2018版高中数学苏教版必修四学案：1.2.3-第2课时-诱导公式(五～六)

第2课时 诱导公式(五～六) 学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力． 知识点一 诱导公式五 思考1 角π6与角π3的三角函数值有什么关系？

思考2 角α的终边与角π2－α的终边有怎样的对称关系？

梳理 诱导公式五sinπ2－α＝cos αcosπ2－α＝sin α 知识点二 诱导公式六 思考 能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？ 梳理 诱导公式六sinα＋π2＝cos α，cosα＋π2＝－sin α. 知识点三 诱导公式的推广与规律 1．sin(32π－α)＝________，cos(32π－α)＝________， sin(32π＋α)＝________，cos(32π＋α)＝________. 2．诱导公式记忆规律： 公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．

公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个

把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．

六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式．

记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·π2±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k

为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号． 类型一 利用诱导公式求值 例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cosπ2＋α的值； (2)已知cosπ6－α＝13，求cos5π6＋α·sin

2π

3－α的值．

反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．

跟踪训练1 已知sinπ6＋α＝33，求cosπ3－α的值．

类型二 利用诱导公式证明三角恒等式 例2 求证：tan2π－αsin－2π－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tan α. 反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简． (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子． (3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．

跟踪训练2 求证：2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2 π＋θ＝tan9π＋θ＋1tanπ＋θ－1.

类型三 诱导公式在三角形中的应用 例3 在△ABC中，sinA＋B－C2＝sinA－B＋C2，试判断△ABC的形状．

反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＋C2＝π2，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2. 跟踪训练3 在△ABC中，给出下列四个式子： ①sin(A＋B)＋sin C； ②cos(A＋B)＋cos C； ③sin(2A＋2B)＋sin 2C； ④cos(2A＋2B)＋cos 2C. 其中为常数的式子的序号是________． 类型四 诱导公式的综合应用

例4 已知f(α)＝sinπ－αcos－αsinπ2＋α

cosπ＋αsin－α.

(1)化简f(α)； (2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝35，求tan A－sin A的值．

反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．

跟踪训练4 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求sin－α－32πcos

3

2π－α

cosπ2－αsin

π

2＋α

·tan2(π－α)的值． 1．已知sinα－π6＝13，则cos

α＋

π

3的值为________．

2．若cos(2π－α)＝53，则sin(3π2－α)＝________.

3．已知tan θ＝2，则sinπ2＋θ－cosπ－θ

sinπ2－θ－sinπ－θ

＝________.

4．已知cosπ2＋α＝2sin

α－

π

2，

求sin3π－α＋cosα＋π5cos5π2－α＋3sin7π2－α的值． 5．已知cos(π2＋α)＝13，求值：sinπ2＋αcosπ2－αcosπ＋α＋sinπ－αcos3π2＋αsinπ＋α. 1．诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类： ①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．

②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．

(2)以上两类公式可以归纳为：k·π2＋α(k∈Z)的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数

值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 2．利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解．

用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤： 答案精析

问题导学 知识点一 思考1 sinπ6＝cos π3＝12， cos π6＝sin π3＝32. 思考2 关于直线y＝x对称． 知识点二 思考 以－α代替公式五中的α得到

sin 

α＋

π

2＝cos(－α)，

cos

α＋

π

2＝sin(－α)．

知识点三 1．－cos α －sin α －cos α sin α 题型探究 例1 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12，又α为第一象限角， 则cosπ2＋α＝－sin α＝－1－cos2α＝－1－122＝－32.

(2)cos5π6＋α·sin2π3－α＝cosπ－π6－α·sinπ－

π

3＋α

＝－cosπ6－α·sinπ3＋α＝－13sinπ2－π6－α＝－13cosπ6－α＝－19. 跟踪训练1 解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2， ∴π3－α＝π2－π6＋α. ∴cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α＝sinπ6＋α＝33.

例2 证明 ∵左边＝tan－α·sin－α·cos－αsin2π－π2－α·cos2π－π2－α

＝－tan α·－sin α·cos αsin－π2－αcos－π2－α＝sin2α－sinπ2－αcosπ2－α ＝sin2α－cos αsin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 跟踪训练2 证明 因为左边

＝－2sin3π2－θ·－sin θ－11－2sin2θ ＝2sinπ＋π2－θsin θ－11－2sin2θ ＝－2sinπ2－θsin θ－11－2sin2θ ＝－2cos θsin θ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ ＝sin θ＋cos θ2sin2θ－cos2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.

右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.

所以左边＝右边，故原等式成立． 例3 解 ∵A＋B＋C＝π，