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第六章 电容元件与电感元件

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第六章电容元件与电感元件

•6－1 电容元件

•6－2 电容的VCR

•6－3 电容电压的连续性质和记忆性质

•6－4 电容的储能

•6－5 电感元件

•6－6 电感的VCR

•6 –7 电容与电感的对偶性状态变量

•6 –8 电容、电感的串、并联

§6－1 电容元件

电容元件的定义是：如果一个二端元件在任一时刻，

其电荷与电压之间的关系由u－q平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。

图7-5

a) 电容元件的符号(c) 线性时不变电容元件的符号

b) 电容元件的特性曲线(d)

线性时不变电容元件的特性曲线图7-5电容元件的符号和特性曲线如图7-5(a)和(b)所示。

其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为

线性电容元件，否则称为非线性电容元件。

线性时不变电容元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所

示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为)

117(Cuq

式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为电

容，单位是法[拉],用F表示。图7-5实际电路中使用的电容器类型很多，电容的范围变化

很大，大多数电容器的漏电很小，在工作电压低的情况下，

可以用一个电容作为它的电路模型。当其漏电不能忽略时，

则需要用一个电阻与电容的并联作为它的电路模型。

在工作频率很高的情况下，还需要增加一个电感来构

成电容器的电路模型,如图7－6所示。

图7－6 电容器的几种电路模型§6－2电容的伏安关系

对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式

)127(dd

d)(d

dd)(tuCtCu

tqti

此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。

在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。在已知电容电压u(t)的条件下，用式(7－12)容易求出其电流i(t)。例如已知C=1F电容上的电压为u(t)=10sin(5t)V，其波形如图7－7(a)所示，与电压参考方向关联的电流为

A

)5cos(50 A)5cos(1050 d)]5sin(10[d10 dd)(

66

tttttuCti





图7－7

例7-1 已知C=0.5F电容上的电压波形如图7－8(a)所示，

试求电压电流采用关联参考方向时的电流iC(t),并画

出波形图。

图7－8 例7－

1

3.当3st5s时，uC(t)=-8+2t，根据式7－12可以得到A1

A101d)28(d105.0dd)(66CCtttuCti

4.当5st时，uC(t)=12-2t，根据式7－12可以得到

A1A101d)212(d105.0dd)(66CCtttuCti图7－8 例7－1

在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为

)137(d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(

0 CC0 0 CC CC







ttt

iCuiCiCiCtu

其中0 CCd)(1)0(iCu称为电容电压的初始值。

从上式可以看出电容具有两个基本的性质

(1)电容电压的记忆性。

从式（7－13）可见，任意时刻T电容电压的数值uC(T)，

要由从-到时刻T之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说，

此时刻以前流过电容的任何电流对时刻T的电压都有一定

的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的

电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。)137( d)(1)0(d)(1d)(1d)(1)(

0 CC0 0 CC CC





ttt

iCuiCiCiCtu



例7-2 C=0.5F的电容电流波形如图7-9(b)所示，试求电容

电压uC(t)。

图7-9

解：根据图(b)波形的情况，按照时间分段来进行计算

1．当t0时，iC(t)=0，根据式7-13可以得到

ttiCtu 6 CC0d0102d)(1)(

2．当0t<1s时，iC(t)=1A，根据式7-13可以得到

V2)s1( s1 220d10102)0(d)(1)(

C 0 66C CCutttuiCtutt

时当

3．当1st<3s时，iC(t)=0，根据式7－13可以得到

V2)s3( s3 2V=0+V2d0102)1(d)(1)(

C 1 6 CCutuiCtutCt

时当

4．当3st<5s时，iC(t)=1A，根据式7－13可以得到

6V=4V+V2)s5( s5 3)2(t+2d10102)3(d)(1)(

C 3 66C CCutuiCtutt

时当

5．当5st时，iC(t)=0，根据式7－13可以得到

6V0+V6d0102)5(d)(1)( 5 6C CCttuiCtu根据以上计算结果，可

以画出电容电压的波形如图(c)

所示，由此可见任意时刻电

容电压的数值与此时刻以前

的全部电容电流均有关系。

例如，当1s

容电流iC(t)=0，但是电容电压

并不等于零，电容上的2V电

压是0

结果。图7-9

图7－10(a)所示的峰值检波器电路，就是利用电容的

记忆性，使输出电压波形[如图(b)中实线所示]保持输入电

压uin(t)波形[如图(b)中虚线所示]中的峰值。

图7－10 峰值检波器电路的输入输出波形(2)电容电压的连续性

从例7－2的计算结果可以看出，电容电流的波形是不

连续的矩形波，而电容电压的波形是连续的。从这个平滑

的电容电压波形可以看出电容电压是连续的一般性质。即

电容电流在闭区间[t1,t2]有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内

是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到

证明。

将t=T和t=T+dt代入式(7－13)中，其中t1

t1

有界时当)(0d)(1)()d(d 0dCCCiiCTutTuutTTt

当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，常用

下式表示

对于初始时刻t=0来说，上式表示为

)147()0()0(CCu

u)()(CCtutu

利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作

用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。

例7-3 图7-11所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻

断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。

解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定值，造成电容电流等于零，即0

dd)(CCtuCti图7-11例7-4 电路如图7－12所示。已知两个电容在开关闭合前一

瞬间的电压分别为uC1(0-)=0V,uC2(0-)=6V，试求在开

关闭合后一瞬间，电容电压uC1(0+),uC2(0+)。

解：开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个

电容电压必须相等，得到以下方程

)0()0(C2C1uu图7－12 例7－

4

再根据在开关闭合前后结点的总电荷相等的电荷守恒定律，可以得到以下方程

)0()0()0()0(C22C11C22C11uCuCuCuC联立求解以上两个方程，代入数据后得到V3)0()0(C2C1uu

两个电容的电压都发生了变化，uC1(t)由0V升高到3V，

uC2(t)则由6V降低到3V。从物理上讲，这是因为电容C2上

有3微库仑的电荷移动到C1上所形成的结果，由于电路中电

阻为零，电荷的移动可以迅速完成而不需要时间，从而形

成无穷大的电流，造成电容电压可以发生跃变。三、电容的储能

在电压电流采用关联参考方向的情况下，电容的吸收功率为

tuCtutitutpdd)()()()(

由此式可以看出电容是一种储能元件，它在从初始时

刻t0到任意时刻t 时间内得到的能量为

)]()([21)()(),(

022)( )( 0

000

tutuCuduCddduuCdpttW

tututttt





若电容的初始储能为零，即u(t0)=0,则任意时刻储存在电容中的能量为

)157()( 21)(2CtuCtW

此式说明某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压

值，与电容的电流值无关。

电容电压的绝对值增大时，电容储能增加；电容电压

的绝对值减小时，电容储能减少。

当C>0时，W(t)不可能为负值，电容不可能放出多于

它储存的能量，这说明电容是一种储能元件。由于电容电

压确定了电容的储能状态，称电容电压为状态变量。

从式(7－15)也可以理解为什么电容电压不能轻易跃变，

这是因为电容电压的跃变要伴随电容储存能量的跃变，在

电流有界的情况下，是不可能造成电场能量发生跃变和电

容电压发生跃变的。)157()( 21)(2CtuCtW

§6－3 电容电压的连续性质和记忆性质

求解n阶微分方程时，需要知道n个初始条件。利

用电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电路

在电路结构和元件参数变化(常称为换路)后，电路变

量（电压、电流）的初始值。

本节讨论含有开关的动态电路，假设开关都是在

t=0时刻转换，我们的任务是计算开关转换前一瞬间

t=0-和开关转换后一瞬间t=0+的电压电流值。

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电路基础原理电容与电感的等效电路

电路基础原理电容与电感的等效电路

电路基础原理电容与电感的等效电路

电路理论是电子技术的基础，深入了解电路的基本原理对于电子工程师来说至关重要。在电路中，电容和电感是两种非常重要的电子元件。了解它们的性质以及等效电路可以帮助我们更好地设计和分析电路。

一、电容的基本原理和等效电路

电容器是电路中常见的元件之一。它由两个导体板和中间的绝缘介质组成。当电容器两端加电压时，正极板上聚集的电荷会导致负极板上也聚集一定的电荷，这种电势差形成了电场，电场的强度与所加电压成正比。

电容器的电容量由其结构、介质性质和两个导体板之间的距离决定。在电容的基本等效电路中，我们可以使用电压源和电容器之间串联一个电容的一个简化模型。在直流电路中，电容可以看作是一个开路，相当于没有导电路径，而在交流电路中，电容器的等效电路是一个纯电容元件，并且具有导电阻抗的特性。

二、电感的基本原理和等效电路

电感是另一种重要的电子元件，它是由导线或线圈组成的。当电流通过导线或线圈时，会产生一个磁场，这个磁场会导致导线或线圈中的电压发生变化。电感的大小取决于导线或线圈的长度、截面积以及材料的磁导率。 电感的等效电路也有多种模型。在直流电路中，电感可以视为一个闭路，几乎没有电流通过。而在交流电路中，电感器的等效电路是一个纯电感元件，并且具有导电阻抗的特性。

三、电容与电感的等效电路

尽管电容和电感是两种不同的电子元件，但在一些特定的电路中，它们可以等效地转化为其他元件。例如，在谐振电路中，一个电感和一个电容的串联电路可以等效为一个纯电阻。这种等效电路的基本原理可以根据电容和电感元件的导电阻抗来推导。

四、电容与电感在电路中的应用

电容和电感在各种电子电路中都有广泛的应用。在滤波电路中，电容器可以用来削弱或消除某些频率成分，实现信号的滤波效果。而电感则常常用于频率选择电路中，通过调整电感的数值可以选择特定的频率。

此外，电容和电感还被广泛应用于供电电路中。电容可以用作电源滤波器，帮助稳定电源电压；而电感则可以用于抑制高频噪音，保护电路的稳定性。

电容元件与电感元件

电容元件与电感元件

第二篇 动态电路的时域分析

第五章 电容元件与电感元件

 电容元件

 电容的VCR

 电容电压的连续性质与记忆性质

 电容的储能

 电感元件

 电感的VCR

 *电容与电感的对偶性 状态变量

学 习 目 标

本章重点：理解动态元件L、C 的特性，并能熟练应用于电路分析。

一．动态原件包括电容元件和电感元件。

电压电流关系都涉及对电流、电压的微分或积分。

电路模型中出现动态元件的原因：

1）有意接入电容器或电感器，实现某种功能；

2）信号变化很快时，实际器件已不能再用电阻模型表示。

二．电阻电路与动态电路

1.电阻电路是无记忆性（memoryless）即时的（instantaneous)；

2.动态电路（至少含有一个动态元件的电路 ）在任一时刻的响应与激励的全部过去历史有关。

注:电阻电路和动态电路均服从基尔霍夫定律。

动态电路分析与电阻电路分析的比较

电阻电路 动态电路

组成 独立源,受控源,电阻 电感,电容

(独立源,受控源,电阻)

特性 耗能 贮能(电能,磁能)

——贮能状态

电路方程

代数方程

微分、积分（一阶、

二阶）

VCR iRu  tccdicudtduci ) (1 

§5.1 电 容 元 件

一、电容元件的基本概念

电容器是一种能储存电荷的器件

电容元件是电容器的理想化模型是一个理想的二端元件。

图形符号如右所示：uqC

电容的SI单位为法［拉］, 符号为F;

1 F=1 C／V

常采用微法（μF）皮法（pF）作为其单位。

FpFFF126101101

§5.2 电 容 的VCR

一、电容元件的VCR——电压表示电流

1.当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电荷q与u关系为：q(t)=Cu(t)

电容和电感的时间常数

电容和电感的时间常数

电容和电感的时间常数

电容和电感是电路中常见的两种元件，它们分别具有不同的时间常数。时间常数是指电容或电感元件存储或释放能量所需的时间。本文将分别介绍电容和电感的时间常数以及它们在电路中的应用。

一、电容的时间常数

电容的时间常数是指电容元件充电或放电所需的时间。电容是一种储存电荷的元件，其单位是法拉(F)。当电容元件与电源相连时，会在两端形成电场，从而使电容器储存电荷。当电容元件与电源断开时，电荷会通过电路中的负载元件释放。而电容元件充电或放电的速度取决于电容的大小以及电路中的电阻。

具体来说，当电容元件与电源相连时，电容器内的电荷会以指数方式增加，直到达到电源电压的约63%。而电容元件放电时，电容器内的电荷也会以指数方式减少，直到电荷减少到电源电压的约37%。这个充电或放电所需的时间就是电容的时间常数。电容的时间常数T可以通过以下公式计算：

T = R * C

其中，T为时间常数，R为电路中的电阻，C为电容的大小。

电容的时间常数在电路中有广泛的应用。例如，在滤波电路中，电容的时间常数决定了滤波器的截止频率，即只允许通过一定频率范围内的信号。此外，在电子设备中，电容的时间常数还用于控制电路的延迟时间，以及调节电路的响应速度。

二、电感的时间常数

电感的时间常数是指电感元件储存或释放能量所需的时间。电感是一种储存磁场能量的元件，其单位是亨利(H)。当电感元件与电源相连时，会在电感器内部产生磁场，从而储存能量。当电感元件与电源断开时，磁场会通过电路中的负载元件释放能量。电感元件储存或释放能量的速度取决于电感的大小以及电路中的电阻。

具体来说，当电感元件与电源相连时，磁场的能量会以指数方式增加，直到达到最大值。而电感元件断开电源时，磁场的能量也会以指数方式减少，直到能量减少到最小值。这个储存或释放能量所需的时间就是电感的时间常数。电感的时间常数T可以通过以下公式计算：

T = L / R

其中，T为时间常数，L为电感的大小，R为电路中的电阻。

(电路分析)动态元件

(电路分析)动态元件

1 动态元件

第 1 节 动态元件

一、电容元件

电容器是由两块金属极板，中间隔以绝缘介质（如空气、云母、绝缘纸、电解质等）组成，当电容器的两块金属极板之间加以电压时，两块极板上就会聚集等量异性的电荷（ charge ），从而建立起电场，储存电场能量，当外加电压撤掉后，极板上的电荷可继续存在，因此，电容器是一种能储存电荷的元件。但是，实际的电容器由于存在介质损耗和漏电流，极板上的电荷会慢慢地消失，时间越长，电荷越少。

1 、伏安特性

本章讨论的电容元件 ，是在忽略了介质损耗和漏电流等因素之后的理想化模型。电容元件（ capacitor ）的电路符号如图 5.1-1 （ a ）所示。库伏特性为

其中，电荷量 q 的单位是库仑（ coulomb ，简称 C ）； C 称为电容元件的电容量，简称电容（ capacitance ），单位是法拉（ farad ，简称 F ），常用的单位还有微法（ uF ），纳法（ nF ）皮法（ pF ）等，它们之间的换算关系为

电容电压 与电流 取非关联参考方向时，电容元件的伏安关系为

电容元件的特性

1 、动态性

电容上的电流与电压呈微分关系，即任一时刻电容上的电流取决于该时刻电压的变化率，而与该时刻电压本身无关。电压变化越快，电流也就越大，即使某时刻的电压为 0 ，也可能有电流；如果电容两端电压为直流电压（ DC voltage ），即电压不随时间的变化而变化，那么电容上就无电流通过，这时电容相当于开路，所以，电容具有隔直流作用。

电容元件的特性

1 、动态性

1 电容上的电流与电压呈微分关系，即任一时刻电容上的电流取决于该时刻电压的变化率，而与该时刻电压本身无关。电压变化越快，电流也就越大，即使某时刻的电压为 0 ，也可能有电流；如果电容两端电压为直流电压（ DC voltage ），即电压不随时间的变化而变化，那么电容上就无电流通过，这时电容相当于开路，所以，电容具有隔直流作用。