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2020年高考数学二轮优化提升27 与基本不等式有关的应用题(学生版)

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二轮复习·优化提升

精选资源·战胜高考 考点27 与基本不等式有关的应用题

【知识框图】

【自主热身,归纳总结】

1、（2017江苏高考）某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是 .

2、(2016常州期末）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道,如图．设矩形温室的室内长为x(m),三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S(m2)．

(1) 求S关于x的函数关系式；

(2) 求S的最大值．

3、(2016无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P＝x＋24(其中0≤x≤a,a为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本6P＋1P万元(不含促销费用),产品的二轮复习·优化提升

精选资源·战胜高考 销售价格定为4＋20P元/件．

(1) 将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2) 当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大？

【问题探究,变式训练】

题型一 利用基本不等式解决与平面图形有关的问题

知识点拨： 在利用基本不等式求函数的最值时,一定要注意验证基本不等式成立的三个条件,即一正二定三相等．如果等号成立的条件不具备,就应该研究函数的单调性来求函数的最值．

例1、(2017南通一调）如图,某机械厂要将长6 m,宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点,点E在边BC上,裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C,D分别落在直线BC下方点M,N处,FN交边BC于点P),再沿直线PE裁剪．

(1) 当∠EFP＝π4时,试判断四边形MNPE的形状,并求其面积；

(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由．

【变式1】（2016南京学情调研）如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),二轮复习·优化提升

精选资源·战胜高考 道路的宽度均为2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积．

【变式2】(2016镇江期末）如图,某工业园区是半径为10km的圆形区域,离园区中心O点5km处有一中转站P,现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站,公路AB把园区分成两个区域．

(1) 设中心O对公路AB的视角为α,求α的最小值,并求较小区域面积的最小值；

(2) 为方便交通,准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD,求两条公路长度和的最小值．

二轮复习·优化提升

精选资源·战胜高考

【变式3】(2017南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.

(1) 当a＝90时,求纸盒侧面积的最大值；

(2) 试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值．

【变式4】(2016盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜,他在正方形的边BC,CD上分别取点E,F(不与正方形的顶点重合),连结AE,EF,FA,使得∠EAF＝45°.

现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区,△AEF部分规划为蜂巢区,△CEF部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2,蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2,则这三个区域的总投入最少需要多少元？ 二轮复习·优化提升

精选资源·战胜高考

题型二 利用基本不等式解决利润的最值问题

知识点拨：与利润有关的问题关键是要认真审题,只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式,要特别注意函数的定义域和单位的统一。

例2、(2019南京学情调研）销售甲种商品所得利润是P万元,它与投入资金t万元的关系有经验公式P＝att＋1；销售乙种商品所得利润是Q万元,它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt,其中a,b为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品,所得利润为94万元；若全部投入乙种商品,所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售,余下的投入乙种商品的销售,则所得利润总和为f(x)万元．

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品,才能使得利润总和最大,并求最大值．

【变式1】(2018南京学情调研）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务,每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人,他们加工完甲型装置所需时间为t1小时,二轮复习·优化提升

精选资源·战胜高考 其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2.

(1) 求f(x)的解析式,并写出其定义域；

(2) 当x等于多少时,f(x)取得最小值？

【变式2】(2018扬州期末）如图,射线OA和OB均为笔直的公路,扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园,其中P,Q分别在射线OA和OB上．经测量得,扇形OPQ的圆心角(即∠POQ)为2π3、半径为1千米,为了方便菜农经营,打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN,分别与射线OA,OB交于M,N两点,并要求MN与扇形弧PQ︵相切于点S.设∠POS＝α(单位：弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计．

(1) 试将公路MN的长度表示为α的函数,并写出α的取值范围；

(2) 试确定α的值,使得公路MN的长度最小,并求出其最小值．

【变式3】(2016南京学情调研）某市对城市路网进行改造,拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上,新建x个标段和n个道路交叉口,其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元,新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍．

(1) 写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；

(2) 设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%,二轮复习·优化提升

精选资源·战胜高考 且k≥3.问：P能否大于120？并说明理由．

【变式4】（2016镇江期末）过去的2013年,我国多地区遭遇了雾霾天气,引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元,售价为8元,月销售5万只．

(1) 据市场调查,若售价每提高0.5元,月销售量将相应减少0.2万只,要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本),该口罩每只售价最多为多少元？

(2) 为提高月总利润,厂家决定下月进行营销策略改革,计划每只售价x(x≥9)元,并投入265(x－9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查,每只售价每提高0.5元,月销售量将相应减少0.2x－82万只,则当每只售价x为多少时,下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．

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2020年高考数学二轮优化提升33 计数原理(学生版)

2020年高考数学二轮优化提升33 计数原理(学生版)

二轮复习·优化提升

精选资源·战胜高考 考点33 计数原理

【知识框图】

【自主热身,归纳总结】

1、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模） 设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn,x∈N*,n≥2.

(1) 设n＝11,求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；

(2) 设bk＝k＋1n－kak＋1(k∈N,k≤n－1),Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N,m≤n－1),求SmCmn－1的值．

2、(2018南京、盐城一模）已知n∈N*,nf(n)＝C0nC1n＋2C1nC2n＋…＋rCr－1nCrn＋…＋nCn－1nCnn.

(1) 求f(1),f(2),f(3)的值；

(2) 试猜想f(n)的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想．

3、(2018苏锡常镇调研（二））已知函数f(x)＝(x＋5)2n＋1(n∈N*,x∈R)．

(1) 当n＝2时,若f(2)＋f(－2)＝5A,求实数A的值；

(2) 若f(2)＝m＋α(m∈N*,0

【问题探究,开拓思维】

题型一 二项式定理的应用

知识点拨;对于组合数有关的和式的证明,通常可以从以下两个方面来加以思考：一是利用组合数的有关的恒等式来进行处理,将组合数前面的系数化成相同的代数式后再利用组合数和的性质来加以处理；二是通过二轮复习·优化提升

精选资源·战胜高考 构造恒等式,利用对恒等式两种不同的计算方法,即“算两次”的方法来证明相关的结论．

例1、(2019苏州期初调研） 设f(n)＝(a＋b)n(n≥2,n∈N*),若在f(n)的展开式中,存在连续的三项的二项式系数依次成等差数列,则称f(n)具有性质P.

(1) 求证：f(7)具有性质P；

(2) 若存在n≤2018,使得f(n)具有性质P,求n的最大值．

【变式1】(2019 南京、盐城二模）平面上有2n(n≥3,n∈N*)个点,将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中,任取3个点,记3个点颜色相同的所有不同取法总数为T.

2019_2020学年高中数学第三章不等式3.4基本不等式第2课时基本不等式的应用—证明与最值问题练习新人教A版必

2019_2020学年高中数学第三章不等式3.4基本不等式第2课时基本不等式的应用—证明与最值问题练习新人教A版必

1 第三章 3.4 第2课时 基本不等式的应用—证明与最值问题

A级 基础巩固

一、选择题

1．已知直线l1：a2x＋y＋2＝0与直线l2：bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为( C )

A．5 B．4

C．2 D．1

[解析] 由条件知，直线l1与l2的斜率存在，且l1⊥l2，k1＝－a2，k2＝ba2＋1，

∴k1k2＝－a2ba2＋1＝－1，

∴b＝a2＋1a2>0，∴|ab|＝|a2＋1a|＝|a|＋1|a|≥2，等号成立时|a|＝1|a|，∴a＝±1，b＝2，

∴|ab|的最小值为2．

2．已知a>0，b>0，且2是2a与b的等差中项，则1ab的最小值为( B )

A．14 B．12

C．2 D．4

[解析] ∵2是2a与b的等差中项，

∴2a＋b＝4．

又∵a>0，b>0，

∴2ab≤(2a＋b2)2＝(42)2＝4，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号．

∴1ab≥12.故选B．

3．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( A )

A．5 km处 B．4 km处

C．3 km处 D．2 km处

[解析] 设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝k1x(k1≠0)，运输费用y2＝2 k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝45，故总费用y＝20x＋45x≥220x·45x＝8，当且仅当20x＝45x，即x＝5时等号成立．

4．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为( A )

A．7 B．339

C．1＋22 D．5

[解析] 由已知得x＋3y＝2,3x>0,27y>0，

∴3x＋27y＋1≥23x＋3y＋1＝6＋1＝7，

历年高考数学真题精选23基本不等式

历年高考数学真题精选23基本不等式

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题23

基本不等式（学生版）

一.选择题（共

10小题）

1. （2015

・湖南）若实h满足、+七=向,则汕的最小值为（ ）

a h

A・ J5 B. 2 C. 2>/2 D. 4

2. （2O15

・上海）已知“>O・ /?>O,

若“ + b = 4.

则（ ）

A.

u2+b2^最小值 B.

应有最小值

C. 1+1

有最大值 D.

L】L有最大值

3. （2O15

・福建）若直线- + ^ = iG/>o.fr>O）

过点（1J）.

则“ +人的最小值等于（

a b

A. 2 B・ 3 C. 4 D. 5

4. （2014f

重庆）若 log4（3a + 4Z^） = log2

yfah , WO

a + b 的最小值是（ ）

A. 6 + 2

a/5B. 7 4-2>/3C. 6 + 4>/3D. 7 + 4^3

5.（2013

•山东）设正实数x, y, z

满足f

一3° + 4

尸-1 = 0

・则当打取得最大值时,

+1--

的最大值为（

V z

7

6.

7.

8.

9.A. 0

(2O13

・福建)

A. [0. 2]

(2O12

・浙江)

A.

癸

5

（2010-

四川）

A. 2

（2010*

四川）

A. 1B. 1

若2l+2v=l,

则x+y

的取值范围是（

B.

|一2, 0]C. [-2, +x)D・3

D. (-x, -21

若正数x , y

满足x + 3y = 5

a/

,则3x + 4y的最小值是（

设">b>c>0,

则2

疽 +二 +

B. 4C. 5D. 6

ab a(a — b)- 10s・ + 25b

的最小值是（

D・5

H u>h>Q 9 则 uz + ——+------

ab u — b)的最小值是（

B. 2C. 3D.4B ?

10. （2010*

重庆）己知x>0, y>0,

工+ 2）・+ 2

个・=8,

则x + 2）

，的最小值是（

第］页（共

10页

）9

2H

2A. 3B. 4C.D.

二.填空题（共10

小题）

IL （2019

•上海）

不等式性质与基本不等式(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)

不等式性质与基本不等式(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)

考向22 不等式性质与基本不等式

1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知3132a，1cos4b，14sin4c，则

A．cba B．bac C．abc D．acb

【答案】A

【解析】构造函数21()1cos2hxxx，0,2x，

则()()singxhxxx，()1cos0gxx

所以()(0)0gxg，因此，()hx在0,2上递减，所以1()(0)04habh，即ab．

另一方面，114sintan4411cos44cb，显然0,2x时，tanxx，

所以114sintan44111cos44cb，即bc．因此cba．

2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知910m，1011ma，89mb，则 ( )

A．0ab B．0ab C．0ba D．0ba

【答案】A

【解析】由910m，可得9log10(11.5)m,．根据a，b的形式构造函数()1mfxxx (1x)，

则1()1mfxmx，令()0fx，解得110mxm，由9log10(11.5)m,知0(0)x,．

()fx在(1),上单调递增，所以(10)(8)ff，即ab，

又因为9log10(9)9100f，所以0ab，答案选A．

3．（2022年新高考1卷第7题）设0.10.1ea，19b，ln0.9c，则

A．abc B．cba C．cab D．acb

【答案】C

【解析】令exax，1xbx，ln(1)cx，

① lnlnln[lnln(1)]abxxxx，

ln(1),(0.0.1]yxxx；1'1011xyxx，