无锡一中2012-2013学年高二(下)期中数学试卷(文科)
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1 2012-2013学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，把结果直接填在题中的横线上）
1．（5分）命题“∀x＞0，x2﹣3x+2＜0”的否定是 ∂x＞0，x2﹣3x+2≥0 ．
考点： 命题的否定；全称命题．
专题： 应用题．
分析： 命题“对∀x∈R，x3﹣x2+1＜0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．
解答： 解：命题“对∀x∈R，x3﹣x2+1＜0”是全称命题，否定时将量词∀x＞0改为∂x＞0，＜改为≥
故答案为：∂x∈R，x3﹣x2+1≥0
点评： 对命题“∂x∈A，P（X）”的否定是：“∀x∈A，¬P（X）”；
对命题“∀x∈A，P（X）”的否定是：“∂x∈A，¬P（X）”，
即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全称命题的否定是全称命题
2．（5分）已知复数z满足z•（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），则复数z的虚部为 ﹣1 ．
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 计算题．
分析： 把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算求解．
解答：
解：由z•（1+i）=1﹣i，得．
所以复数z的虚部等于﹣1．
故答案为﹣1．
点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）“x3=x”是“x=1”的 必要不充分 条件．
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题： 探究型．
分析： 利用充分条件和必要条件的定义判断．
解答： 解：由x3=x，得x3﹣x=0，
即x（x2﹣1）=0，
所以解得x=0或x=1或x=﹣1．
所以“x3=x”是“x=1”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．
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4．（5分）已知f（x﹣1）=2x+3，f（m）=6，则m= ﹣ ．
考点： 函数的值；函数解析式的求解及常用方法．
专题： 计算题．
分析： 先用换元法，求得函数f（x）的解析式，再由f（m）=6求解．
解答： 解：令t=x﹣1，
∴x=2t+1
f（t）=4t+5
又∵f（m）=6
∴4m+5=6
∴m=
故答案为：
点评： 本题主要考查用换元法求函数解析式已知函数值求参数的值．
5．（5分）函数的定义域为 （1，3] ．
考点： 函数的定义域及其求法．
专题： 计算题．
分析： 由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式即可得到答案．
解答： 解：由1﹣2log4（x﹣1）≥0，得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3．
所以原函数的定义域为（1，3]．
故答案为（1，3]．
点评： 本题考查了定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，关键是要保证对数式本身有意义，是基础题．
6．（5分）已知三个数a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则a，b，c从小到大的顺序为 c＜＜b＜a ．
考点： 有理数指数幂的化简求值；不等关系与不等式．
专题： 计算题．
分析： 利用指数函数的运算性质比较a和b的大小，由对数式的运算性质可知c＜0，由此答案可求．
解答： 解：因为a=60.7＞60=1，
b=0.76＜0.70=1，且b＞0，
c=log0.76＜0，
所以c＜b＜a．
故答案为c＜b＜a．
点评： 本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数的单调性，训练了对数式的符号判断，
3 是基础题．
7．（5分）函数的值域为 [1，+∞） ．
考点： 函数的值域．
专题： 计算题．
分析： 令=t，则t≥0，可得x=t2+1，代入已知式子可得关于t的二次函数，由二次函数区间的最值可解．
解答： 解：由题意令=t，则t≥0，
可得x=t2+1，代入已知式子可得
y=2t2+t+1=，
函数为开口向上的抛物线的部分，对称轴为t=，
故可得函数y在t∈[0，+∞）单调递增，
故当t=0时，函数取最小值1，
故原函数的值域为：[1，+∞）
故答案为：[1，+∞）
点评： 本题考查函数值域的求解，换元化为二次函数区间的最值是解决问题的关键，属基础题．
8．（5分）已知定义在R上的奇函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，则不等式f（2x﹣1）＞0的解集为 ．
考点： 奇偶性与单调性的综合．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 根据函数的奇偶性、单调性可作出函数的草图及函数所的零点，根据图象可对不等式等价转化为具体不等式，解出即可．
解答： 解：因为f（x）在（0，+∞）上单调递增且为奇函数，
所以f（x）在（﹣∞，0）上也单调递增，
f（﹣1）=﹣f（1）=0，作出草图如下所示：
由图象知，f（2x﹣1）＞0等价于﹣1＜2x﹣1＜0或2x﹣1＞1，
解得0＜x＜或x＞1，
所以不等式的解集为（0，）∪（1，+∞），
故答案为：（0，）∪（1，+∞）．
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点评： 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合及其应用，考查不等式的求解，属中档题．
9．（5分）已知复数z满足|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最大值是 5 ．
考点： 复数求模．
专题： 计算题．
分析：
由复数模的几何意义可知复数z在以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆周上，所以|z﹣2﹣2i|的最大值是（﹣2，2）到（2，2）的距离加上半径1．
解答： 解：由|z+2﹣2i|=1，可知
复数z在以（﹣2，2）为圆心，以1为半径的圆周上，
所以|z﹣2﹣2i|的最大值是（﹣2，2）到（2，2）的距离加上半径1，
等于2﹣（﹣2）+1=5．
故答案为5．
点评： 本题考查了复数模的几何意义，考查了复数模的求法，体现了数形结合的解题思想，是基础题．
10．（5分）对于函数f（x），在使f（x）≥M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最大值称为函数f（x）的“下确界”，则函数的下确界为 0.5 ．
考点： 函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．
专题： 分类讨论．
分析：
利用判别式法求函数的下确界．
解答：
解：设函数y=，则（y﹣1）x2+2yx+y﹣1=0．
当y﹣1≠0时，△=4y2﹣4（y﹣1）（y﹣1）≥0，解得且y≠1．
当y﹣1=0时，x=0成立，∴．∴函数的下确界为0.5．
故答案为：0.5．
5 点评：
函数的下确界就是这个函数的最大值．
11．（5分）若函数f（x）=x2﹣2|x|﹣2a﹣1（x∈R）有四个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
考点： 函数的零点与方程根的关系．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到a的范围．
解答： 解：令f（x）=x2﹣2|x|﹣2a﹣1=0，
得2a=x2﹣2|x|﹣1．
作出y=x2﹣2|x|﹣1与y=2a的图象，如图．
要使函数f（x）=x2﹣2|x|﹣2a﹣1有四个零点，
则y=x2﹣2|x|﹣1与y=2a的图象有四个不同的交点，有﹣2＜2a＜﹣1，
所以．
故答案为：
点评： 本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点，属中档题．
12．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1、x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：
①若函数f（x）是f（x）=x2（x∈R），则f（x）一定是单函数；
②若f（x）为单函数，x1、x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；
③若定义在R上的函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数；
④若函数f（x）是周期函数，则f（x）一定不是单函数；
⑤若函数f（x）是奇函数，则f（x）一定是单函数．
其中的真命题的序号是 ②④ ．
6 考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用单函数的定义分别对五个命题进行判断，即可得出正确结论．
解答： 解：①若函数f（x）是f（x）=x2，则由f（x1）=f（x2）得，得到x1=±x2，所以①不是单函数，所以①错误．
②若f（x）为单函数，则f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），所以②正确．
③当函数单调时，在单调区间上必有f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，但在其他定义域上，不一定是单函数，所以③错误．
④若函数f（x）是周期函数，则满足f（x1）=f（x2），则有x1=kT+x2，所以④正确．
⑤若函数f（x）是奇函数，比如f（x）=sinx，是奇函数，则满足f（x1）=f（x2），则x1，x2，不一定相等．所以⑤错误．
故答案为：②④．
点评： 本题主要考查函数的性质的推导和判断，考查学生分析问题的能力，综合性较强．
13．（5分）（理科）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为 0 ．
考点： 函数的值．
专题： 计算题．
分析： 由题意可得，f（2013）=f（2012）﹣f（2011）=f（2011）﹣f（2010）﹣f（2011）=﹣f（2010），逐步代入可得f（2013）=f（2007），结合此规律可把所求的式子转化为f（0），即可求解
解答： 解：由题意可得，f（2013）=f（2012）﹣f（2011）=f（2011）﹣f（2010）﹣f（2011）=﹣f（2010）
而f（2010）=f（2009）﹣f（2008）=f（2008）﹣f（2007）﹣f（2008）=﹣f（2007）
∴f（2013）=f（2007）=f（2001）=…=f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=0
故答案为：0
点评： 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是发现其周期性的规律，进而转化求解
14．（5分）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间，使得{y|y=f（x），x⊆[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是 （0，4] ．
考点： 函数的定义域及其求法；函数的值域．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 首先分析出函数在区间[a，b]上为增函数，然后由题意得到
