数学归纳法经典例题及答案

例1．用数学归纳法证明：

1212121751531311nnnn．

请读者分析下面的证法：

证明：①n=1时，左边31311，右边31121，左边=右边，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即：

1212121751531311kkkk．

那么当n=k+1时，有：

3212112121751531311kkkk

3211211211217151513131121kkkk

322221321121kkk

1121321kkkk

这就是说，当n=k+1时，等式亦成立．

由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：当n=k+1时．

3212112121751531311kkkk

3212112kkkk

321211232121322kkkkkkkk

1121321kkkk

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，

例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)

都成立，并证明你的结论．

分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性．

解：将n=1，2，3分别代入等式得方程组．

60322426321211aaaaaa，

数学归纳法经典例题及答案(word版可编辑修改)

1 数学归纳法经典例题及答案(word版可编辑修改)

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数学归纳法经典例题及答案(word版可编辑修改)

2 数学归纳法（2016.4.21）

一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：

（1)证明当n 取第一个值0n （如01n或2等）时结论正确；

（2）假设当0(N,)nkkkn 时结论正确，证明1nk时结论也正确．

综合(1）、(2)，……

注意:数学归纳法使用要点： 两步骤，一结论。

二、题型归纳:

题型1。证明代数恒等式

例1．用数学归纳法证明:

1212121751531311nnnn

证明：①n=1时，左边31311，右边31121，左边=右边，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即：

1212121751531311kkkk．

当n=k+1时．

3212112121751531311kkkk

3212112kkkk

321211232121322kkkkkkkk 数学归纳法经典例题及答案(word版可编辑修改)

3 1121321kkkk

数学归纳法（2016.4.21）之杨若古兰创作

一、用数学归纳法证实与正整数有关命题的步调是：

（1）证实当n 取第一个值0n （如01n或2等）时结论准确；

（2）假设当0(N,)nkkkn 时结论准确，证实1nk时结论也准确．

综合（1）、（2），……

留意：数学归纳法使用要点：两步调,一结论.

二、题型归纳：

例1．用数学归纳法证实：

证实：①n=1时，右边31311，右侧31121，右边=右侧，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即：

1212121751531311kkkk．

当n=k+1时．

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，

由①、②可知，对一切天然数n等式成立．

例2．证实不等式nn2131211 (n∈N)．

证实：①当n=1时，右边=1，右侧=2．

右边

②假设n=k时，不等式成立，即kk2131211． 那么当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意天然数n都成立．

说明：这里要留意，当n=k+1时，要证的目标是

1211131211kkk，当代入归纳假设后，就是要证实：

12112kkk．

认识了这个目标，因而就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．

例3 (x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．

(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．

(2)设bn＝a22n－3，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证实：当n≥2时，Tn＝n(n＋1)(n－1)3.

解：(1)当n＝5时，

原等式变成(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5

令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243. (2)由于(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝Cn2·2n－2

数学归纳法⼀（讲解,练习及答案）

数学归纳法（Ⅰ）

数学归纳法的定义：

⼀般地，证明⼀个与正整数ｎ有关的命题，可按下列步骤进⾏：

（1）（归纳奠基）证明当n取第⼀个值n0时，命题成⽴；

（2）（归纳递推）假设时，命题成⽴，证明当时，命题也成⽴．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成⽴．其证明的⽅法叫做数学归纳法．

说明：1、适⽤范围：常⽤来证明与⾃然数有关的命题．

2、归纳奠基与归纳递推这两步缺⼀不可．

（1）缺少第⼆步归纳递推致错举例：例如：⼀个数列的通项公式是，容易验证

，如果由此作出结论对于任何，都成⽴，那就是

错误的，事实上．可见，只有归纳奠基，⽽没有归纳递推得到的结论是靠不住的．（2）缺少第⼀步归纳奠基致错举例：例如：证明等式时，假设n＝k时等式成⽴，即．

那么．

这就是说当时等式也成⽴．但是当n＝1时，左边＝2，右边＝3，显然等式不成⽴．3、起始值n0不⼀定等于1．

4、注意从k到k＋1的跨度，即k到k＋1增加了多少项．

例1、⽤数学归纳法证明：n∈N*时，

证明：

（1）当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝＝左边，所以等式成⽴．

（2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成⽴，即有＋＋…＋＝，

则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋

＝＋＝＝＝＝

所以当n＝k＋1时，等式也成⽴．

∴由（1）（2）得等式成⽴．

例2、试证：当n为正整数时，能被64整除．

证明：

（1）当n＝1时，f（1）＝34－8－9＝64，能被64整除．

（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，f（k）＝32k＋2－8k－9能被64整除．

当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32（k＋1）＋2－8（k＋1）－9

＝9（32k＋2－8k－9）＋9×8k＋9×9－8（k＋1）－9

＝9（32k＋2－8k－9）＋64（k＋1）．

即f(k＋1)能被64整除．∴由（1）（2）得所求证成⽴．

例3、平⾯内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且⽆三个圆交于⼀点，求证：这n个圆将平⾯分成n2－n＋2个部分．