（4） ②③④⑤ 4 （1）（6） ③④⑤ 3 （1）（9） ①③⑤ 3 （2）（4） ②④⑤ 3 （2）（6） ②③④⑤ 4 （2）（9） ①②⑤ 3 （4）（6） ②③④ 3 （4）（9） ①②④⑤ 4 （6）（9）①③④⑤4由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，由古典概型可知，所求概率为=10635.………………6分(2)在线段CD 上取两点B '，D '，使8.1='='D D B B m ，记汽车尾部左端点为M ，则当M 位于线段B A '上时，学员甲可按教练要求完成任务，而学员甲可以使点M 等可能地出现在线段D C '上，根据几何概型，所求概率212.16.08.13.024.28.14.2==-⨯+-=''=D C B A P . …………12分21. 解：（1）证明：因为QD ⊥平面ABCD ，PA QD P ，所以PA ⊥平面ABCD ．又因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，且AB PA A =，所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面QBC ，所以平面PAB ⊥平QBC ……5分（2）面QDB 将几何体分成四棱锥B PADQ -和三棱锥Q BDC -两部分，过B 作BO AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ，所以PA BO ⊥，又因为AD OB ⊥，PA AD A =，所以BO ⊥平面PADQ ，即BO 为四棱锥B APQD -的高， 并且3BO =，3PADQ S =梯形， 所133B PADQ PADQ V S BO -=⋅=梯形，因为QD ⊥平面ABCD ，且已知2QD =，BCD ∆为顶角等于120︒的等腰三角形，2BD =，33BDC S ∆=， 所以12339Q BDC BDC V S QD -∆=⋅⋅=，所以组合体QPABCD 的体积为23113399+=．…………………………12分22．解：（1）因为(1)102af =-=，所以2a =，此时2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x -++'=-+=> 由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞．………………4分 O（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x -+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-，令()0g x '=，得1x a =． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a ∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a =-⨯+-⨯+=-．令1()ln 2h a a a =-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数．所以当2a ≥时，()0h a <． 所以整数a 的最小值为2． ………………12分方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立，问题等价于2ln 112x x a x x+++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥．因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=． 设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数． 所以000max 020000011ln 112()()11(1)22xx x g x g x xx x x x +++====++． 因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-< 所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2． ………………12分。