直方图均衡化处理灰阶图像

武汉理工大学《专业综合课程设计》说明书

1 目录

摘要................................................................................................................................. I

1 引言............................................................................................................................ 1

2 直方图均衡化原理及过程........................................................................................ 3

2.1 直方图均衡化原理.......................................................................................... 3

2.2 直方图的均衡化.............................................................................................. 4

2.3 直方图均衡化的算法步骤.............................................................................. 5

3 程序设计.................................................................................................................... 6

利用直方图均衡化和直方图规定化对图像进行增强

利用直方图均衡化和直方图规定化对图像进行增强

4.1 利用直方图均衡化对图像进行增强

通过灰度变换将一幅图像转换为另一幅具有均衡直方图的图像，即在一定灰度范围内具有相同的象素点数的图像的过程。其“中心思想”是把原始图像的灰度直方图从比较集中的某个灰度区间变成在全部灰度范围内的均匀分布。直方图均衡化就是对图像进行非线性拉伸，重新分配图像像素值，使一定灰度范围内的像素数量大致相同。直方图均衡化就是把给定图像的直方图分布改变成“均匀”分布直方图分布。

主要缺点：

1、变换后图像的灰度级减少，某些细节消失；

2、某些图像，如直方图有高峰，经处理后对比度不自然的过分增强。 算法如下：

为讨论方便，以r 和s 分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图修正后的图像灰度。即1,0≤≤s r

在[0,1]内设有变换

S=T(r)

且该函数单调递增，1)(0≤≤r T ,于是有反变换)(1s T r -=

有概率论知，如果已知随即变量r 的概率密度)(r p r ,而随机变量s

是r 的函数。则s 的概率密度)(s p s 可以有)(r p r 求出。

[])()()()()(1s T ds d r p ds dr r p dr r p ds d s p r r r r s -∞-===?

从上式可以看出通过变换函数)(r T 可以控制图像灰度级的概率密度函数，从而改变图像灰度层次，这就是直方图修正技术的基础。

因为归一化规定 1)(=s p s

有1式有 dr r p ds r )(=

两边积分得 dr r p r T s r

r )()(0?== 上式就是所求得的变换函数。它表明当变换函数)(r T 是原图像直方图累积分布函数时，能达到直方图均衡化的目的。

离散形式可表示为：

∑∑

=====k

i i k i i r k k n n r p r T s 00)()(

图⽚直⽅图均衡化

对于输⼊像素点r和输出像素点s都在灰度级 [0,L-1]之间，r = 0 代表⿊⾊， r = L - 1代表⽩⾊。对于r和s的变换形式为：

r和s满⾜⼀下条件：

利⽤反函数来从s推r时，有以下定义：

r和s满⾜条件：

条件a是为了保证输出的灰度级不少于输⼊，这是为了防⽌⼆义性。条件b是为了保证输出的灰度范围和输⼊的灰度范围相同。条件a`也是为

了保证s到r 也是⼀⼀对应的，防⽌⼆义性。实验中采⽤8bit整性的像素分布，不⼀定满⾜这个情况。

在实验中会类似左边的图像，出现多个输⼊的r,输出同⼀个s值。⽽在理论的约束上应该和右图相似，r与s⼀⼀对应。

对于⼀副灰度图像，

和

分别代表输⼊图像和输出图像的像素点的概率分布，我们简称为PDF。对于已知的和满⾜公式：

（1）

直⽅图均衡化的采⽤的公式如下：

（2）

其中w是积分假变量，L-1是最⼤的灰度级。

为什么要这么做呢。由莱布尼兹准则，我们知道上限的定积分的导数是被积函数在该上限的值。

（3）

我们将的结果带⼊(1)中，

（4）

2 结论

使⽤（2）公式后，输出图像的像素点s分布是均匀的，PDF为1/(L-1)。

3 离散直⽅图均衡化采⽤公式

对于离散的直⽅图均衡化采⽤的公式为：

（5）

其中MN是总的像素点个数

编码实现

1 统计输⼊的灰度图像的像素信息

void calHistInfo(const Mat& src, vector& calVec, vector& calVecBefor,unsigned int LMax){

int width = src.cols;

int height = src.rows;

int piexl = 0;

for (int h = 0; h < height; h++)

{

for (int w = 0; w < width; w++) {

piexl = (int)src.at(h, w);

calVec[round(piexl)] += 1;

1 直方图均衡化计算

直方图均衡化是基于灰度直方图的图像增强的一种方法，还有另外一种方法是直方图规定化。

均衡化的目的是将原始图像的直方图变为均衡分布的的形式，将一非均匀灰度概率密度分布图像，通过寻求某种灰度变换，变成一幅具有均匀概率密度分布的目的图像。

具体原理如下：

1、连续灰度级：

假定：r代表灰度级，P(r)为概率密度函数。r值已经过归一化处理，灰度值范围在[0,1]之间。r与P(r)之间的关系如下：

非均匀分布的连续灰度直方图

均衡化的目的是将上面的非均匀分布变成如下图所示的均匀分布：

2

均匀分布的连续灰度直方图

我们接下来要做的是要找到一种变换S=T(r)使直方图变平直，为使变换后的灰度仍保持从黑到白的单一变化顺序，且变换范围与原先一致，以避免整体变亮或变暗，需要有如下规定：

（1）在0 <= r <= 1中，T(r)是单调递增函数，且0 <= T(r) <= 1；

（2）反变换r=(s)，(s)也为单调递增函数，且0 <= s <= 1。

3

直方图均衡化变换公式推导图示

因为灰度变换不影响像素的位置分布，而且也不会增减像素数目，所以有如下的推导公式：

2、离散灰度级：

设一幅图像的像素总数为n，分为L个灰度级，其中：

：表示第K个灰度级出现的个数。

：第K个灰度级出现的概率。

（0<=<=1, k=0,1,2,...,L-1），公式如下： 4 计算的基本步骤如下：

（1）求出图像中所包含的灰度级,一般都经过归一化处理，范围在[0,1]之间，也可以定在[0,L-1]之间。