2.3数学归纳法课时作业5

2.3 数学归纳法(一)[学习目标]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． [知识链接]1．对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 3．类比问题2中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题1中的猜想？答 (1)当n ＝1时，猜想成立；(2)若当n ＝k 时猜想成立，证明当n ＝k ＋1时猜想也成立． [预习导引] 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．要点一 正确判断命题从n ＝k 到n ＝k ＋1项的变化例1 已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是________． 答案 2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k .因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．规律方法 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．跟踪演练1 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于________．答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋2解析 ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1，∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.要点二 证明与自然数n 有关的等式例2 已知n ∈N *，证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；(2)假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即： 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k .则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎣⎡⎦⎤1k ＋1－12(k ＋1)＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k＋12(k ＋1)＝右边；所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知对一切n ∈N *等式都成立．规律方法 (1)用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；(2)用数学归纳法证题时，要把n ＝k 时的命题当作条件，在证n ＝k ＋1命题成立时须用上假设．要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，弄清楚增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决． 跟踪演练2 用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N *时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116·…·⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n. 证明 (1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴n ＝2时等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝(k ＋1)2－12k (k ＋1)＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1). ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式都成立． 要点三 证明与数列有关的问题例3 某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2. (1)写出这个数列的前五项；(2)写出这个数列的通项公式，并加以证明． 解 (1)已知a 1＝1，由题意得a 1·a 2＝22， ∴a 2＝22，∵a 1·a 2·a 3＝32，∴a 3＝3222.同理可得a 4＝4232，a 5＝5242.因此这个数列的前五项为1,4，94，169，2516.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，n 2(n －1)2 (n ≥2)，下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2(n －1)2.①当n ＝2时，a 2＝22(2－1)2＝22， 所以等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立， 即a k ＝k 2(k －1)2，则当n ＝k ＋1时，∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2， ∴a 1·a 2·…·a k ＋1＝(k ＋1)2. ∴a k ＋1＝(k ＋1)2(a 1·a 2·…·a k －1)·a k＝(k ＋1)2(k －1)2·(k －1)2[(k ＋1)－1]2＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1]2， 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是 a n ＝n 2(n －1)2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，n2(n －1)2 (n ≥2).规律方法 (1)数列{a n }既不是等差数列，又不是等比数列，要求其通项公式，只能根据给出的递推式和初始值，分别计算出前几项，然后归纳猜想出通项公式a n ，并用数学归纳法加以证明．(2)数学归纳法是重要的证明方法，常与其他知识结合，尤其是数学中的归纳，猜想并证明或与数列中的不等式问题相结合综合考查，证明中要灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用，不考虑假设而进行的证明不是数学归纳法． 跟踪演练3 数列{a n }满足：a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n ，(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)令n ＝2，得S 2＝2×(2＋1)2a 2，即a 1＋a 2＝3a 2，解得a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2a 3，即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，解得a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2a 4，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，解得a 4＝130.(2)由(1)的结果猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给予证明：①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k ·(k ＋1)2a k ，① S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1，②②与①相减得a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1－k ·(k ＋1)2a k ，整理得a k ＋1＝k ＋1k ＋3a k ＝k ＋1k ＋3·1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3)＝1[(k ＋1)＋1][(k ＋1)＋2]，即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①、②知对于n ∈N *，上述结论都成立．1．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( ) A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C. 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a 2n＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N *，等式都成立．上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，(1)求S 1，S 2，T 1，T 2；(2)猜想S n 与T n 的关系，并用数学归纳法证明．解 (1)∵当n ∈N *时，S n ＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ，T n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n .∴S 1＝1－12＝12，S 2＝1－12＋13－14＝712，T 1＝11＋1＝12，T 2＝12＋1＋12＋2＝712.(2)猜想S n ＝T n (n ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，已证S 1＝T 1，②假设n ＝k 时，S k ＝T k (k ≥1，k ∈N *)，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝T k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝⎛⎭⎫1k ＋1－12(k ＋1)＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12k ＋1＋12(k ＋1)＝T k ＋1.由①，②可知，对任意n ∈N *，S n ＝T n 都成立．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础达标1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立 答案 B2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k ＋2时命题也成立，则( )A ．该命题对于n >2的自然数n 都成立B ．该命题对于所有的正偶数都成立C ．该命题何时成立与k 取值无关D ．以上答案都不对 答案 B解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步验证n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形，故选C.4．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f (n )是( )A ．1B ．13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确答案 C5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到________． 答案 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项．6．已知f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝________.答案 f (k )＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋17．用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－15…⎝⎛⎭⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－15…⎝⎛⎭⎫1－1k ＋2＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－15…⎝⎛⎭⎫1－1k ＋2·⎝⎛⎭⎫1－1k ＋3＝2k ＋2⎝⎛⎭⎫1－1k ＋3＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋2，所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 观察分母的首项为n ，最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.10．以下用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为________． 证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．答案 缺少步骤(1)，没有递推的基础 11．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k ·(k ＋1)－k ＋2k ＋22＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2＝(－1)k＋1－1·(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12．已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10， a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *). (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n ≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2 (n ≥2，n ∈N *). 三、探究与创新13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.(2)猜想a n ＝1n (n ＋1).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k (k ＋1).那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1. 又S k ＝1－ka k ＝kk ＋1，所以k k ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立。

解：(1)由已知 2Sn＝nan＋na＝n(an＋a)． 当 n＝1 时，S1＝a1，所以 2a1＝a1＋a，即 a1＝a； 当 n＝3 时，S3＝a1＋a2＋a3，所以有 2(a1＋a2＋a3)＝3(a3＋a)， ∵a2＝a＋2，a1＝a， ∴a3＝a＋4. (2)由 a1＝a，a2＝a＋2，a3＝a＋4， 猜想：an＝a＋2(n－1)． 证明：①当 n＝1 时，左边＝右边，2(k＋1)(3k＋2) ＝12(k＋1)[3(k＋1)－1] 即 n＝k＋1 时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
规律技巧：用数学归纳法证明数学命题，关键要看两个 步骤是否齐全，特别是第二步的归纳假设是否被利用，若没 有利用归纳假设，那就不正确．
当 n＝2 时，a2＝a＋2，知等式也成立． ②假设 n＝k(k≥2)时，等式成立， 即 ak＝a＋2(k－1)． 那么当 n＝k＋1 时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋a(k＋1)－ak＋2 a·k， ∴2ak＋1＝(ak＋1＋a)(k＋1)－(ak＋a)·k. ∴(k－1)ak＋1＝kak－a. 当 k≥2 时，ak＋1＝k－k 1ak－k－a 1，
2．对数学归纳法的步骤的理解 用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的．如 果只有步骤(1)而缺少步骤(2)，作出的判断可能是错误的，单 靠步骤(1)也无法递推下去．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)， 也可能得出不正确的结论．例如，假设 n＝k 时，等式 2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋1 成立，就是 2＋4＋6＋…＋2k＝k2＋k＋1.
3．(平面几何问题)平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相 交于两点，且无任何三个圆相交于一点，求证：这 n 个圆将 平面分成 f(n)＝n2－n＋2 个部分．

2．3数学归纳法整体设计教材分析本节课是人教A版选修2－2的第二章第三单元．“数学归纳法”是继学习分析法和综合法之后，进一步研究的另一种特殊的直接证明方法．它通过有限步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形．通过本节的学习，可以更好地理解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯．课时分配2课时．第1课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解“归纳法”和“数学归纳法”的含义和本质．(2)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论．(3)会用“数学归纳法”证明简单的恒等式．(4)初步掌握归纳与推理的方法．2．过程与方法目标培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力得到进一步的提升．3．情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生数学思维的严密性，通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力．重点难点重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．难点：(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明．(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．教学过程引入新课提出问题：问题1：一个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为橙色？问题2：你知道谚语“天下乌鸦一般黑”的由来吗？问题3：一个数列的通项公式是a n＝(n2－5n＋5)2，容易验证a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1.由此作出结论：对于一切n∈N，a n＝(n2－5n＋5)2＝1都成立．请问这个结论正确吗？问题4：对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？问题5：请说出以上4个问题的异同点．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视引导，并注意与学生交流．活动成果：教师板书“一一进行验证”(学生回答问题1的时候抓住关键词)“只能验证有限个”(学生在回答问题2的时候)“结论不一定正确”(学生在回答问题3、4的时候)“归纳法，完全归纳法，不完全归纳法”(学生在回答问题5的时候)同时说明：归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法．点明不完全归纳法的缺憾之处：仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论．学情预测：对于问题1及问题2估计学生会比较感兴趣，这两个问题有利于活跃课堂气氛，拉近师生之间的距离，让学生的思维过渡到课堂的思考中来．问题3大部分学生应该能判断准确．对于问题4最初可能会有一部分学生认为正确，但是由问题3的引导也会对问题4的正确性产生怀疑．设计意图让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛．在学生已有认知基础上给出问题，从生活问题自然过渡到数学问题．由问题3的不正确引导，学生对问题4的正确性产生怀疑，从而使学生对学过的知识进行及时的反思，在不断反思中得到提高(教师可以在学生回答完问题4后顺便提问学生以前学过的结论中哪些用到了不完全归纳法)．通过问题的设计使学生了解归纳法的分类，让学生自然领悟到不完全归纳法的缺憾，使学生对本节课的知识产生期待，从而引出本节课的课题“数学归纳法”．探究新知实例：播放多米诺骨牌录像，思考以下问题：提出问题：你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？活动设计：学生讨论交流，各抒己见．活动成果：根据学生的发言板书以下内容(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．(板书时注意格式，为数学归纳法的步骤提供类比依据．)可以再举几则生活事例：推倒自行车，早操排队对齐等．学情预测：大部分学生在电脑或电视节目中或者小时候玩的玩具中都遇到过多米诺骨牌，通过讨论，教师再加以引导，学生对所提出的问题基本能解决．设计意图：通过直观具体的画面让“归纳递推”这一难点在学生的头脑中建立载体，便于帮助学生理解从有限到无限的过渡．提出问题：对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3,4，…)，求a4，a100.活动设计：学生进行计算推理后，展示思考结果(学生板演)．教师追问：问1：根据递推公式a n＋1＝a n1＋a n，可以由a1出发，推出a2，再由a2推出a3，由a3推出a4，说说你又是如何求得a100的呢？学情预测：学生可能会回答：“由前四项归纳猜想a100＝1 100”．问2：归纳猜想的结果并不可靠，你能对a 100＝1100给出严格的证明吗？ 针对学生的回答情况，教师可进行追问：问3：利用递推公式，命题可以由a 1推出a 2，由a 2推出a 3，由a 3推出a 4，…，由a 99推出a 100，这样要严格证明n ＝100时结论成立，需要进行多少个步骤的论证呢？(教师在刚才学生板演的基础之上板书以下推理过程，可以再多写出第六步，第七步，第八步直到学生开始有反应：嫌麻烦等情绪的出现)第一步，a 1＝1，第二步，a 2＝a 11＋a 1＝11＋1＝12，(由a 1推a 2) 第三步，a 3＝a 21＋a 2＝121＋12＝13，(由a 2推a 3) 第四步，a 4＝a 31＋a 3＝131＋13＝14，(由a 3推a 4) ……第99步，a 99＝a 981＋a 98＝1981＋198＝199，(由a 98推a 99) 第100步，a 100＝a 991＋a 99＝1991＋199＝1100.(由a 99推a 100) 学情预测：通过板书上的推理过程，学生可能窃窃私语“太麻烦”，出现畏难情绪．教师可以抓住这一契机继续追问：问4：你认为上述推理的麻烦之处在哪里？你能否对此过程进行优化？只用最少的步骤就能证明这个结论呢？学情预测：学生思考、讨论之后可能会总结出：推理麻烦之处在于除了第一步论证之外，其余99个步骤的证明实际上都是类似的．教师因势利导：后面99个步骤都可以概括成一个命题的证明，即转化为对以下命题的证明：若n 取某一个值时结论成立，则n 取其下一个值时结论也成立，即若a k ＝1k (k ≥1，k ∈N )，则a k ＋1＝1k ＋1(*)．(a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k 1＋1k ＝1k ＋1) 问5：你能进一步说明命题(*)的证明对原命题的证明起到什么作用吗？问6：有了命题(*)的证明，你能肯定a 100＝1100吗？你能肯定a 101＝1101吗？你能肯定a 102＝1102吗？甚至你能肯定a 1 000＝11 000吗？…… 问7：给定a 1＝1及命题(*)，你能推出什么结论呢？学情预测：通过追问4、5、6、7，学生可能对“归纳递推”这一步骤有了清晰的认识，逐渐领悟了从有限到无限的飞跃，有了对数学问题解决过程的体验，对于问7部分学生有能力对这一模式的特征概括出“可以证明对任意的正整数n ，结论a n ＝1n(n ∈N )都成立”．(为了更直观可以用多媒体投出下列图示) 反思与总结：a n ＝1n(n ∈N *)？问8：已知数列{a n }：a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)，求证：a n ＝1n . 教师在上述板书的基础之上把后99步用彩笔圈起，在附近用同色彩笔写下下面的(2)中的推理过程，然后用板书完善数学归纳法的“两步一结论”．证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N )时，结论成立，即a k ＝1k， 则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k 1＋a k(已知) ＝1k 1＋1k(代入假设) ＝1k k ＋1k(变形) ＝1k ＋1(目标)， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立． 问9：你能否总结出这一证明方法的一般模式？活动成果：板书以下内容(注意与多米诺骨牌得到的结论写在一起便于之后的类比)一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N )时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k(k ≥n 0，k ∈N )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． 证明命题P (n )(n ∈N *)说明：(1)是归纳基础，(2)是归纳递推，两者缺一不可．数学归纳法实质上是将对原问题的证明转化为对两个步骤的证明和判断．通过对a 4的求解，让学生体会到只需知道某一项，就可求出其下一项的值．通过对a 100的求解过程总结领悟到99步的证明“汇成一句话”： 设计意图“若a k ＝1k (k ∈N )，则a k ＋1＝1k ＋1(k ∈N )(*)”为学生理解从有限到无限提供了依托，再加之追问5、6、7使学生容易实现从有限到无限的思维“飞跃”，直观的框图式结构为刚才的思维过程加以“浓缩”使观点得以提炼，再加上问题(8)的趁热打铁可以说学生对“归纳递推”的认识也基本到位．至此从具体实例中概括出数学归纳法已经是水到渠成．提出问题：你认为证明数列的通项公式是a n ＝1n与多米诺骨牌游戏有相似性吗？ 活动设计：首先学生独立思考，然后学生自由发言，最后教师总结并形成新知． 活动结果：通过类比让学生进一步理解数学归纳法的原理，增加对数学学习的兴趣，通过从不同的角度审视，更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质． 理解新知提出问题：用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立． 由(1)和(2)可知对任何n ∈N 等式都成立．活动设计：给学生充足的时间让学生对照黑板上板书的数学归纳法的步骤，积极思考、交流，不仅要明确数学归纳法的步骤，还要明确数学归纳法的实质．学情预测：生甲：证明是对的．生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．(指出错误，并分析出错原因，是澄清学生模糊认识的有效方法)从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．生丙：“则当n ＝k ＋1时1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．”应该改为“则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2”．活动成果：数学归纳法的核心是在验证n 取第一个值n 0正确的基础上，由P(k)正确证明P(k ＋1)正确，也就是说核心是证明命题具有递推性．因此，今后用数学归纳法证明时，第二步必须由归纳假设P(k)的正确性来推导出P(k ＋1)的正确性．可见，正确使用归纳假设，是用数学归纳法证明的关键．不能机械地套用两个步骤，而要深入理解其实质及两个步骤之间的内在联系．设计意图通过判断正误，使学生在一个看似完美的证明过程中发现问题，以加深对数学归纳法“核心技术”的理解而不是仅仅停留在数学归纳法的形式上，从而突出重点．生丙的改正错误实际上是重点练习了归纳假设的应用．提出问题：用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步验证而没有第二步递推性的证明是不行的，那么，没有第一步行吗？活动设计：生甲：第一步仅是验证当n 取第一个值n 0时结论正确，其实这是显然的，可以省略．生乙：第一步是第二步递推的基础，没有第一步是不行的．师：让我们举一个例子来看一下：试问等式2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1成立吗？ 设n ＝k 时成立，即2＋4＋6＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，则2＋4＋6＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝(k 2＋k ＋1)＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.这就是说，n＝k＋1时等式也成立，若仅由这一步就得出等式对任何n∈N都成立的结论，那就错了．事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3，左边≠右边，可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何n∈N该式都是不成立的．活动成果：数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据．缺了第一步，递推失去基础，缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去．设计意图通过具体的例子让学生体会到用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．应当克服教师反复强调，而学生只知其一不知其二，仅停留在“了解、知道”的层面上的弊端．一个好的例子胜过千百次的强调．运用新知例1证明若{a n}是首项是a1，公差是d的等差数列，则a n＝a1＋(n－1)d对于一切n∈N 都成立．思路分析：题目没有要求用什么方法证明，这就要分析可以用哪种方法去证明，这是一个与正整数有关的数学命题，故可以用数学归纳法进行证明．证明：(教师可以要求学生板演)(1)当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即a k＝a1＋(k－1)d，则当n＝k＋1，a k＋1＝a k＋d＝a1＋(k－1)d＋d＝a1＋[(k＋1)－1]d.所以当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知如果{a n}是一个等差数列，则a n＝a1＋(n－1)d对于一切n∈N都成立．点评：通过证明学生学过的命题，体现了用数学归纳法在证明问题之前的选择与判断．此题由n＝k到n＝k＋1的变形比较简单，利用简单问题来突出证明步骤，防止复杂的变形冲淡数学归纳法的核心．变式练习用数学归纳法证明若{a n}为首项是a1，公比是q(q≠1)的等比数列，则其前n项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q. 证明：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝a 1(1－q 1)1－q，结论成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即S k ＝a 1(1－q k )1－q， 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a 1q k (1－q )1－q ＝a 1(1－q k ＋1)1－q.所以当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q(q ≠1)，则其前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q. 变练演编1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n>n 0的正整数n 成立”时，第一步证明中的起始值n 应取( )A ．1B ．2C ．3D ．52．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式左端增加的项数是( )A ．1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1答案：1.D 2.C设计意图通过变练演编，使学生的认识不断加深，进一步巩固数学归纳法证明数学问题的两个步骤，培养学生思维的严谨性．达标检测用数学归纳法证明当n ∈N 时，11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1.请分析下面的证法是否正确，若不正确请改正．证明：①n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12＋1＝13，左边＝右边，等式成立． ②假设n ＝k 时，等式成立，即11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 那么当n ＝k ＋1时，有11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12k －1－12k ＋1)＋(12k ＋1－12k ＋3)] ＝12(1－12k ＋3)＝12·2k ＋22k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切n ∈N 等式成立．解：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n ＝k 这一步，当n ＝k ＋1时，是用裂项法推出来的，这样归纳假设没起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n ＝k ＋1时左边＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1＝右边． 这就说明，当n ＝k ＋1时，等式亦成立． 课堂小结1．知识收获：学习数学归纳法应掌握下列几个要点：(1)数学归纳法证题的步骤：①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N )时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k(k ≥n 0，k ∈N )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 根据①②，可知命题对任何n ∈N 都成立．(2)数学归纳法的核心是在验证P(n 0)正确的基础上，证明P(n)(n ≥n 0)的正确具有递推性．第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据，因此两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键．(3)数学归纳法适用的范围是：一般用于证明某些与正整数n(n 取无限多个值)有关的数学命题，但是并不能简单的说，所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，如果问题中存在可以利用的递推关系，数学归纳法才有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．(4)归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法，归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、特殊到一般、有限到无限方法．3．思维收获：递推思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．布置作业教材习题2.3 A 组第1题．补充练习基础练习1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线条数为12n(n －3)条时，第一步验证n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．02．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第2步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推证n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推证n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k(k ≥1)时正确，再推证n ＝k ＋2时正确D ．假设n ≤k(k ≥1)时正确，再推证n ＝k ＋2时正确3．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f(n)是( ) A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确 4．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明不等式f(2n )>n 2时，f(2k ＋1)比f(2k )多出的项数是__________．答案：1.C 2.B 3.C 4.2k拓展练习5．已知数列{a n }满足：a 1＝32，且a n ＝3na n －12a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明对于一切正整数n ，不等式a 1·a 2·a 3·…·a n <2·n ！.(1)解：将条件变为：1－n a n ＝13(1－n －1a n －1)，因此{1－n a n }为一个等比数列，其首项为1－1a 1＝13，公比为13，从而1－n a n ＝13n ，据此得a n ＝n·3n3n －1(n ≥1)．① (2)证明：据①得a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n ！(1－13)(1－132)…(1－13n )， 要证a 1·a 2·a 3·…·a n <2·n ！，只要证n ∈N 时，有(1－13)(1－132)…(1－13n )>12.② 显然，左端每个因式都是正数，只需证明，对每个n ∈N ，有(1－13)(1－132)…(1－13n )≥1－(13＋132＋…＋13n )．③ 用数学归纳法证明③式：(ⅰ)n ＝1时，③式显然成立，(ⅱ)假设n ＝k 时，③式成立，即(1－13)(1－132)…(1－13k )≥1－(13＋132＋…＋13k )． 则当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－132)…(1－13k )(1－13k ＋1)≥[1－(13＋132＋…＋13k )]·(1－13k ＋1) ＝1－(13＋132＋…＋13k )－13k ＋1＋13k ＋1(13＋132＋…＋13k ) ≥1－(13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，③式也成立． 故对一切n ∈N ，③式都成立．利用③得，(1－13)(1－132)…(1－13n )≥1－(13＋132＋…＋13n )＝1－13[1－(13)n ]1－13＝1－12[1－(13)n ]＝12＋12(13)n >12.故②式成立，从而结论成立． 设计说明本节课是数学归纳法的第一课时，新课标要求不能仅以用数学归纳法解决一些简单问题为标准，只让学生通过各种题型的操练，学会第一步证什么，如何证；第二步证什么，如何证．这样训练出来的学生，能知道数学归纳法的步骤，也会套用数学归纳法证明一些数学命题，但不一定知道为什么要这样做，这样做可行的理由、依据是什么．这样的教学看似容易完成，但被动地训练使学生可能会增添的是：数学是机械的、枯糙的；一定会丢失的是：对数学以及数学方法、思想的进一步认识与理解．所以本节课的设计没有急于去进行大量的练习，而是把主要精力用在了由“假设P(k)(k ∈N 且k ≥n 0)成立，推证P(k ＋1)成立”的突破上，从生活出发加强了数学与生活的联系，消除了学生的畏惧感，通过问题串将学生从有限逐步引领到无限的高峰．备课资料《归纳法的分类》(一)第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k(k ≥n 0，k 为自然数)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．(二)第二数学归纳法：对于某个与自然数n 有关的命题，(1)验证n ＝n 0时P(n)成立；(2)假设n 0<n ≤k 时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k ＋1)成立．综合(1)(2)对一切正整数，命题P(n)都成立．(三)倒推归纳法(反向归纳法)：(1)对于无穷多个自然数命题P(n)成立；(2)假设P(k＋1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(n>n0)，命题P(n)都成立．(四)螺旋式归纳法：P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立；(2)假设P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k＋1)成立，综合(1)(2)，对于一切自然数n(n>n0)，P(n)，Q(n)都成立．(设计者：张建霞)。

2.3《数学归纳法》
第二课时
• 汾西一中 刘惠文
归纳法
：由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
考察全体对象, 考察全体对象, 全体对象 得到一般结论 的推理方法
考察部分对象,得 考察部分对象, 部分对象 到一般结论的推 理方法
结论一定可靠
Ｃ. 2 k 项Байду номын сангаас
Ｄ. 2 k + 1 项
1 1 1 1 1 练习2，求证： ＋ 2 ＋ 3 ＋L＋ n = 1 − ( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 证明： 证明：①当n=1时，左边＝ 右边＝ 1 − = 时 左边＝ 右边＝ 2 2 2 时等式成立。 ∴n=1时等式成立。 时等式成立 1 1 1 1 1 假设n=k时，命题成立，即 ＋ 2 ＋ 3 ＋L＋ k = 1 − ( )k ②假设 时 命题成立， 2 2 2 2 2 那么， 那么，当n=k+1时，有 时
4）此时，左边增加的项是 ）此时，
2
( k + 1) [3 ( k + 1) + 1 ]
5)从左到右如何变形？ 从左到右如何变形？ 从左到右如何变形
证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
× 4 + 2 × 7 + 3 × 10 + L + k ( 3 k + 1 ) 1
以下用数学归纳法证明: 以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 + n + + …+ = (n ∈ N * ). 1⋅ 3 3 ⋅ 5 (2n −1)(2n +1) 4n + 2