强化训练四

2012届高三数学强化训练四
选题人：李志凌 校对人：汪建霞
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．

1．已知集合{1,cos}A，1{0,,1}2B，若AB，则锐角 ▲ ．

2．若 12zai, 234zi，且12zz为 纯 虚 数，则 实 数 a的 值为 ▲ ．
3．在空间直角坐标系中，点P（4，-3,7）关于坐标平面xOy的对称点的坐标是_________
4．命题p：函数tanyx在R上单调递增，命题q：
ABC

中，AB是sinsinAB的充要条件，则pq是
▲ 命题．（填“真”“假”）
5．平面向量a与b的夹角为120，(0,2)a，||1b，
则ab ▲ ．
6．执行如图的程序框图，若输出5n，则整数p的
最小值是 ▲ ．

7．设231,0()27,0xxxfxxx≥，若()3fa，则实数a
的取值范围是 ▲ ．
8．函数xysin与xytan的图像在]2,2[上交点
个数是______▲__________

9．函数)32cos(2cos)32sin(2sinxxxxy 的最小正周期是_____▲_______
10．设ab、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥，b，则b∥； ②若a∥，a⊥，则⊥；
③若a⊥，⊥，则a∥或a； ④若a⊥b，a⊥，b⊥，则⊥．
其中正确命题的序号有 ▲ ．
11．已知cba,,为△ABC的三个内角A,B,C的对边，向量)sin,(cos),1,3(AAnm，
若nm，且CcAbBasincoscos，则角B=_______▲_____

12．设函数2()sin(,)3sinfxxmxRmRx最大值为()gm，则()gm的最小值为 ▲ ．
13．已知,abR，⊙1C：2224250xyxya与⊙2C：22(210)2xybxby
2
210160bb
交于不同两点1122(,),(,)AxyBxy，且121212120xxyyyyxx，则实数b的值为 ▲ ．

14．已知等比数列{}na满足11a，102q，且对任意正整数k，12()kkkaaa仍是该数列中的某
一项，则公比q的取值集合为 ▲ ．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）已知m、xR,向量(,),((1),)axmbmxx。（1）当0m时，若||||ab，
求x的取值范围；（2）若1abm对任意实数x恒成立，求m的取值范围。

16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥BCDEA中，底面BCDE是直角梯形，90BED，
BE
∥CD，6AB，5BC，31BECD,侧面ABE底面BCDE,90BAE。
（1）、求证：平面ADE平面ABE；
（2）、过点D作平面∥平面ABC，分别与AEBE,交于点GF,，求△DFG的面积。

开始
1,0nS
Sp
Y

输入p

结束
输出n
12nSS


N

1nn
A

B
C
D
E
17、（本小题满分15分）某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分
所示. 其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，

,DEDF
是两根支杆，其中2AB米，2(0)4EOAFOBxx. 现在弧EF、线段DE与

线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”
均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为(0)kk，假定
该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和.
（Ⅰ）试将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？

18、（本小题满分15分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点
)1,2(M，平行于OM的直线l在y轴上的截距为)0(mm
,设直线l交椭圆于不同点BA,。

（1）求椭圆方程；
（2）求证：对任意的m的允许值，△ABM的内心Ⅰ在定直线2x上。

19、（本小题满分16分）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为
230xy
。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当0x，且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围。

20、（本小题满分16分）
设函数2303xfxxx，数列na满足*1111,,2nnaafnNna且．
⑴ 求数列na的通项公式；
⑵ 设11223344511nnnnTaaaaaaaaaa，若2nTtn对*nN恒成立，
求实数t的取值范围；
⑶ 是否存在以1a为首项，公比为*05,qqqN的数列kna，*kN，使得数列kna中
每一项都是数列na中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列kn的通项公式；若不存
在，说明理由．

D
O
A
B
E
F

第17题
2x

O
A
B

M
y
x
2012届高三数学强化训练四
附加题
21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答时应
写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A、选修4-1：几何证明选讲
如图，已知梯形ABCD为圆内接四边形，AD//BC，过C作该圆的切线，交AD的延长线于E，求证：
ΔABC∽ΔEDC。

B．选修4-2：矩阵与变换
若点A（2，2）在矩阵cossinsincosM对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），求矩阵
M
的逆矩阵．

C．选修4-3：坐标系与参数方程
椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为21，点),(yxP是椭圆上的一个动点，若yx32的
最大值为10，求椭圆的标准方程。

D. 选修4-5：不等式选讲
已知a，b都是正实数，且ab=2。求证：（1+2a）（1+b）≥9。

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤．

22、 （本小题满分10分）
由数字1，2，3，4组成五位数12345aaaaa，从中任取一个．

（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数15jj，至少存在另一个正整数
(15kk
，且)kj，使得jkaa”的概率；
（2）记为组成该数的相同数字的个数的最大值，求的概率分布列和数学期望．

23、（本小题满分10分）
如图，已知抛物线M:)0(42ppyx的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两
条切线，切点分别为,AB,再分别过,AB两点作l的垂线，垂足分别为DC,．
(1)求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标；
(2)若ACN，△BDN，△ANB的面积依次构成等差数列，求此时点N的坐标．