2019高考数学一轮复习第9章解析几何第2课时两直线的位置关系练习理201811024288

第 2课时 两直线的位置关系

1．(2018·广东清远一模)已知直线 l

1：ax＋2y＋1＝0与直线 l

2：(3－a)x－y＋a＝0，若 l

1∥

l

2，则 a的值为( )

A．1 B．2

C．6 D．1或 2

答案 C

解析 ∵直线 l

1：ax＋2y＋1＝0与直线 l

2：(3－a)x－y＋a＝0的斜率都存在，且 l

1∥l

2，∴k

1

a

＝k

2，即－ ＝3－a，解得 a＝6.故选 C.

2

2．(2018·山西忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0，2)与点(4，0)关于直线 l对称，则直

线 l的方程为( )

A．x＋2y－2＝0 B．x－2y＝0

C．2x－y－3＝0 D．2x－y＋3＝0

答案 C

解析 因为点(0，2)与点(4，0)关于直线 l对称，所以直线 l的斜率为 2，且直线 l过点(2，

1)．故选 C.

3．若直线 mx＋4y－2＝0与直线 2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数 n的值为( )

A．－12 B．－2

C．0 D．10

答案 A

解析 由 2m－20＝0，得 m＝10.

由垂足(1，p)在直线 mx＋4y－2＝0上，得 10＋4p－2＝0.

∴p＝－2.

又垂足(1，－2)在直线 2x－5y＋n＝0上，则解得 n＝－12.

4．若 l

1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l

2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数 m的值是( )

A．m＝1或 m＝－2 B．m＝1

C．m＝－2 D．m的值不存在

答案 A

1 1＋m m－2 解析 方

法一：据已知若 m＝0，易知两直线不平行，若 m≠0，则有 ＝ ≠ ⇒m＝1或 m

m 2 6

＝－2.

方法二：由 1×2＝(1＋m)m，得 m＝－2或 m＝1.

当 m＝－2时，l

1：x－y－4＝0，l

2：－2x＋2y＋6＝0，平行．

当 m＝1时，l

1：x＋2y－1＝0，l

2：x＋2y＋6＝0，平行．

15．对任意实数 a，直线 y＝ax－3a＋2所经过的定点是( )

A．(2，3) B．(3，2)

C．(－2，3) D．(3，－2)

答案 B

x－3＝0， x＝3，

解析 直线 y＝ax－3a＋2变为 a(x－3)＋(2－y)＝0.又 a∈R，∴{

2－y＝0，)

解得{

y＝2，)

得

定点为(3，2)．

6．(2017·保定模拟)分别过点 A(1，3)和点 B(2，4)的直线 l

1和 l

2互相平行且有最大距离，

则 l

1的方程是( )

A．x－y－4＝0 B．x＋y－4＝0

C．x＝1 D．y＝3

答案 B

解析 连接 AB，当 l

1与 l

2分别与 AB垂直时，l

1与 l

2之间有最大距离且 d＝|AB|，此时 k

AB＝

1，∴kl

1＝－1，则 y－3＝－(x－1)，即 x＋y－4＝0.

7．已知点 P在直线 3x＋y－5＝0上，且点 P到直线 x－y－1＝0的距离为 2，则点 P的坐标

为( )

A．(1，2) B．(2，1)

C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2)

答案 C

|x－5＋3x－1|

解析 由已知可得 P(x，5－3x)，则点 P到直线 x－y－1＝0的距离为 d＝ ＝

12＋（－1）2

2，则|4x－6|＝2，所以 4x－6＝±2，所以 x＝1或 x＝2，所以点 P的坐标为(1，2)或(2，－

1)．

8．点 A(1，1)到直线 xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是( )

A．2 B．2－ 2

C．2＋ 2 D．4

答案 C

|cosθ＋sinθ－2| π

解析 由点到直线的距离公式，得 d＝ ＝2－ 2sin(θ＋ )，又 θ∈R，

cos2θ＋sin2θ 4

∴d

max＝2＋ 2.

9．光线沿直线 y＝2x＋1射到直线 y＝x上，被 y＝x反射后的光线所在的直线方程为( )

1 1 1

A．y＝ x－1 B．y＝ x－

2 2 2

1 1 1

C．y＝ x＋ D．y＝ x＋1

2 2 2

答案 B

2y＝2x＋1， x＝－1，

解析 由{

y＝x， )

得{

y＝－1，)

即直线过(－1，－1)．

又直线 y＝2x＋1上一点(0，1)关于直线 y＝x对称的点(1，0)在所求直线上，

y－0 x－1 x 1

∴所求直线方程为 ＝ ，即 y＝ － .

－1－0 －1－1 2 2

10．若曲线 y＝x4的一条切线 l与直线 x＋4y－8＝0垂直，则 l的方程为( )

A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0

答案 A

解析 令 y′＝4x3＝4，得 x＝1，∴切点为(1，1)，l的斜率为 4.故 l的方程为 y－1＝4(x－

1)，即 4x－y－3＝0.

11．(2017·唐山一模)双曲线 x2－y2＝4左支上一点 P(a，b)到直线 y＝x的距离为 2，则 a＋

b＝( )

A．2 B．－2

C．4 D．－4

答案 B

|a－b|

解析 利用点到直线的距离公式，得 ＝ 2，即|a－b|＝2，又 P(a，b)为双曲线左支上

2

一点，故应在直线 y＝x的上方区域，所以 a－b<0，所以 a－b＝－2.因为 P(a，b)在双曲线上，

所以 a2－b2＝4，所以(a＋b)(a－b)＝4，所以 a＋b＝－2.

12．点 P是曲线 y＝x2－lnx上任意一点，则点 P到直线 y＝x＋2的最小距离为( )

2

A. B.

2 2

C．2 2 D．2

答案 B

解析 当点 P为直线 y＝x＋2平移到与曲线 y＝x2－lnx相切的切点时，点 P到直线 y＝x＋2

1 1 的

距离最小．设点 P(x

0，y

0)，f(x)＝x2－lnx，则 f′(x

0)＝1.∵f′(x)＝2x－ ，∴2x

0－ ＝

x x0

2

1，又 x

0>0，∴x

0＝1，∴点 P的坐标为(1，1)，此时点 P到直线 y＝x＋2的距离为 ＝ ，

2

2

故选 B.

13．(2018·云南师大附中适应性月考)已知倾斜角为 α 的直线 l与直线 m：x－2y＋3＝0垂直，

则 cos2α＝________．

3

答案 －

5

1

解析 直线 m：x－2y＋3＝0的斜率是 ，∵l⊥m，∴直线 l的斜率是－2，故 tanα＝－2，∴

2 π 2π 2 5 5 5 3

2 3 5 5 5 5

1

14．若函数 y＝ax＋8与 y＝－ x＋b的图像关于直线 y＝x对称，则 a＋b＝________．

2

答案 2

解析 直线 y＝ax＋8关于 y＝x对称的直线方程为 x＝ay＋8，

1

a＝－2，

所以 x＝ay＋8与 y＝－2x＋b为同一直线，故得{

b＝4. )

所以 a＋b＝2.

15．已知点 M(a，b)在直线 3x＋4y＝15上，则 a2＋b2的最小值为________．

答案 3

解析 ∵M(a，b)在直线 3x＋4y＝15上，∴3a＋4b＝15.而 a2＋b2的几何意义是原点到 M点

15 的距离

|OM|，所以( a2＋b2)

min＝ ＝3.

32＋42

16．已知直线 l过点 P(3，4)且与点 A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线 l的方程为________．

答案 2x＋3y－18＝0或 2x－y－2＝0

解析 设所求直线方程为 y－4＝k(x－3)，即 kx－y＋4－3k＝0，由已知，得

|－2k－2＋4－3k| |4k＋2＋4－3k|

＝ .

1＋k2 1＋k2

2

∴k＝2或 k＝－ .

3

∴所求直线 l的方程为 2x＋3y－18＝0或 2x－y－2＝0.

17．在△ABC 中，BC边上的高所在直线 l

1的方程为 x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线 l

2

的方程为 y＝0，若点 B的坐标为(1，2)，求点 A，C的坐标．

答案 A(－1，0)，C(5，－6)

x－2y＋1＝0， x＝－1，

解析 如图，设 C(x

0，y

0)，由题意知 l

1∩l

2＝A，则{

y＝0 )

⇒{

y＝0. )

即 A(－1，0)．

又∵l

1⊥BC，∴k

BC·kl

1＝－1.

－1 －1 ∴k

BC＝

＝ ＝－2.

kl1 1

2

∴由点斜式可得 BC的直线方程为 y－2＝－2(x－1)，即 2x＋y－4＝0.

又∵l

2：y＝0(x轴)是∠A 的平分线，

∴B关于 l

2的对称点 B′在直线 AC上，易得 B′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线 AC