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第四章 § 4.2 直线、圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系学习目标1.理解圆与圆的位置关系的种类；2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系；3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点 两圆位置关系的判定思考1 圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？答案 圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含.几何方法判断圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；(2)当d＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含.思考2 已知两圆C：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋1E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案 联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含.题型探究 重点难点 个个击破类型一 两圆位置关系的判定例1 a为何值时，两圆C：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋12x－2ay＋a2－3＝0(1)外切；(2)相交；(3)外离.跟踪训练1 (1)圆x2＋y2－2y＝0与圆(x－4)2＋(y＋2)2＝4的位置关系是( )A A.外离 B.相交 C.外切 D.内切解析 圆的方程x2＋y2－2y＝0化为x2＋(y－1)2＝1，∴两圆圆心分别为(0,1)，(4，－2)由d＝5>r1＋r2＝1＋2，∴两圆外离.D (2)已知0<r< ＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )A.内切B.外切C.内含D.相交解析两圆的圆心分别为(0,0)，(1，－1)，∴两圆相交.类型二 两圆相交的问题例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)判断两圆的位置关系；解 将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，－r2<|C1C2|<r1＋r2，∴r1∴两圆相交.(2)求公共弦所在的直线方程；解 将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.解 方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组直线x －2y ＋4＝0的距离(3)求公共弦的长度.跟踪训练2 (1)两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x－y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为____.解析 由题意知：直线AB 与直线x －y ＋c ＝0垂直，AB 的中点坐标为(3,1)，AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上.∴3－1＋c ＝0，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝5－2＝3.3∴k AB ×1＝－1，(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长.解 由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.圆C3的圆心为(1,1)，类型三 两圆相切问题例3 (1)已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36方程是__________________________________________.解析 设圆C的半径为r，当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.(2)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：①m取何值时两圆外切.②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？跟踪训练3 若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于( )A.21B.19C.9D.－11解析 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.∵C1，C2两圆的圆心分别为(0,0)，(3,4)，C则d＝r1＋r2，达标检测 41231.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )BA.内切B.相交C.外切D.外离解析 圆x2＋y2－1＝0的圆心C(0,0)，半径r1＝1，1圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心C2(2，－1)，半径r2＝3，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交.2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )B A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.D3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )A.±3B.±5C.3或5D.±3或±5当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5，当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.4.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直C平分线的方程是( )A.x＋y＋3＝0B.2x－y－5＝0C.3x－y－9＝0D.4x－3y＋7＝0解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.规律与方法1.判断两圆的位置关系的方法：(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.(2)依据连心线的长与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系.2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.返回。
