平面向量的线性运算及平面向量基本定理
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全国名校高中数学优质专题讲练汇编（附详解）
训练目标 (1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理．
训练题型 (1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用．
解题策略 (1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：AB→＋BC→＝AC→，OM→－ON→＝NM→联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.
一、选择题
1．(优质试题·佛山期中)已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则点P是( )
A．(－8,1) B.－1，－32
C.1，32 D．(8,1)
2．(优质试题·深圳调研)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充要条件是( )
A．a＝－b B．a∥b且方向相同
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
3．(优质试题·山西大学附中期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k的值为( )
A．－13 B.13
C．－3 D．3
4．(优质试题·哈尔滨三模)已知O为正三角形ABC内一点，且满足OA→＋λOB→＋(1＋λ)OC→＝0，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为( )
A.12 B．1
C．2 D．3 全国名校高中数学优质专题讲练汇编（附详解）
5.如图，在△ABC中，AD→＝23AC→，BP→＝13BD→，若AP→＝λAB→＋μAC→，则λμ的值为( )
A．－3 B．3
C．2 D．－2
6.(优质试题·辽源联考)如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量AB→＝a，AC→＝b，则AD→等于( )
A.2a－1＋22b B．－2a＋1＋22b
C．－2a＋1－22b D.2a＋1－22b
7．(优质试题·河北衡水中学调研)已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
8．(优质试题·南安期中)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝12DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AM→＝mAB→，AN→＝nAC→，则( )
A．m＋n是定值，定值为2 B．2m＋n是定值，定值为3 全国名校高中数学优质专题讲练汇编（附详解）
C.1m＋1n是定值，定值为2
D.2m＋1n是定值，定值为3
二、填空题
9．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝______________.
10．已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是__________．
11．(优质试题·厦门适应性考试)如图，在△ABC中，AD→·BC→＝0，BC→＝3BD→，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N.若AM→＝λAB→，AN→＝μAC→(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是________．
12.(优质试题·沈阳期中)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E、F分别为AB、BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动(如图所示)．若AP→＝λED→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是______________.
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答案精析
1．B [设P(x，y)，点M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，
可得x－3＝12(－5－3)，解得x＝－1；
y＋2＝12(－1＋2)，解得y＝－32.∴P－1，－32.故选B.]
2．B [非零向量a、b使a|a|＝b|b|成立⇔a＝|a||b|b⇔a与b共线且方向相同，故选B.]
3．A [由a＝(1,2)，b＝(－3,2)，得ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(ka＋b)∥(a－3b)，得(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，所以k＝－13.
故选A.]
4．A [设AC、BC边的中点为E、F，则由OA→＋λOB→＋(1＋λ)OC→＝0，得OE→＋λOF→＝0，
∴点O在中位线EF上．
∵△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，∴点O为EF上靠近E的三等分点，∴λ＝12.]
5．B [∵AP→＝AB→＋BP→，BP→＝13BD→
＝13(AD→－AB→)＝13AD→－13AB→
＝13×23AC→－13AB→＝29AC→－13AB→，
∴AP→＝AB→＋29AC→－13AB→＝23AB→＋29AC→.
又AP→＝λAB→＋μAC→，∴λ＝23，μ＝29，∴λμ＝23×92＝3.
故选B.]
6．B [作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
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由题意，得∠ACD＝90°，CF＝BE＝FD＝22，
∵BC→＝AC→－AB→＝b－a，
∴AD→＝AE→＋ED→＝1－22a＋1＋22BC→
＝1－22a＋1＋22(b－a)
＝－2a＋1＋22b，故选B.]
7．B [AB→|AB→|为AB→上的单位向量，AC→|AC→|为AC→上的单位向量，则AB→|AB→|＋AC→|AC→|的方向为∠BAC的角平分线AD→的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λAB→|AB→|＋AC→|AC→|的方向与AB→|AB→|＋AC→|AC→|的方向相同，而OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，∴点P在AD→上移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.]
8．D [方法一 过点C作CE平行于MN交AB于点E.
由AN→＝nAC→可得ACAN＝1n，
∴AEEM＝ACCN＝1n－1，
由BD＝12DC可得BMME＝12，
∴AMAB＝nn＋n－12＝2n3n－1，
∵AM→＝mAB→，∴m＝2n3n－1，
整理可得2m＋1n＝3.
方法二 ∵M，D，N三点共线，
