2019高考总复习文数(北师大版)课件：直线与圆、圆与圆的位置关系

自学导引 1．判断圆与圆的位置关系 (1)几何法： O1： 圆 (x－x1)2＋(y－y1)2＝r2(r1＞0)， O2： 圆 (x－x2)2 1 ＋ (y － y2)2 ＝ r 2 (r2 ＞ 0) ， 两 圆 的 圆 心 距 d ＝ |O1O2| ＝ 2 x1－x22＋y1－y22， d＞r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2 相离，如图①所示； d＝r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2外切 ，如图②所示； |r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2相交，如图③所示； d＝|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2内切，如图④所示； d＜|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2 内含，如图⑤所示．
2．圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系． (1)与直线系方程一样，了解一些常见的圆系方程可以帮助我们 简化解题思路． ①同心圆系： 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 同心的圆系方程为 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0.
②相交圆系：过两圆 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与 x2＋y2＋D2x ＋E2y＋F2 ＝0 的交点的圆系方程为(x2 ＋y2 ＋D1x＋E1y＋F1)＋ λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．λ＝－1 时为两圆公共弦 所在直线方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，特别地，两 圆相切时，此方程表示两圆的公切线方程． ③过直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋ E2－4F＞0)的交点的圆系方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋ By＋(1，－5)，过 C1，C2 的直线方程为 ＝ ，即 －5＋1 1＋1 2x＋y＋3＝0.
2x＋y＋3＝0， 由 y＝－x，
得所求圆的圆心为(－3,3)，
|－3－6＋4| 它到 AB 的距离为 d＝ ＝ 5， 5 ∴所求圆的半径为 5＋5＝ 10， ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.

y
解：已知圆心O(0,0),半径r=1，则O到直线的距离
d

m 0 (1) 0 2
2
m 2 (1) 2
O
2
x
m2 1
d r ,即
2
m2 1
解得m 3
1
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二、直线与圆相切
例3.已知直线经过(, )，且与圆: ( − ) +( − ) = 相切，
距离与半径大小
d<r
d=r
d>r
位置关系
谢谢凝听！
2
k
B(x2,y2)
A(x1,y1)
D
O
（2）几何法：勾股定理
弦长 AB 2 r d
2
2
y=kx+b
x
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三、直线与圆相交
2
1．经过点 (3, 2) 的直线 l 与圆 x 2 y 9 交与 P，Q 两点，如果 PQ 4 2 ，则直线 l 的方程
任意一点，求 AB 的最值.
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2
2
1．已知实数 x, y 满足曲线 C 的方程 x y 2 x 2 0 ，则下列选项正确的是（BD）
A． x
B．
2
y 2 的最大值是 3 1
y 1
的最大值是 2 6
x 1
C． x y 3 的最小值是 2 2 3
为
.
7．已知直线 l : m 1 x 2 y m 3 0 与圆 C : x 2 y 2 2 y 15 0 交于 A, B 两点，则 AB 的取值范围

方法总结 处理与圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用.
已知圆 和圆 .
（1） 判断两圆的位置关系；
[解析] 联立方程 消去 ，整理得 ， ①则 ，所以两圆相交.
（2） 求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.
[解析] 两圆作差得 ，所以两圆的公共弦所在直线的方程为 ，由①得 ， ，代入上式得 ， ，所以两圆交点的坐标为 ， ，由两点间的距离公式得 ，所以所求弦长为 .
新知生成
1.将两个相交的非同心圆的方程 相减，可得一直线方程，该直线经过两圆的公共点.经过两个相交圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.
2.两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.
2.圆与圆位置关系的判定
（1）几何法：若两圆的半径分别为 ， ，两圆的圆心距为 ，则两圆的位置关系的判
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
与 ， 的关系
_____________
_____________
______________________
______________
__________________
定方法如下：
（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
√
2.圆 和圆 的位置关系为( ).A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
B
[解析] 由题意得圆 的圆心坐标为 ，半径 ；圆 的圆心坐标为 ，半径 .因为 ，所以两圆相交.

自学导引 1．判断圆与圆的位置关系 (1)几何法： O1： 圆 (x－x1)2＋(y－y1)2＝r2(r1＞0)， O2： 圆 (x－x2)2 1 ＋ (y － y2)2 ＝ r 2 (r2 ＞ 0) ， 两 圆 的 圆 心 距 d ＝ |O1O2| ＝ 2 x1－x22＋y1－y22， d＞r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2 相离，如图①所示； d＝r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2外切 ，如图②所示； |r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2相交，如图③所示； d＝|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2内切，如图④所示； d＜|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2 内含，如图⑤所示．
规律方法
判断两圆的位置关系有两种方法：一是解由两圆方
程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离；若方程组 有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组有两组不同的实 数解， 则两圆相交； 二是通过讨论两圆半径与圆心距的关系． 第 一种方法在计算上比较繁琐，因此一般采用第二种方法．
【变式 1】 当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2＋y2＋4x－6y＋12 ＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0 相交、相切、相离？ 解 将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k， 圆 C1 的圆心为 C1(－2,3)，半径 r1＝1； 圆 C2 的圆心为 C2(1,7)，半径 r2＝ 50－k(k＜50)． 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5.
3．两圆相交时公共弦长的求法． (1)若两圆相交时， 把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的 公共弦所在的直线方程． (2)求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再 结合勾股定理求弦长．