建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
医学影像工作原理及图像获取方式 2.2医学超声影像工作原理 超声是指高于人耳听觉范围的声波，通常是指频率高于20 kHz的高频振动机检波，应用于医学诊断的超声频率一般在1MHz至几十MHz之间。自1958年商用超声成像产品问世以来，超声医学设备以其实时性、对人体无损伤、无痛苦、显示方法多样，尤其对人体软组织的探测和心血管脏器的血流动力学观察有其独到之处而成为在医学中应用最为广泛的成像设备之一。 超声在医学中的重要作用在于它不但可以穿透人体，而且可以与身体组织相互作用。超声波穿过人体时要经过折射和反射，这可发生在超声波经过的任何交界面上，其作用就如同光束经过一个非均匀物质一样。超声波的波长很短，从而易于窄脉冲波束的实现，因此超声换能器可以做得小而紧凑。 超声在临床应用中主要分为诊断与治疗两个方面：超声诊断采用的是较高频率（多在2MHz以上）与较低声强的超声波，高频可提高对组织的分辨率，用以获得清晰、细致的声像图，而低声强则可降低对组织损伤的副作用。超声治疗采用的是较低频率（通常<1MHz）与较高声强的超声波，低频超声增大对组织的穿透率，而高声强（特别是聚焦后）超声可对组织产生生物效应，用于选择性破坏局灶性病变。 2.2.1超声设备与种类 超声诊断主要应用超声良好的指向性和与光相似的反射、散射、衰减及多普勒(Doppler)效应等物理特性，采用不同的扫查方法，将超声发射到人体内，并在组织中传播，当正常组织或病理组织的声阻抗有一定差异时，它们组成的界面就会发生反射和散射，再将此回波信号接收，加以检波等处理后，显示为波形、曲线或图像等。由于各种组织的界面形态、组织器官的运动状况和对超声的吸收程度等不同，其回波有一定的共性和某些特性，结合生理、病理解剖知识与临床医学，观察、分析、总结这些不同的规律，可对患病的部位、性质或功能障碍程度做出概括性以至肯定性的判断。 超声诊断仪由主机和探头构成，均包括发射、扫查、接收、信号处理和显示等五个部分。超声诊断仪的种类很多，而且互有交叉，按照显示回波方式和空间的不同，主要包括以下几种： 1．A型(Amplitude Mode)超声 A型超声是最早出现的一维超声诊断技术，它将声束传播位置上的组织按距离分布的回波信息在显示器上以幅度调制的形式显示，并从回波的幅度大小、形状及位置进行诊断，回波强则波幅高，回波弱则波幅低。常用A型法测量界面距离、脏器径值以及鉴别病变的物理性质，它是现代各种超声成像的物理基础。 2．B型(Brightness Mode)超声 B超是把组织的一个断层面上的超声回波信息以二维分布形式显示出来，组织内的散射、反射回波信息以辉度调制方式显示，回波强则光点亮，回波弱则光点暗。光点随探头的移动或晶片的交替轮换而移动扫查，由于扫查连续，可以由点、线而扫描出脏器的解剖切面，它是二维空间显示，又称二维超声。 按其成像速度的不同，可分为慢速成像和快速成像，慢速成像只能显示脏器的静态解剖图像，由于每帧图像线数甚多，图像清晰，扫查的空间范围较大。快速成像能显示脏器的活动状态，也称为实时(ReaITime)显像诊断法，但所显示的面积较小，每幅图像线数与每秒显示的帧数相互约制，互为反比。按照扫描方式的不同，又可分为电子线性扫描、电子凸阵扫描、机械扇形扫描和相控阵扫描等。 3．M(Motion Mode)型超声
旋转矩阵公式法！一，选11个号，中了5个号，100%能组合到4个号。假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下22注，需投入44元： （1）01、05、07、09、11 （2）01、05、06、08、10 （3）01、04、06、08、09 （4）01、04、05、07、10 （5）01、03、07、08、11 （6）01、03、04、09、10 （7）01、02、06、10、11 （8）01、02、04、08、11 （9）01、02、03、06、07 （10）01、02、03、05、09 （11）02、07、08、09、10 （12）02、05、06、07、08 （13）02、04、07、09、11 （14）02、04、05、06、09 （15）02、03、05、10、11 （16）02、03、04、08、10 （17）03、06、08、09、11 （18）03、06、07、09、10 （19）03、04、05、07、08 （20）03、04、05、06、11 （21）04、06、07、10、11 （22）05、08、09、10、11 二，选11个号，中了4个号，100%能组合到4个号。假设你选了01、02、03、04、05、06、07、08、09、10、11，则可以组合成以下66注，只要132元就能搞定： （1）01、07、08、09、10 （2）01、06、07、09、11 （3）01、05、08、09、11 （4）01、05、07、10、11 （5）01、05、06、08、10 （6）01、04、09、10、11 （7）01、04、06、08、11 （8）01、04、06、07、10 （9）01、04、05、07、08 （10）01、04、05、06、09 （11）01、03、08、10、11 （12）01、03、06、09、10 （13）01、03、06、07、08 （14）01、03、05、07、09 （15）01、03、05、06、11 （16）01、03、04、08、09 （17）01、03、04、07、11 （18）01、03、04、05、10
医学影像超声诊断第一部分名词解释 一、名词解释 1、超声医学：是利用超声的物理特性用于诊断人体疾病的一门影像学科。 2、声波：是一种机械波，是由频率在20～20 000 Hz之间声振动源激起的疏密波，该疏密波传播至人的听觉器官(耳)时，可以引起声音的感觉。 3、超声波:声波按其频率分类:＜20 Hz为次声波，低于人耳听觉低限；频率20～20 000Hz之间为可听声；＞20 000 Hz为超声波，高于人耳听觉。诊断用超声波的频率在1～300 MHz之间，常用2～20 MHz。 4、频率（f）：声波在介质中传播时，每秒钟质点完成全振动的次数，单位是赫兹(Hz)。 5、波长(λ)：声波在一个周期内振动所传播的距离，单位是毫米(mm)。超声波波长愈短，频率愈高，分辨率愈强。 6、声速(C)：声波在介质中传播，单位时间内所传播的距离，单位是米/秒(m/s)。人体软组织的平均声速为1 540 m/s，和水的声速相近。 7、声阻抗：即声阻抗率或声特性阻抗，可以理解为声波在介质中传播所受到的阻力，等于介质的密度与超声在该介质中传播速度的乘积。设Z为声阻，ρ为密度，C为声速，则Z＝ρ·C。两介质声阻相差之大小决定其界面处之反射系数。两介质声阻相差愈小，则界面处反射愈少，透入第二介质愈多；反之，声阻相差愈大，则界面处反射愈强，透入第二介质愈少。 8、反射、透射与折射：声波从一种介质向另一种介质传播时，由于声阻抗Z不同(密度ρ、声速C不同)，在二种介质之间形成一个声学界面，如果该界面尺寸大于超声波波长，则一部分超声波能量返回到第一介质此即反射。另有一部分能量穿过界面进入第二介质并继续向前传播，称为透射。当两种介质的声速不同时，就会偏离入射声束的方向而传播，称折射。 9、散射：超声波在介质中传播，如果介质中含有大量杂乱的微小粒子，超声波激励这些小粒子成为新的波源，再向四周发射超声波。 10、衍射：超声波在介质中传播，如遇到的物体其直径小于1~2个波长时，则绕过物体继续向前传播，这种现象称为绕射(也称衍射)。 11、吸收与衰减：当声波穿过介质时，由于“内摩擦”或所谓“黏滞性”而使声能逐渐减小，声波的振幅逐渐减低，介质对声能的此种作用即为吸收。这种在介质中传播时出现的声波衰减称为吸收衰减。而声波在前向传播过程中因发生反射、折射及散射等现象使声能随着距离的增加而逐渐减弱，此种现象称为距离衰减。吸收与衰减的程度与超声的频率、介质的黏滞性、导热性、温度及传播的距离等因素有密切关系。 12、换能器：能使电能和机械能相互转变的装置，又称探头。 13、正压电效应：某些特异性的材料，在外部拉力或压力的作用下引起材料内部原来重合的正负电荷中心发生相对偏移，在材料表面出现符号相反的表面电荷，即由机械力的作用产生了电场，这种将机械能转变为电能的效应称为
旋转变换（一）旋转矩阵 1. 简介 计算机图形学中的应用非常广泛的变换是一种称为仿射变换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切这几种。本文以及接下来的几篇文章重点介绍一下关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。 2. 绕原点二维旋转 首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示： 如图所示点v 绕原点旋转θ角，得到点v’，假设v点的坐标是(x, y) ，那么可以推导得到v’点的坐标（x’, y’)(设原点到v的距离是r，原点到v点的向量与x轴的夹角是? ) x=rcos?y=rsin? x′=rcos(θ+?)y′=rsin(θ+?) 通过三角函数展开得到 x′=rcosθcos??rsinθsin? y′=rsinθcos?+rcosθsin? 带入x和y表达式得到 x′=xcosθ?ysinθ y′=xsinθ+ycosθ 写成矩阵的形式是： 尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角θ的情形，但是我们推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v’点进入到第四象限）结论仍然是成立的。 3. 绕任意点的二维旋转 绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下： 1. 首先将旋转点移动到原点处 2. 执行如2所描述的绕原点的旋转 3. 再将旋转点移回到原来的位置
也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。假设平移的矩阵是T(x,y)，也就是说我们需要得到的坐标v’=T(x,y)*R*T(-x,-y)（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行T(-x,-y)） 在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。（假设使用2x2的矩阵，是没有办法描述平移操作的，只有引入3x3矩阵形式，才能统一描述二维中的平移、旋转、缩放操作。同理必须使用4x4的矩阵才能统一描述三维的变换）。 对于二维平移，如下图所示，P点经过x和y方向的平移到P’点，可以得到： x′=x+tx y′=y+ty 由于引入了齐次坐标，在描述二维坐标的时候，使用（x，y，w）的方式（一般w=1），于是可以写成下面矩阵的形式 按矩阵乘法展开，正好得到上面的表达式。也就是说平移矩阵是 如果平移值是（-tx，-ty）那么很明显平移矩阵式 我们可以把2中描述的旋转矩阵也扩展到3x3的方式，变为：
百胜超声弹性成像及定量分析(Real-time Elastography Imaging with Quantity ElaXto TM) 百胜超声弹性成像技术-ElaXto TM利用非相干的射频信号频谱应变估计法，分析肿瘤或其他病变区域与周围正常组织间弹性系数的差异、在外部压力作用下产生应变大小的不同，以黑白、伪彩或者彩色编码的方式显示，来判别病变组织的弹性大小，从而实现临床应用中的鉴别诊断。 技术原理： ElaXto TM超声弹性成像技术，亦称实时应变成像技术Real-time Elastography Imaging，其基本原理为：根据不同靶组织（正常及病变）的弹性系数不同，在加外力或交变振动后其应变（主要为形态改变）的不同，收集靶组织在某时间段的各个片段信号，通过主机处理，再以黑白、伪彩或者彩色编码的方式显示，最终通过对弹性图像的判读诊断靶组织的良恶性质或者组织的特性【图表1】。 图表1：用不同的方式显示组织弹性 在相同外力作用下，弹性系数大，引起的应变小；反之，弹性系数小，相应的应变大。也就是说在同等压力条件下柔软的正常组织变形超过坚硬的肿瘤组织。施加一个外力后，比较加压（用超声探头紧压病变）前后靶组织弹性信息的超声图像、前后病变的应变来说明靶组织的硬度，后者是鉴别病变性质的重要参数。超声弹性成像即是利用生物组织的弹性信息帮助疾病的诊断。 弹性成像技术实现方法 1）弹性成像技术实现方法 这一成像技术一般采用两种方法实现：相干法和非相干法。 相干法：通过互相关技术对施压前、后的射频信号进行时延估计，可以计算出组织部不同位置的移动，进而计算出组织部的应变分布情况[1]。 Strain=(△t1-△t2)/△t1 =[(t1b-t1a)-(t2b-t2a)]/(t1b-t1a) 其中t1a，t1b表示没有加压前回波中相邻两个回波界面的回波位置（度量单
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
三维旋转矩阵的计算 旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。 在三维空间中，旋转变换是最基本的变换类型之一，有多种描述方式，如Euler 角、旋转矩阵、旋转轴/旋转角度、四元数等。本文将介绍各种描述方式以及它们之间的转换。 1. 旋转矩阵 用一个3阶正交矩阵来表示旋转变换，是一种最常用的表示方法。容易证明，3阶正交阵的自由度为3。注意，它的行列式必须等于1，当等于-1的时候相当于还做了一个镜像变换。 2. Euler角 根据Euler定理，在三维空间中，任意一种旋转变换都可以归结为若干个沿着坐标轴旋转的组合，组合的个数不超过三个并且两个相邻的旋转必须沿着不同的坐标轴。因此，可以用三个沿着坐标轴旋转的角度来表示一个变换，称为Euler角。旋转变换是不可交换的，根据旋转顺序的不同，有12种表示方式，分别为：XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ，可以自由选择其中的一种。对于同一个变换，旋转顺序不同，Euler角也不同，在指定Euler角时应当首先约定旋转顺序。 2.1 Euler角转化为旋转矩阵 不妨设先绕Z轴旋转γ，再绕Y轴旋转β，最后绕X轴旋转α，即旋转顺序为XYZ，旋转矩阵
3. 旋转轴/旋转角度 用旋转轴的方向向量n和旋转角度θ来表示一个旋转，其中 θ>0表示逆时针旋转。 3.1 旋转轴/旋转角度转化为旋转矩阵 设v是任意一个向量，定义
数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合
适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：
昆式曲面的定义 昆氏曲面是由一个或多个用四条边界曲线定义的网格通过熔接的方式而形成的。昆式曲面已广泛用于汽车、轮船和飞机机身以及各种模具和模型的设计和造型中，在这里，一定要诠释边界的含义，其边界是广义的，既可以短到成为一个点，也可以长到有多条边界组成，如三角形也可以看成四边形，其中一个点实际上也成其一边，只不过这条边短至一个点，再如五边形，也可以看成四边形，只不过其中的一条边是由两条边组成，由此类推，所有的图形都可以看成是由四条边界组成的。 三.昆式曲面的具体构建要点 构建构建昆式曲面有两种方式，即自动串连方式和手动串连方式。 1.自动串联方式 选择何种构建方式，通常要根据曲面的线框情况来确定，按照昆式曲面的定义，可以把昆式曲面的线框形式分成由单个的四条边界组成和多个的四条边界组成两种情形，如果提供的线框是由单个的四条边界，且四条边界按首尾连接的方式连成一封闭图形，那么采用自动串联的方式来生成昆式曲面较为简单，关键要点：一是在出现提示时，忽略“左上角”字眼，只要任意选择四条边界构成的四个交点中的任意一点，按顺时针方向选择 两条曲线，保证该处的箭头相对即可；二是在出现提示 时，同样，操作时可忽视“右下角”字 眼，只需按顺时针选择最后一条边界，但要注意在选取时，鼠标的位置要靠近第三个交点。 如图1为单个四条边界组成的线框，因此采用自动串联方式生成昆式曲面。操作步骤如下： 1）绘制如图1所示的线框
图1 2）执行昆式曲面构建命令 (1) 选择命令Create / Surface / Coons ，在系统弹出的对话框中 选择Yes 。 (2)主菜单上方提 示： 选择左上角相交的曲线，按提示选择任一交点处 相交的两条曲线Curve1和Curve2即可。 (3)主菜单上方提示： 选择右下角一 条曲线，按提示选择最后一条边界curve3即可。 (4)设置曲面公差、曲面类型和曲面熔接方式。Blending 熔接方式有四种，Linear 用于曲面较平坦的线性熔接方式；Parabolic 用于曲面有较大曲率变化的抛物线熔接方式；Cubic 用于曲面有较大曲率变化的三次式熔接方式；Cubic with slope matching 三次式曲线配合曲率变化的熔接方式，这种方式构建的曲面连接方式最好，生成的曲面也最平滑。 (5) 单击Do it ，执行操作，生成如图3所示昆式曲面。 图3 2.手动串联方式 如果线框为单个或多个四个多边形边界构成的，即为网格状的四边形时，通常采用手动串连方式来生成昆式曲面。 采用手动串联生成昆式曲面之前先要定义切削方向（Along ） 、截断方向
三维旋转矩阵 三维旋转特性 给定单位向量u和旋转角度φ，则R(φ,u)表示绕单位向量u旋转φ角度。 R(0,u)表示旋转零度。 R(φ,u)= R(?φ,?u)。 R(π+φ,u)= R(π?φ,?u)。 如果φ=0，则u为任意值。 如果0<φ<π,则u唯一确定。 如果φ= π，则符号不是很重要。因为- π和π是一致的，结果相同，动作不同。 由旋转矩阵求旋转角和旋转轴 每一个三维旋转都能有旋转轴和旋转角唯一确定，好多方法都可以从旋转矩阵求出旋转轴和旋转角，下面简单介绍用特征值和特征向量确定旋转轴和旋转角的方法。 将旋转矩阵作用在旋转轴上，则旋转轴还是原来的旋转轴，公式表示如下： Ru=u 转化得： Ru=Iu =>(R?I)u=0 可以确定的是u在R-I的零空间中，角度可有下面的公式求得，Tr表示矩阵的迹： Tr(R)=1+2cosθ 从旋转轴和旋转角求旋转矩阵 假设给定单位向量u=(u x，u y， u z) T ，并且u为单位向量即： u x2+u y2+u z2=1，给定绕u旋转的角度θ，可以得出旋转矩阵R： R=[cosθ+u x2(1?cosθ)u x u y(1?cosθ)?u z sinθu x u z(1?cosθ)+u y sinθ u y u x(1?cosθ)+u z sinθcosθ+u y2(1?cosθ)u y u z(1?cosθ)?u x sinθ u z u x(1?cosθ)?u y sinθu z u y(1?cosθ)+u x sinθcosθ+u z2(1?cosθ) ] 上面的公式等价于： R=cosθI+sinθ[u]×+(1?cosθ)u?u 其中[u]×是单位向量u的叉乘矩阵，?表示张量积，I是单位向量. 这是罗德里格斯旋转方程的矩阵表示。下面给出叉乘和张量积的公式：
超声成像波束形成的基本理论 声场在成像场域的分布称为波束形成(beam forming)。波束形成在整个超声中处于心位置，对成像质量起着决定性的作用，如图2.1。 本章以传统的延时叠加波束形成方法为中心来阐述波束形成的基本原理及其对波束形成的影响，并介绍了波束控制方法(聚焦偏转、幅度变迹、动态孔径)及成像质量的评价标准。. 1 延时叠加波束形成算法 延时叠加波束形成是超声成像中最传统、最简单也是应用最广泛的成像方法，它包括发射聚焦和接收聚焦两种方式。由于成像过程实际就是对成像区域逐点聚焦，所以一帧完整的图像需要进行至少上万次的聚焦才能完成。如果采用发射聚焦方式来实现超声成像，则完成一帧超声图像需要非常长的时间(至少需要几分钟)，不符合实时成像的要求。因此，平常所说的延时叠加波束形成一般是指接收聚焦，其形成过程如图2.2 所示。
1.1 声场分布的计算 图像分辨率通常是评价图像质量的重要标准之一，而在超声成像系统中的图像横向分辨率是由超声波束的声场分布决定的[25]。超声辐射声场的空间分布与换能器的辐射频率、辐射孔径及辐射面结构有关，称为换能器的空间响应特性为了表征换能器空间响应特性，常引入一指向性函数。指向性函数是描述发射器辐射声场或接收器灵敏度的空间函数。由于探头类型不尽相同，包括连续曲线阵、连续曲面阵、连续体性阵和离散阵四大类，因此指向性函数的类型也有所不同。本节以常用的凸阵探头(离散阵)为例介绍超声空间发射声场的计算
如图2.3 所示，设阵元数为N，阵元的半径为R，相邻两阵元间的距离为d，由于d << R，可近似得到相邻两个阵元之间的夹角为Q=d/R。那么探头上任一阵元i 与中心线的夹角
薅§16.3建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 螁[学习目标] 蚀1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 蒆2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 羆3.能表述数学建模的分类； 蒃4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 葿5.培养建模的想象力和洞察力。 薆一、建立数学模型的方法和步骤 膃—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(SystemIdentification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 袁可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 膈建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 薆§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 薄图16-5建模步骤示意图 蚃模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 芁模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
Creo A 级曲面建模 模块概述: 在Creo Parametric 中进行曲面建模使您可以创建具有雕刻形状、有机形状或曲率连续形状的模型，该模型的形状可能会过于复杂而无法使用普通的实体建模工具进行创建。 在此模块中，将向您介绍曲面建模，其中包括曲面建模的用途、样式及术语。 目标: 成功完成此模块后，您将能够： ?说明曲面建模环境的功能和用途。 ?说明参数化曲面建模样式和自由形式曲面建模样式。 ?说明如何将参数化曲面建模样式与自由形式曲面建模样式相集成。 ?讨论曲面建模术语。 概念: 曲面建模简介 曲面建模简介 图1 - 照相机
图2 - 水龙头 图3 - 头盔
图4 - 树篱修剪机 这些图形展示了使用Creo Parametric 曲面建模工具开发的模型示例。使用曲面建模可设计具有以下特性的模型： 具有大曲率或双向曲率的几何形状。 ?流体、雕刻或有机形状。 ?无法使用实体特征设计的形状。 ?一阶或二阶连续的光滑形状。 曲面建模假定背景 以下是一些需要您用到曲面建模技术的假定情形： ?您的同事已开发出具有产品形状的泡沫塑料模型。您将创建与实物模型相匹配的模型。 ?您的公司必须创建一个发动机缸盖的数字模型。没有可用的绘图。所以必须创建实际铸件的一个粗略扫描。?您收到一封电子邮件，附件中具有铸造成型手提箱的概念草绘。开发Creo Parametric 模型。 ?使用具有视图和剖面的汽车后视镜绘图，创建后视镜的数字模型。 ?使用掌上电脑(个人数字助理) 的内部元件，您以直观的方式创建主体设计。 ?根据IGES 形式的可用数据设计一个玩具。 ?您将使用方程形式定义的剖面设计涡轮叶片。
性质 设是任何维的一般旋转矩阵: ?两个向量的点积(内积)在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变: ?从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵: 这里的是单位矩阵。 ?一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。正交矩阵的行列式是±1；如果行列式是?1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。 ?旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成的一个正交基，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。 ?任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵A的指数: 这里的指数是以泰勒级数定义的而是以矩阵乘法定义的。A矩阵叫做旋转的“生成元”。 旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。 二维空间 在二维空间中，旋转可以用一个单一的角定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐 标的列向量关于原点逆时针旋转的矩阵是: 三维空间 在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-i θ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。
3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。 [编辑] Roll, Pitch 和 Yaw 主条目：Tait-Bryan角 生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的x-, y- 和z-轴的旋转分别叫做roll和pitch，yaw旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。 ?绕x-轴的主动旋转定义为: 这里的是 roll 角。 ?绕y-轴的主动旋转定义为: 这里的是 pitch 角。 ?绕z-轴的主动旋转定义为: 这里的是 yaw 角。 在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号, , 和；但是为了避免混淆于 欧拉角这里使用符号, 和。 任何 3 维旋转矩阵都可以用这三个角, , 和来刻画，并且可以表示为roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。
一、自由曲面建模 自由曲面建模可建立solid和sheet，通常是建立sheet，即厚度为零的自由曲面片体。 片体用途为创建用前面的普通实体建模方法难以实现的形状、或对已有线框模型进行蒙面。 片体转换为实体的方式有：加厚thicken；对多个封闭的片体进行sew形成；或用片体trim实体。实体转换为片体和线框模型的方法为CURVE FEATURE下的抽取命令（EXTRACT） 一般是构建曲面的截面线不封闭。 构建曲面要注意以下问题： smart sheet tolerances:构建曲面是一种逼近方法，误差是不可避免的。tolerances分为：distance tolerances和angle tolerances。是理论曲面与实际曲面的最大误差。通常仅仅限制distance tolerances是不够的，当你发现作成的曲面数据太大或时间过长，一般来说就是误差太小的缘故。有时你可能将angle tolerances设置的很大。设置方式在preferences----modeling中。一般来讲，需要指定两项误差的有：through curve/through curve/swept/ruled/bridge等，只须指定distance tolerances的有conic/extebsion/fillet/offset/face blend/thicken等。 U,V向：row为U向，column为V向 patch: patch为组成sheet的基本部分，象样条的segment.有single和multiple。multiple patch并不意味着是多个面。 degree:U,Vdegree之分。可以为1-24。 closed: U,V向之分。 1.through point和from poles：和样条曲线的构建方法基本一致。 2.through curve: ●curve outline称为section string，每一个section string可以是单段对象，也可以是多 段曲线，可以是曲线，也可以是edge. ########Section strings的选择方法： 每一个section string可以是单段对象，也可以是多段曲线，可以是曲线，也可以是edge.和face,和单选，chain，也可curve edge混合，但注意必须连续。 注意：光标选择的位置决定了起点的位置和方向。对单段曲线或边来讲，光标选择的位置就是起点，方向指向线的尾端；对多段来讲，先选第一段，方式与前相同，后面的各段必须按顺序选择；对chain来讲，注意他有与chain的方法一致，即选择的光标位置是用于chain的，chain的结果自然决定了起点位置（这点需特别注意）；对face来讲，光标选择的位置需要在起点附近选择，距光标最近的边为为开始边。 ●U向Degree row为U向,即section string所在的截面，一般为3阶。但如果distance tolerances 太小而且section string曲线的阶数较高，则U向阶数等于section string曲线的阶数。*V向Degree和Patch类型：需要输入，缺省为3 column为V向，正交于section string。他由patch的类型和输入的Degree值有关。single 与section string的个数有关。multiple与输入的Degree值有关。 ●closed: U向是否封闭看section string是否封闭。V向是否封闭看设置。 ●可以对曲面的第一和最后两个截面的周边进行tangent和curvature约束。 ●alignment： alignment用于指定各个截面串上的点如何对齐。我们知道目前只有U向截面串，但V 向是如何连接的？可以肯定的是所以截面串上的起点连在一起，所有终点也连在一起，但中间如何连接有无尽的可能。我们就需要用alignment来决定。 parameter: at equal parameter intervals（单个截面串各段parameter长除以点数）
超声成像＋核医学成像 1928年开始研究超声的生物效应 1950年应用A超对人体体内的肿进行检查 1960年超声波理疗以及眼科，牙科手术 70年代B超应用于临床，可实时获得人体脏器的解剖结构图像 特点：无（低）损伤，非侵入性，操作方便 80年代超声成像设备有了新的发展，图像分辨率达到了0.5mm，图像的灰阶等级满足了诊断要求 研制了各种特殊探头，可将探头伸入体腔内进行超声成像，显示出比较小的器官 彩色多普勒超声诊断仪的出现，提供心脏内的血流流动情况和血流量。 1.超声成像的物理基础 a．超声在均匀介质中传播时，不会发生发射 b．当介质的声阻抗发生变化时，超声会在其界面发生反射 c．声阻抗变化愈大，发射愈强 d．超声在人体组织内的传播速度为1540m/s e．由于传播速度低，同一换能器既发射超声又接收回波 f．现代电子技术可区分来自不同深度的反射回波，使实现回波反射式超声成像仪成为可能g．目前使用的各种超声成像仪都是回波反射型的，显示的是人体组织的各界面对超声波的反射特征 h．超声在人体组织中传播时产生衰减，与超声频率成正比 i．超声在人体组织中传播是一种复杂的过程，除了发射，还有透射，以及衍射，散射，折射 2.超声成像系统 a.A型，M型，B型等超声诊断仪：利用脉冲回波法，应用超声在体内组织中幅度（能 量衰减）变化的机理 b.多普勒超声诊断仪：应用超声的频移效应 c.利用超声在传播过程中相位变化的信息，目前正在研究中 A型超声诊断仪 用压电晶片作换能器，用重复频率1000～2000Hz的电脉冲激励→发射单声束→进入人体→体内组织界面产生反射→反射回波由同一发射换能器接收→转换成电信号→放大，检波→CRT显示（横坐标：超声传播时间，纵坐标：回波的幅度） 从回波的分布：包络宽度及幅度大小，可以测度病灶的位置，大小等。但这种显示缺少解剖信息，诊断困难。 M型超声诊断仪（超声心动图仪） 显示时把A型仪器的时间基线加到示波管的垂直偏转板上，即用Y轴表示脏器的深度：把回波信号加到示波管亮度调制板上，于是Y方向上每一条亮暗不同的线相当于一个A型显示。
曲面建模概述 模块概述: 在 Creo Parametric 中进行曲面建模使您可以创建具有雕刻形状、有机形状或曲率连续形状的模型，该模型的形状可能会过于复杂而无法使用普通的实体建模工具进行创建。 在此模块中，将向您介绍曲面建模，其中包括曲面建模的用途、样式及术语。 目标: 成功完成此模块后，您将能够： ?说明曲面建模环境的功能和用途。 ?说明参数化曲面建模样式和自由形式曲面建模样式。 ?说明如何将参数化曲面建模样式与自由形式曲面建模样式相集成。 ?讨论曲面建模术语。 概念: 曲面建模简介 曲面建模简介 图 1 - 照相机
图 2 - 水龙头 图 3 - 头盔
图 4 - 树篱修剪机 这些图形展示了使用 Creo Parametric 曲面建模工具开发的模型示例。使用曲面建模可设计具有以下特性的模型： ?具有大曲率或双向曲率的几何形状。 ?流体、雕刻或有机形状。 ?无法使用实体特征设计的形状。 ?一阶或二阶连续的光滑形状。 曲面建模假定背景 以下是一些需要您用到曲面建模技术的假定情形： ?您的同事已开发出具有产品形状的泡沫塑料模型。您将创建与实物模型相匹配的模型。 ?您的公司必须创建一个发动机缸盖的数字模型。没有可用的绘图。所以必须创建实际铸件的一个粗略扫描。 ?您收到一封电子邮件，附件中具有铸造成型手提箱的概念草绘。开发 Creo Parametric 模型。 ?使用具有视图和剖面的汽车后视镜绘图，创建后视镜的数字模型。 ?使用掌上电脑(个人数字助理) 的内部元件，您以直观的方式创建主体设计。 ?根据 IGES 形式的可用数据设计一个玩具。 ?您将使用方程形式定义的剖面设计涡轮叶片。 ?您将设计一个产品，其外部形状已使用另一软件程序粗略概念化。首先要在 Creo Parametric 中重新创建曲面模型以定义形状，然后生成零件设计。 ?您要为模型制作公司设计一个掌上电脑(个人数字助理) 的 Creo Parametric 模型。该公司将使用快速成型的方法设计模型的实体原型。 ?您已接收到质量较差的 IGES 数据以设计刀具。首先要修复导入的曲面数据，然后再继续进行建模。 概念: 曲面建模用途 曲面建模用途