人教版八年级数学下册第十九章一次函数的应用专题

一次函数的应用

题型一：一次函数与方程（组）和不等式

解二元一次方程组

y a1x b1

a1 ≠ a2 y a2x b2 求一次函数 y1 a1x b1 与

y2 a2x b2 图象的 交点坐标

从图象上看 两条直线 y1 a1x b1 与 y2

a2x b2 的交点

解一元一次不等式

ax b 0 或 ax b 0 a ≠

0 可转化为 一次函数 y ax b 求当

y 0或 y 0 时 x 的取值范围

当 y 0 时，直线上的 点在 x 轴上方 y 0 时，直线上的点 在 x 轴下方

例题精讲

，自变量 x 时，函数 y 2x 20 的值为 0.

y x 1

⑵ 直线 y x 1和 y x 3 的位置关系是 ，由此可知方程组 解的情

y x 3 思路导航

解一元一次方程 ax b 0 a 0 可转化为 一次函数 y ax b 当 y

0 时，求 x 的值 从图象上看 确定直线 y ax b 与

x 轴交点的横坐标

可转 化 为

从图象上看

解一元一次不等式 a1x b1 a2x b2 a1

≠ a2 可转化为 一次函数 y1 a1x b1

与 y2 a2x b2 ，求当

y1 y2 时 x 取值范围 从图象上看 以交点为界限， 直线

l1 位于直线 l2 上方的那

部分图象

引例】 ⑴ 方程 2x 20 0 的解为 2

况为 ___ .

y x 1

⑶ 方程组 的解为 ______________ ，由此可知直线 y1 x 1与 y2 x 2 的交点坐标为

y x 2

① 当 x 时y1≥ 0，当 x 时， y2 0

② 当x 时， y1 y2 ，当 x 时， 1 y1 y2

3 x

⑴ x 10 ， 10； ⑵平行， 无解； ⑶ 2 ，

1 y2 解析】 在同一直角坐标系中画出⑶中 y1与 y2 的图象，通过观察图象，填空：

3，1

，

22 典题精练

例 1 】 在一次蜡烛燃烧实验中， 甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的 高度 y cm 与燃烧时间 x h 之间的关系如图(实线为甲，

虚线为乙)，请根据图上信息，回答下列问题：

⑴ 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是多少？从点燃到燃

尽所用的时间分别是多少？

⑵ 分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 的函数关系式；

⑶ 燃烧多久后，甲、乙两根蜡烛的高度相等？在什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡

烛高？什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡烛低？

解析】 ⑴ 甲乙的高度分别为 25cm ，30cm ；时间分别为 2.5h ，2h .

⑵ 甲： y 10x 25(0≤ x ≤ 2.5)

乙： y 15x 30(0≤ x≤ 2)

⑶ 联立甲乙的解析式，求得方程组的解为

∴燃烧 1 小时的时候，甲乙高度相x1

y 15

1 小时之后，甲比乙高； 1 小时之前， 22

4

甲比乙低 .

例 2】 ⑴ 如图，直线 y kx b 与坐标轴交于 A（ 3 ，0）， B（0，5）两点，

则不等式 kx b 0 的解集为 _________________ . （海淀期末试题）

⑵如图，已知直线 y ax b 与直线 y x c 的交点的横坐标为 1， 根据图象有下列四个结论：

① a 0； ②c 0；

③对于直线 y x c 上任意两点 A xA ，yA 、

B xB ，yB ，若

xA xB ，则 yA yB ； ④ x 1 是不等式 ax b x c 的解集．

其中正确的结论是（ ）

解析】 ⑴ x 3 ⑵ C

1 ⑶ 1 x 2 ，此题要求学生补上 y 1 x的图象，然后利用图象法来解不等式，这样才 2

能体现一种函数思想 . 当然，也可以用待定系数法求解析式，然后解不等式组，但 是较为麻烦 .

题型二：一次函数的实际应用

思路导航

一次函数实际应用题的命题形式多样， 可以大致归为以下几类： ⑴ 方案设计问题

（物资调运、 方案比较）；⑵ 分段函数问题（分段价格、几何动点） ；⑶解读图象（单个函数图象、多个函数图 象）。 ⑷一次函数多种变量及其最值问题。这些问题都渗透着函数的方法和思想，其中一次函数 多种变量及其最值是一个重难点，解决此问题的窍门是 —— 列表，详见例题．

例题精讲

【引例】 密 码学与数学是有关系的． 某校初二一班数学兴趣小组经过研究实验， 用所学的一次函 数知识制作了一种密钥的编制程序．他们首先设计了一个 “字母 —— 明码对照表 ”：

字母 A B C D E F G H I J K L M

明码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

字母 N O P Q R S T U V W X Y Z A ．①② B．①③ C．①④ D．③④

（实验中学期末） ⑶如图，直线 y kx b 经过 A 2 ，1 ，B 1， 2 两点，则不等式

1 x kx b 2 2 的解集为 ____

y

明码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 6

例如，以 y 3x 11 为密钥，将 “努力”二字进行加密转换后得到下表：

汉字 努 力

拼音 N U L I

明码： x 14 21 12 9

密钥： y 3x 11

密码： y 53 74

因此， “努 ”字加密转换后的结果是 “5374”．

问题：

⑴请你求出当密钥为 y 3x 11时， “力”字经加密转换后的结果；

⑵为了提高密码的保密程度， 需要频繁地更换密钥． 若“努力 ”二字用新的密钥加密转换后得

到下表：

汉字 努 力

拼音 N U L I

明码： x 14 21 12 9

密钥： y kx b

密码： y

91 73

请求出这个新的密钥，并直接写出 “努”字用新的密钥加密转换后的结果． （东城期末）

解析】 ⑴ 当x 12， y 3 12 11 47 ；当 x 9 ， y 3 9 11 38

∴“力 ”字转换后为 “4738”

⑵ 由“力 ”字的转换可知，当 x

12 ， y 91；当 x 9 ， y 73 ，代入 y kx b 中，得

91 12k b k 6

解得 ，

73 9k b b 19

∴y 6x 19

当x 14时， y 103 ；当 x 21， y 145

，

∴“努 ”转换后为 “103145”

典题精练

例 3】 王鹏和李明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是 4

千米．王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏从原路回到学校时，李明刚好到达图书馆．图 中折线 O A B C 和线段 OD 分别表示两人离学校的路程 s（千米） 与所经过的时间 t （分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

⑴王鹏在图书馆查阅资料的时间为 分钟，王鹏返回学校的速度为 千米 /分钟；

⑵请求出李明离开学校的路程 s（千米）与所经过的时间 t （分钟）之间的函数关系式；

⑶当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ （西城期末）

∴s 4 t．

45 解析】 王鹏

⑴ 15 ，

15

⑵ 设线段 OD 所在直线为 s kt(k 0)

∵ 点 D（ 45，4）在此直线上， 4 4= 45k， k 4

45

例 4】 ∴当 0≤ t≤ 45 时， s 4 t

45

⑶ 设线段 BC 所在直线为 s

∵点 B（ 30，4）和点

则4

0 30k1

45k1 b ，解得

b k1t

C(45，0)

4

15

12. b k1 0 ． 在此直线上．

k1

∴s 4 t 15 12.

∴当 30≤t ≤45时， 4 t 15 12.

由⑵知线段 OD 所在直线为

4 t 45 ，解得 t 4 t 12. 15 4 t， 45 135

4

3.

OD 与 BC 的交点坐标为 135 ，3 ．

4

答：当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是 ∴直线

3 千米 .

如图，某公司专销 A产品，第一批 A 产品上市 40天内全部售完．该公司对第一批 A 产

品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查， 调查结果如图所示， 其中甲图中的折线表示

的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件 A 产品的销售利润 与上市时间的关系．

⑴试写出第一批 A产品的市场日销售量 y与上市时间 t 的关系式；

⑵第一批 A 产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？

说明理 李明

t （分钟）

由） 8

解析】 ⑴ 由图甲可知，

当 0≤t≤30 时，设市场的日销售量为 y=kt． ∵点 （30，60）在图象上，∴

60＝30k， k=2． ∴ y=2t．

当 30≤ t≤40 时，设市场的日销售量为 y k1t b

∵点 （30，60）和 （40，0）在图象上，

得 k1=-6， b=240.

∴ y 6t 240. 综合可知 y 2t（0 t 30）

6t 240（30 t 40）

⑵由图乙知

①当 0≤t≤20 时，每件产品的日销售利润为 y＝3t，产品的日销售利润为

∴t＝20时， y最大＝ 6×202＝2400（万元）．

② 当 20

③ 当 30

y=60（ － 6t＋ 240）＝－ 360t＋ 14400，

∴t＝30 时， y最大＝－ 360×30＋14400＝3600（万元）． y=3t×2t=6t2．

y=60×2t=120t．