#00001
设ζ，η为相互独立，数字期望均为0、方差均为1的随机变量，令ζ（t ）=ζ+ηt ，求ζ（t ）的均值、方差和相关函数。 *00001
解：;0)()()]([)(1=+==ηξξμtE E t E t
ts
E E s t tsE E s t E s t R t D t D t D t D t x x +=+++==+=+=+==1)()()()()()]()([),(;
1)()()()]([)(22222ηξμξξξηξηξξσ
#00002
设g(t)为下图所示的以周期为L 的矩形波，η的分布列为
令ζ(t)=ηg(t)，t ∈R 1，求随机过程ζ(t)，t ∈R 1的均值、方差和相关函数。 *00002
解：0]2
1)1(2
1)[()]([)]([)(1=⋅-+===t g t g E t E t ηξμ
)
()()()()()]()([),();
()()()]([)]([)(2
2222s g t g E s g t g s g t g E s t R t g E t g t g D t D t x x ==⋅==⋅===ηηηηηξσ
#00003
设⎩⎨
⎧-=内呼叫次数为奇数
在内科叫次数为偶数
在],0[,1],0[,1t t t ς且在时间(t 0,t 0+t)内发生k 次呼叫的概率与t 0无关并且为
)(,!
)()(1R t k t e
t P k
t
k ∈⋅=-λλ 其中λ>0，k=0，1，2，…。求：（1）P{在（0,t ）呼叫次数为偶数}，
（2）ξt 的均值函数;(3) ξt 的相关函数。 *00003
解：（1）P{在[0，5]内发生偶数次“随机点”}
t t t e t p t p t t
λλλλλcosh 3}!
4)(!2)(1{)()(4
220--=+++=++=
（2）显然
t
t t t t t t e e e t t e t
e t e E λλλλλλλλλλξ2)sinh (cosh sinh )1(cosh 1)(------=⋅=-=⋅-+⋅= （3）||2212
1
),(t t X e t t R --=λ
#00004
证明贝努里试验构成一个齐次马氏链，并求齐次马氏链的一步转移概率矩阵。（贝努里试验中多次试验有两种状态：A 、A 且P （A ）=p ，P （A ）=q ，其中q=1-p ，A 表示状态1，A 表示状态2）。 *00004
解：（1）因为，在第k 次试验出现A 或A 的条件下第k+1次试验出现A 或A 的概率与k 无关且利于P （A ）或P （A ），这说明贝努里试验构成一个齐次与氏链。
（2）p 11=p 21=p;p 12=p 22=q 则齐次与马氏链的一步转概率矩阵为⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛q p q p #00005
已知随机过程X(t)的均值μx (t)=t ，协方差函数C x (t 1,t 2)=Ht 1t 2，试求Y(t)=X(t)+sint 的均值和协方差函数。 *00005
解：t t t t X E t t X E t Y E t Y sin sin )]([]sin )([)]([)(+=+=+==μ
{}
{}
2122112211211)])(][)([)]()()][()([),(t t t t X t t X E t t Y t t Y E t t C Y Y Y +=--=--=μμ
#00006
给定随机过程X (t )，x 是任一实数，定义另一与随机过程
⎩⎨
⎧>≤=x t x x
t x t Y )(,0)(,1)(
试证：Y(t)的均值和自相关函数分别为随机过程X(t)的一维和二维分布函数。 *00006
证明：（1）);(})({0})({1)]([)(1t x F x t x P x t x P t Y E t Y =>⨯+≤⨯==μ
（2）),;,(})(,)({1)]()([),(2s t x x F x s x x t x P s Y t Y E s t R Y =≤≤⨯==
#00007
已知随机过程x(t)=Ucost+Vsint ，其中U 、V 相互独立，且服从同一个正态分布N （0，σ2） 求：x(t)的均值和自相关函数。 *00007
解：0)()(cos )]([)(=+==V snE U tE t X E t Y μ
)
cos()
()cos sin sin (cos )(sin sin )(cos cos )]
()([),(222s t UV E t t V sE t U sE t s x t x E s t R X -=+++==σ
#00008
已知：随机过程x(t)的自相关函数R x (t,s)=2
2
a cos(t-s)，其中a 为常数，求：Y(t)=x(t+a)-x(t)的自相关函数。
*00008
解：{})]()()][()([)]()([),(s X a s x t X a t X E s Y t Y E s t R Y -+-+==
)
cos()cos 1(cos )cos()cos()
cos(2
)cos(2)cos(),(),(),(),(2222
22
s t a a a
s t a s t a s a t a s a t a s t a a s t R s a t R s t R a s a t R X X X X --=---=----+--=+-+-+++=
#00009
已知：Y 的分布列为
定义随机过程
⎩⎨
⎧===1,0,cos )(Y t Y t t x αω
求：（1）x(t)的一维分布函数F 1(x ；1)和F 1（x ；2
1）； （2）x(t)的二维分布函数F 2（x 1,x 2；2
1，1）
*00009
解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=≤=2,
12cos ,2
1cos ,
0})1({)1;(1x x x x x P x F ωω ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=≤=2,
12cos ,2
1cos ,0})21({)21;(1x x x x x P x F ωω
注：当cos ω=1时，⎩⎨
⎧≥<=1
,
11
,0)2
1;(1x x x F （2）})1(,)2
1({)1,2
1;,(21212x x x x P x x F ≤≤=
