2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算(学生学案)

a 、b 、，c 并、d求出它们的坐标.
a 2i 3 j a (2,3)
b 2i 2 j b (2, 2)
c 3i 2 j c (3, 2)
第20页，共26页。
d 4i 2 j d (4, 2)
3.已知A(3,1), a (x 2, 2x y ，5)若向量
O为坐标原点，则x=________5,y=_________.-4
木块受到重力 G的作用，产生两 个效果，一是木块受平行于斜面
力 的作用，沿斜面下滑；一是
木块F1产生垂直于斜面的压力
叫做把重力 分解.
F2，G＝
F1＋F2
G
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 ,均可 a 以分解为不共线的两个向量 1e和1 2 e，2 使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分 解.
a xi +y j
y
7
D
4
B
C
j
x
o iA 3 5
y
D
a
C
A
j
x
o iB
第8页，共26页。
这样，平面内的任一向量 都a可
y
D
a
C
由x、y唯一确定，我们把有序数对
（x,y）叫做向量 的a坐标，记作
a (x, y)
①
A
j
x
o iB
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示.
a , OA
4.(2012 青岛高一检测)已知 A (-1，-5)和向量 a=（2，3）， 若 AB=3a ,则点B的坐标为__（__5_，__4_）_.

2.3.3 平面向量的坐标运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点A (1，－3)，AB →的坐标为(3,7)，则点B 的坐标为( ) A ．(4,4) B ．(－2,4) C ．(2,10)D ．(－2，－10)【解析】 设点B 的坐标为(x ，y )，由AB →＝(3,7)＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，得B (4,4)．【答案】 A2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6)【解析】 因为4a,3b －2a ，c 对应有向线段首尾相接，所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0，故有c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6)．【答案】 D3．若a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B ．12a －32b C ．32a －12bD ．－32a ＋12b【解析】 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝12，λ2＝－32，∴c ＝12a －32b .故选B ． 【答案】 B4．已知点A (1,2)，B (2,4)，C (－3,5)．若BP →＝BA →＋mBC →，且点P 在y 轴上，则m ＝( ) A ．－2B ．15C ．－15D ．2【解析】 设P (x ，y )，由题意AP →＝mBC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－5m ，y －2＝m ，∴P (－5m ＋1，m ＋2)，又点P 在y 轴上，∴－5m ＋1＝0，m ＝15.【答案】 B5．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)·OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) 【导学号：00680050】A ．15B ．13C ．25D ．23【解析】 如图所示，∵∠AOC ＝45°，∴设C (x ，－x )，则OC →＝(x ，－x )． 又∵A (－3,0)，B (0,2)，∴λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ，－x ＝2－2λ⇒λ＝25.【答案】 C 二、填空题6．已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13AB →，则点C 的坐标为________．【解析】 因为AC →＝13AB →，即OC →－OA →＝13(OB →－OA →)，所以OC →＝23OA →＋13OB →＝23(2,3)＋13(－1,5)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，113.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫1，1137．已知边长为单位长度的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________. 【导学号：70512033】【解析】 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．∴AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)． ∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1) ＝(3,4)． 【答案】 (3,4) 三、解答题8．若向量|a|＝|b|＝1，且a ＋b ＝(1,0)，求a 与b 的坐标． 【解】 设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝1，p 2＋q 2＝1，m ＋p ＝1，n ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝p ＝12，q ＝－32，n ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝p ＝12，q ＝32，n ＝－32.故所求向量为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，或a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.9．(1)已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →. (2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标． 【解】 (1)因为A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)， 所以AB →＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)． AC →＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)，AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)，AB →－AC →＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)．2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1. (2)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，a －b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)， 3a －4b ＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．[能力提升]1．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,0)，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝BD →|BD →|，则四边形ABCD 的面积是( )A ．32B ． 3C ．34D ．32【解析】 BA→|BA →|为在BA →方向上的单位向量，记为e 1＝BM →，类似地，设BC →|BC →|＝e 2＝BN →，BD→|BD →|＝e 3＝BG →，所以e 1＋e 2＝e 3，可知四边形BNGM 为菱形，且|BM →|＝|BG →|＝|BN →|，所以∠MBN ＝120°，从而四边形ABCD 也为菱形，|AB →|＝|BC →|＝1，所以S ▱ABCD ＝|AB →|·|BC →|·sin∠ABC ＝32. 【答案】 D2．以原点O 及点A (23，－2)为顶点作一个等边△AOB ，求点B 的坐标及向量AB →的坐标． 【解】 因为△AOB 为等边三角形，且A (23，－2)，所以|OA →|＝|OB →|＝|AB →|＝4.因为在0～2π范围内，以Ox 为始边，OA 为终边的角为11π6，当点B 在OA 的上方时，以OB 为终边的角为π6，由三角函数的定义得：OB →＝⎝⎛⎭⎪⎫4cos π6，4sin π6＝(23，2)．所以AB →＝OB →－OA →＝(23，2)－(23，－2)＝(0,4)． 当点B 在OA 的下方时，以OB 为终边的角为3π2，由三角函数的定义得：OB →＝(0，－4)， 所以AB →＝OB →－OA →＝(0，－4)－(23，－2) ＝(－23，－2)．综上所述，点B 的坐标为(23，2)，AB →的坐标为(0,4)或点B 的坐标为(0，－4)，AB →的坐标为(－23，－2)．。

j x
O
X
i
向量表示方法：字母表示，几何表示，坐标表 示。
基本单位向量，位置向量，向量坐标。
对任一向量a 可表示成 a OA xi y j
记作 a = (x, y)
其中 i 、j为基本单位向量，
x、y为实数
例1
如图，用基底 i 、j
分别表示向量
a 、b 、c、d
5
b
4
3
2
1 j -4 -3 -2 -1 o i
解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）
2.3.3 平面向量的坐标运算
例5 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为
（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求顶点D的坐标．
对定理的理解:
1)基底: 不共线的向量e1 e2。
同一平面可以有不同基底
2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的 方向分解成两个向量的和的形式；
3)分解是唯一的
思考:一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北 偏东30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分 别朝着自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是 100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子 往正北运动,要几只小猴子?
A2
a
A 123
B
A1 4x
并求出它们的坐标。
-1
解：由图可知
a =AA1+AA2
-2
c
-3
d
-4
= 2i 3 j∴a =(2,3)

力 F1 的作用，沿斜面下滑；一是
木块产生垂直于斜面的压力F2，G＝ F1＋F2 叫做把重力 G 分解.
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 a , 均可以分解为不共线的两个向量 1e1和 2 e2 ，
使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
探究一：平面向量的坐标表示
rr (5)a =-4i
r rr (3)a =-i-3 j
r
r
r
答案：(1)a (2,3) (2)a (2, 3) (3)a (1, 3)
r
r
(4)a (0, 5) (5)a (4, 0)
rrrr 例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a，b，c，d，
并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
思考：如图,在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),
C(3,4),D(5,7).设 O A i, O B j, 填空：
y
（1）| i | ___1__,| j | ____1__,
7
D
| OC | ___5___;
（2）若用 i, j 来表示 OC,OD ，
则：O C
_3_ _i __4_ _j_ , O D
a b , a b ,a 的坐标吗？
rr r r
rr
提示: a + b = (x1i + y1 j) + (x2i + y2 j),
由向量线性运算的结合律和分配律可得
(x1i y1 j) (x 2 i y2 j) (x1 x 2 )i (y1 y2 ) j,
rr 即 a b (x1 x2, y1 y2)，
r rr a 2i 3 j r a (2,3)