最新2017-2018年高考第二次模拟考试数学试卷(文)含答案

绝密★启用前2018年高考第二次适应与模拟文 科 数 学（本试卷满分150分，考试时间：120分钟）注意事项：1.答选择题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，满分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}0)2)(13(|>--=x x x A ，{|10}B x x =-<，则A B =A.),31()1,(+∞-∞B.(),1-∞C.)31,(-∞D.)1,31(2.已知i 表示虚数单位,则复数21ii +的模为B. 1D. 53.数列{}n a 是等差数列，11=a ，84=a ，则=5a A.16B.-16C.32D.3314.”“1=a 是“直线01)12(=+++ay x a 和直线033=+-y ax 垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件x x f 2)(=，则=-)29(f 5.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且)(1)2(x f x f -=+对x R ∈恒成立，当]2,0[∈x 时，开始 输入x1,1==k v?10≤k1+⋅=x v v1+=k k否 是输出v 结束6.设y x z +=2，其中y x ,⎪⎩≤≤≤-≥+k y y y 0002，若z 的最小值是-9，则z 的最大值为A. 9-B. 9C.2D. 67.已知O 是坐标原点，双曲线221(1)xy a a-=>与椭圆)1(1222>=++a y a x 的一个交点为P ，点)0,1(+a Q ，则POQ ∆的面积为A.2aB. aC. 1D.128.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，则输出v 的值为 A. 1311-B. 21311-C. 21312-D. 21310-9.已知)0,3(πα-∈，cos sin 6παα⎛⎫+-=⎪⎝⎭，则)12sin(πα+的值是 A.B. 102-C.D. 45-10.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为 A. 2396+π B. 23918+π C. 2336+π D. 23318+π A.12 B. C.2D. 1-11.已知数列{}n a 的首项11=a ，满足)(211++∈⎪⎭⎫⎝⎛-=-N n a a nn n ，则=2018aA. 2017)21(1-B. 2017)21(2-C.321122018⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛- D.321122017⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-12.定义在()0,+∞上的函数()f x 满足2ln )2(01)(-=>+'f x f x ，，则不等式0x )(>+x e f 的解集为A. ），（2ln20B.)2ln ,0（C.），（∞+ln2D.）（1 , 2ln第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.,2,3==b a 与的夹角为30°，则||b a += ；14.三棱锥A -BCD 中，BC ⊥CD ，AB = AD,BC =1,CD则三棱锥A -BCD 外接球的表面积为 ；15.已知圆的圆心在曲线)01>=x xy （上，且与直线0134=++y x 相切，当圆的面积最小时，其标准方程为 ． 16.有一个数阵排列如下：1 2 3 4 5678......2 4 6810 12 14......4 812 16 20......8 16 24 32...... 16 32 48 64...... 32 64 96...... 64 .......则第10行从左至右第10个数字为 .三、解答题：满分共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足cos 0cos 2B bC a c+=+ ， （1）求角B 的值；（2）若2c = ，AC边上的中线BD =， 求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试；已知队员的测试分数y 与仰卧起坐个数x 之间的关系如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤=50,1005040,804030,60300,0x x x x y ；测试规则：每位队员最多进行三组测试， 每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下： （1）计算a 值，并根据直方图计算“喵儿”1 分钟内仰卧起坐的个数；（2）计算在本次的三组测试中，“喵儿”得分 等于80的概率.19.(本小题满分12分)在矩形ABCD 所在平面α的同一侧取两点,E F ，使DE α⊥且AF α⊥，若3AB AF ==，4AD =，1DE =.（1）求证：BF AD ⊥；（2）取BF 的中点G ，求证AGC DF 平面//；FBAEDC（3）求多面体DCE ABF -的体积.20.(本小题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，斜率为1的直线1l 交抛物线C 于B A ,两点，当直线1l 过点()0,1时，以AB 为直径的圆与直线1-=x 相切. （1）求抛物线C 的方程；（2）与1l 平行的直线2l 交抛物线于D C ,两点，若平行线21,l l 之间的距离为22，且OCD ∆的面积是OAB ∆面积的3倍，求21l l 和的方程.21.(本小题满分12分)（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4−4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标 方程是2cos 4sin 0ρθθ-=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()1,0P .若点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于,A B 两点，求，A B 两点间的距离AB 的值.23.[选修4−5：不等式选讲] 已知函数||)(x x f =.（1）记函数()()24g x f x x =++-，求函数()g x 的最小值； （2）记不等式1)(<x f 的解集为M ，若M b a ∈,时，证明|41|2||ab b a +<+.绝密★启用前2018年高考第二次适应与模拟数学（文科）参考答案一、选择题：每题5分，共60分 1.C由题意,得{}),2()31,(0)2)(13(|+∞-∞=>--= x x x A ，{}()|10,1B x x =-<=-∞，则)31,(-∞=B A ，故选C.2．A 解2,2152155i i i i i +=∴==++本题选择A 选项.3．D4.A 解：当1=a 时，直线01)12(=+++ay x a 的斜率为3-，直线033=+-y ax 的斜率为31，两 直线垂直；当0=a 时，两直线也垂直，所以是充分不必要的条件，故选A. 5.B.6.B.解析： 满足条件的点),(y x 的可行域如下由图可知,目标函数y x z +=2在点),2(k k -处取到最小值9-，解得3=k ，目标函数在),(k k 即)3,3( 处取到最大值9.选B.7.D 解由题意知两曲线有相同的焦点，设两个焦点分别为1F ，2F ，根据双曲线的定义得到122PF PF-=根据椭圆的定义得到12PF PF+=联立两个式子得到1PF=2PF12F F=，由余弦定理得到()()1222241cos02a aF PF+-+∠==，故122F PFπ∠=，则P O F∆的面积为1211.22PF FS S==故答案为：D。

永州市2018年高考第二次模拟考试试卷数 学（文科）参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．6 14．4 15 16 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）解：（1）由已知可得1133951020a d a d +=⎧⎨+=⎩ ，解得121a d =⎧⎨=⎩， ……………………………3分故{}n a 的通项公式为1n a n =+． …………………………………………6分（2）由（1）知1n b n =， ………………………………………………………………7分 ()111111n n b b n n n n +∴⋅==-++， ………………………………………9分n T ∴111111111223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）因为61013114505+++=，所以“非高收入户”中赞成该市住房限购令的住户的频率为45．………2分 （2）由题意知：人平月收入在[1.5,3)中，有5户赞成楼市限购令，分别记为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；1户不赞成楼市限购令，记为B .现从中随机抽取两户，所有的基本事件有：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，15(,)A A ，1(,)A B ，23(,)A A ，24(,)A A ，25(,)A A ，2(,)A B ，34(,)A A ，35(,)A A ，3(,)A B ，45(,)A A ，4(,)A B ，5(,)A B ，共15个； …………………………………4分 事件“所抽取的两户都赞成楼市限购令”包含的基本事件有：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，15(,)A A ，23(,)A A ，24(,)A A ，25(,)A A ，34(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共10个，∴所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率为102153P ==．……………………6分（3）由题意，可得如下22⨯列联表：………………………………………………………………8分()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()250355557.0317.87940104010⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯， ……………………………11分∴不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关． ………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（1）连结EF ．四边形11ACC A 是平行四边形，∴F 为1A C 的中点．又E 为11A B 的中点，1B C ∴∥EF ．……………………………3分EF ⊂平面1AC E ，1B C ⊄平面1AC E ， ∴1B C ∥平面1AC E ．…………………………………………………………5分（2） 连结1BC 交1B C 于点O ，则O 为1B C 的中点．1AC AB =， 1AO B C ∴⊥．又二面角1A B C B --为直二面角，AO ∴⊥平面11BB C C ． …………………………………………………………7分∵侧面11BB C C 为菱形，12BB =，123CBB π∠=，∴1BC C ∆为等边三角形，12,1BC BO ==，C 1EB 1A 1CBA（第19题图）FO1112sin 23BB C S BC BB π∆∴=⋅⋅⋅=AO ==1．………………………………………………………9分又1AA ∥平面11BB C C ，111111133B A BC A BB C A BB C BB C V V V S AO ---∆∴===⋅=． ………………………12分20.（本小题满分12分）解：（1）过A 作AD ⊥y 轴于D ，设FD m =．FA 与y 轴正方向的夹角为60，2FA m ∴=．由抛物线的定义有22m m =+，得2m =，AD =11122OAF S OF AD ∆∴=⋅⋅=⨯⨯=（注：此小题有其它解法，可酌情给分） （2） 解法一：设l 的方程为00()y k x x y =++．由002()4y k x x y x y=++⎧⎨=⎩得2004440x kx kx y ---=，又2004x y =，2200440x kx kx x ∴---=，由2200(4)4(4)0k kx x ∆=-++=得02x k =-．………………………………8分设直线AM 的斜率为1k ，则由题意知直线AN 的斜率为1k -． 直线AM 的方程为100()y k x x y =-+，由1002200()44y k x x y x y x y=-+⎧⎪=⎨⎪=⎩得221100440x k x k x x -+-=， 0114(0)x x k ∴+=∆>，即1104x k x =-，同理可得2104x k x =--，………………………………………………………10分22210021212121244442MN x x x x y y x x k x x x x ---+∴=====---， MN l k k ∴=，故直线MN ∥l …………………………………………………………………12分解法二：由24x y =得214y x =，12y x '=，∴l 的斜率为002x x xk y =-'==-． …………………………………………8分AM AN k k =-，（第20题图）01020102y y y y x x x x --∴=---．将222012012,,444x x x y y y ===分别代入上式化简得：0122x x x -=+，……10分 22210021212121244442MN x x x x y y x x k x x x x ---+∴=====---， MN l k k ∴=，故直线MN ∥l ． …………………………………………………………12分21．（本小题满分12分）解：（1）由()2x f x e ax =-，得()()2x h x f x e ax '==-，所以a e x h x2)(-='.当[]1,0∈x ，[]a e a x h 2,21)(--∈'.…………………………………………1分当21≤a 时，0)(≥'x h ，所以)(x h 在区间[]1,0上是增函数， ∴)(x h 在区间[]1,0上的最小值是1)0(=h ； …………………………3分 当2ea ≥时，0)(≤'x h ，所以)(x h 在区间[]1,0上是减函数，∴)(x h 在区间[]1,0上的最小值是a e h 2)1(-=．综上所述，当21≤a 时，)(x h 在区间[]1,0上的最小值是1)0(=h ；当2ea ≥时，)(x h 在区间[]1,0上的最小值是a e h 2)1(-=…………5分（2）函数)()()(x g x f x F -=在[]5,1上有两个零点，等价于方程0)()(=-x g x f 在[]5,1 上有两个解.0)()(=-x g x f 即a x x x =+-ln 34212．设()2143ln 2L x x x x =-+，则()()()13x x L x x --'=．……………………7分当0x >时，()L x '，()L x 随x 的变化情况如下表：且(1),(3)3ln 3,(5)3ln 5222L L L =-=-=-， ………………………9分34(5)(1)3ln 54ln 5ln 0L L e -=-=->， ………………………………10分所以，当1573ln 322a -≤≤-时，a x x x =+-ln 34212在[]5,1上有两个解，故实数a 的取值范围是1573ln 3,22⎛⎤-- ⎥⎦⎝． ……………………………12分22.（本小题满分10分）解：（1）由sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得2213x y +=，所以曲线1C 的普通方程为2213x y +=．………………………………………2分把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入()2211x y -+=，得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．…………………………………5分（2）依题意可设12 66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，．曲线1C 的极坐标方程为2222sin 3ρρθ+=．将()06πθρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得22132ρρ+=，解得1ρ=将()06πθρ=>代入曲线2C的极坐标方程得2ρ=…………………………8分所以12AB ρρ=-=．…………………………………………………10分23.（本小题满分10分）解：（1）当1=a 时，不等式即为2432<-+-x x ．若4≥x ，则2103<-x ，得4<x ，舍去；若43<<x ，则22<-x ，得43<<x ；若3≤x ，则2310<-x ，得338≤<x . 综上，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<438x x .……………………………………5分（2）设432)(-+-=x x x f ，则310,4()2,34103,3x x f x x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤⎩， 易得min ()1f x =，12>+∴a a ， ………………………………………………8分解得：251251--<+->a a 或， *∈N a ，所以满足条件的最小的整数a 的值为1. …………………………10分。

2017-2018学年 文科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合()12log 211x x ⎧⎫⎪⎪A =+>-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，集合{}139xx B =<<，则A B =（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．()0,2 D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭2.i 是虚数单位，复数()()13i a i +-在复平面内对应的点在第四象限，则a 的范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()3,1-3.已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）离心率为12，则双曲线22221x y a b-=的离心率为（ ）A ．2 B ．2C D ．24.设直线12y x b =+是曲线ln y x =的一条切线，则b 的值为（ ） A ．ln 21- B ．ln 22- C ．2ln 21- D ．2ln 22-5.设R a ∈，则“1a =”是“()2ln 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭为奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知实数[]1,10x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为（ ）A ．19 B ．29 C ．49 D ．597. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1235a a a =，78910a a a =，则456a a a =（ ）A ．．7 C ．6D ．8. 某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ）A ．103cm B ．203cm C ．303cm D ．403cm9.等差数列的前n 项和为n S ，且100610081007S S S >>，则满足10n n S S +<的正整数n 为（ ） A ．2015 B ．2013 C ．2014 D ．201610.已知C ∆AB 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且cos 3A =，C 1B =，C 3A =，三棱锥C O -AB 的体积为6，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．16πC ．12πD ．163π11.在C ∆AB 中，3AB =，C 4A =，C 60∠BA =，若P 是C ∆AB 所在平面内一点，且2AP =，则C PB⋅P 的最大值为（ ）A ．10B ．12 C．10+D ．812.设过点()1,1P -作两直线PA ，PB 与抛物线24y x =相切于点A ，B ，若F 为抛物线24y x =的焦点，则F F A ⋅B =（ ）A．5 C ．8 D ．9第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用系统抽样法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1300编号，按编号顺序平均分成20组，若第16组应抽出的号码为231，则第一组中用抽签方法确定的号码是 ．14.若实数x ，y 满足条件1021x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为 ．15.已知点()0,3A ，若圆C :()()22241x a y a -+-+=上存在点M ，使2MA =MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为 ．16.在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c a b ⋅B =+，若C ∆AB的面积为2S c =，则ab 的最小值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2,2cos 1a x x =-，()sin ,cos b θθ=（0θπ<<），函数()f x a b =⋅的图象经过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求θ及()f x 的最小正周期； （2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值．18.（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．（1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生被抽中的概率． （注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦）19.（本小题满分12分）如图，四边形CD B E 为矩形，平面C AB ⊥平面CD B E ，C C A ⊥B ，1C CD C 22A ==B =，F 是D A 的中点． （1）求证：//AB 平面C F E ； （2）求A 到平面C F E 的距离．20.（本小题满分12分）设椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的离心率12e =，右焦点到直线1x y a b +=的距离7d =，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于点A ，B ，证明点O 到直线AB 的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值．21.（本小题满分12分）设函数()22ln f x x ax x =-+-（R a ∈），()3xexg x e =+． （1）若函数()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若对任意()0,x e ∈，都有唯一的40,x e e -⎡⎤∈⎣⎦，使得()()2002g x f x x =+成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆的直径，C 是圆上一点，C H ⊥AB 于点H ，CD 是圆的切线，F 是C A 上一点，DF DC =，延长DF 交AB 于点E ． （1）求证：D //C E H ；（2）求证：22D DF A -=AE⋅AB ．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，过点32,2⎛⎫P ⎪⎝⎭作倾斜角为α的直线l 与曲线C :()()22121x y -+-=相交于不同的两点M ，N ．（1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的极坐标方程； （2）求11+PM PN的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x x a =-++（0a >）． （1）当1a =时，解不等式()8f x >；（2）若不等式()3f x ≥在(),-∞+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．16届高三第二次联考 文科数学试题答案一、选择题1.A2.C3.A4.A5.C6.C7.A8.B9.C 10.B 11.C 12.B 二、填空题13.6 14.4 15. 120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦16. 12 三、解答题17.（1）由题意，()()sin 2sin cos2cos cos 2f x a b x x x θθθ=⋅=⋅+⋅=-，（2）,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()max 1f x =，()min 12f x =-． （12分）18.（1）因为甲班学生的平均分是85分， 所以()192968080857978857x +++++++=⎡⎤⎣⎦，所以5x =． 因为乙班学生成绩的中位数是83，所以3y =． （3分） （2）甲班7位学生成绩的方差为：()()()22222222167500711407s ⎡⎤=-+-+-++++=⎣⎦． （5分） （3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A ，B ， （6分） 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C ，D ，E ． （7分） 从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：(),A B ，(),C A ，(),D A ，(),A E ，(),C B ，(),D B ，(),B E ，()C,D ，()C,E ，()D,E ． （9分）其中甲班至少有一名学生被抽中的情况共有7种：(),A B ，(),C A ，(),D A ，(),A E ，(),C B ，(),D B ，(),B E ． （10分）记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生被抽中”为事件M ，则()710P M =，即甲班至少有一名学生被抽中的概率为710． （12分） 19.（1）证明：连接D B ，交C E 于点H ，连接F H ，因为四边形CD B E 为矩形，所以H 是线段D B 的中点，F H 是D ∆AB 的中位线， 所以F //H AB ，又因为F H ⊂平面C F E ，AB ⊄平面C F E ， 所以//AB 平面C F E ． （6分） （2）设A 到平面C F E 的距离为d ， 则C F C F CF CF 114V V D 333d S S A-E ∆E E-A ∆A =⋅⋅==⨯E ⨯=，因为CF =C E =，F E =CF F ⊥E ，C F 132S ∆E ==，所以43d =，即A 到平面C F E 的距离为43． （12分）20.（1）由12e =得12c a =，即2a c =，所以b ，由右焦点(),0c 到直线1x y a b +=的距离7d =7=，所以2a =，b =C 的方程为：22143x y += （4分） （2）设()11,x y A ，()22,x y B ，当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆22143x y +=联立并消去y 得：()2223484120k x kmx m +++-=， 所以122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，因为OA ⊥OB ，所以12120x x y y +=，所以()()22121210k x x km x x m ++++=，整理得：()227121m k =+，所以O 到直线AB的距离7d ===． 当直线AB 的斜率不存在时，易得点O 到直线AB的距离为7， 综上，点O 到直线AB． （8分） 因为OA ⊥OB ，所以2222OA +OB =AB ≥OA ⋅OB ，当且仅当OA =OB 时取“=”．则d ⋅AB =OA ⋅OB ，得22d AB ⋅AB =OA ⋅OB ≤，所以27d AB ≥=，即弦AB． （12分） 21.（1）()241x ax f x x-+-'=．由题知()2410x ax f x x-+-'=≤在()0,+∞上恒成立， 即2410x ax -+≥在()0,+∞上恒成立，即min14a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞． 所以4a ≤． （5分） （2）因为()()11xg x ex -'=-，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,e 上单调递减，且()03g =，()14g =，()233eg e e-=+>，所以()g x 的值域为(]3,4， （7分）记()()22ln h x f x x ax x =+=-，()m g x =，原问题等价于：(]3,4m ∀∈，存在唯一的40,x e e -⎡⎤∈⎣⎦，使得()0h x m =成立．因为()11ax h x a x x-'=-=，4,x e e -⎡⎤∈⎣⎦． （i ）当1a e≤时，()0h x '≤恒成立，()h x 在4,e e -⎡⎤⎣⎦上单调递减， 由()()44max 44h x h eae --==+≥，()()min 10h x h e ae ==-≤，解得10a e≤≤．（8分） （ii ）当4a e ≥时，()0h x '≥恒成立，()h x 在4,e e -⎡⎤⎣⎦上单调递增，()()44min 44h x h e ae --==+>，不合题意，舍去． （9分）（iii ）当41a e e <<时，()h x 在41,e a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 且()4444h eae --=+>，()1h e ae =-， 要满足条件则需13ae -≤，所以14a e e<≤． （11分） 综上所述，a 的取值范围是40,e⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （12分） 22.（选修4-1：几何证明选讲）（1）连接C B ，因为CD 是圆的切线，C A 是弦，所以DCF C ∠=∠BA ，因为DF DC =，所以DCF DFC ∠=∠，DFC C ∠=∠BA ，又因为C H ⊥AB ，C 90∠A B =，所以C C ∆A H ∆AB ∽，所以C C ∠A H =∠BA ，C DFC ∠A H =∠，所以D //C E H ． （5分）（2）设D A 与圆交于点M ，连接BM ，因为CD 是圆的切线，所以2CD D D =A⋅M ， 又因为D E ⊥AB ，90∠AMB =，所以D ∆AE ∆AMB ∽， 所以D AE AM=A AB，即D AE ⋅AB =A ⋅AM ， 所以()22222D DF D DC D D D D D D A -=A -=A -A ⋅M =A ⋅A -MD =A ⋅AM =AE ⋅AB即22D DF A -=AE⋅AB ． （10分）23.（选修4-4：坐标系与参数方程）（1）依题意，可知直线l 的参数方程为：2cos 3sin 2x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）． （2分） 曲线C 的极坐标方程为：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=． （4分）（2）将2cos 3sin 2x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）代入C :()()22121x y -+-=，得： ()212cos sin 04t t αα+-+=，由0∆>得，2cos sin 1αα->，故(121212111142cos sin t t t t t t αα++=+==-∈PM PN ． （10分） 24.（选修4-5：不等式选讲）（1）当1a =时，()221f x x x =-++，（i ）2822283x x x x ≥⎧⇒>⎨-++>⎩；（ii ）122228x x x x -<<⎧⇒∈∅⎨-++>⎩；（iii ）1822283x x x x ≤-⎧⇒<-⎨--->⎩．综上所述，不等式的解集为88,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （5分）（2）()322,22,2322,2x a x af x x a a x x a x -+-≤-⎧⎪=++-<<⎨⎪-+≥⎩，()()min 2f x f a a =-=+；()3f x ≥在R 上恒成立，则23a +≥，解得1a ≥． （10分）。

（第4题） 连云港市2017-2018届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 命题“x ∃∈R ，20x>”的否定是“ ▲ ”．【答案】x ∀∈R ，20x≤2． 设1i i 1ia b +=+-(i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则ab 的值为 ▲ ． 【答案】03． 设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}21B x x=≥，则A B = ▲ ．【答案】{}1 3-，4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为▲ ．【答案】115． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2) 如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．【答案】0.026． 若函数()π()2sin 3f x x ω=+(0)ω>的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值 为 ▲ ．【答案】π2BDC（第12题）A7． 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线ln y x =在e x =(e 为自然对数的底数)处的切线与直线30ax y -+=垂直，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】e -8． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =3 cm ，AD =2 cm ，1AA =1 cm ，则三棱锥11BABD -的体积为 ▲ cm 3．【答案】19． 已知等差数列{}na 的首项为4，公差为2，前n 项和为nS ． 若544kk Sa +-=(k *∈N )，则k 的值为 ▲ ．【答案】7 10．设32()4(3)f x x mx m x n =++-+(m n ∈R ，)是R 上的单调增函数，则m 的值为 ▲ ．【答案】611．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为▲ ．12．如图，在△ABC 中，3AB =，2AC =，4BC =，点D 在边BC 上，BAD ∠=45°，则tan CAD ∠的值为 ▲ ．【答案】 AA 1 不C不B 1不C 1不D 1不D不（第8题）ABCDMNQ（第15题）13．设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg lg 4lg lg z zx y+的最小值为 ▲ ．【答案】9814．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA AB =，则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面BAD ⊥平面CAD ，BAD ∠=90°．M ，N，Q 分别为棱AD ，BD ，AC 的中点．（1）求证：//CD 平面MNQ ； （2）求证：平面MNQ ⊥平面CAD ．证明：（1）因为M ，Q 分别为棱AD ，AC 的中点， 所以//MQ CD，…… 2分又CD⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，故//CD平面MNQ． (6)分（2）因为M，N分别为棱AD，BD的中点，所以//MN AB，又90∠=°，故BAD⊥．…… 8分MN AD因为平面BAD⊥平面CAD，平面BAD 平面CAD AD=，且MN⊂平面ABD，所以MN⊥平面ACD． (11)分又MN⊂平面MNQ，平面MNQ⊥平面CAD．…… 14分（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN⊥平面ACD”，扣1分．）16．（本小题满分14分）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；（2）测试成绩为“优”的3名男生记为1a ，2a ，3a ，2名女生记为1b ，2b ．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛． ① 写出所有等可能的基本事件； ② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件A ，“测试成绩为良”为事件1A ，“测试成绩为中”为事件2A ，事件1A ，2A 是互斥的. …… 2分 由已知，有121923()()5050P A P A ==，． …… 4分因为当事件1A ，2A 之一发生时，事件A 发生， 所以由互斥事件的概率公式，得等级 优 良 中 不及格 人数5192331212192321()()()()505025P A P A A P A P A =+=+=+=． (6)分（2）① 有10个基本事件：12()a a ，，13()a a ，，11()a b ，，12()a b ，，23()a a ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，，12()b b ，． …… 9分② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件B ．在上述等可能的10个基本事件中，事件B 包含了11()a b ，，12()a b ，，21()a b ，，22()a b ，，31()a b ，，32()a b ，．故所求的概率为63()105P B ==． 答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为21； （2）参赛学生中恰有1名女生的概率为35． ……14分（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件B 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=a (1，0)，=b (0，2).设向量=+x a (1cos θ-)b ，k =-y a 1θ+b ，其中0πθ<<. （1）若4k =，π6θ=，求x ⋅y 的值； （2）若x //y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值. 解：（1）（方法1）当4k =，π6θ=时，(12=-，x ，=y (44-，)， (2)分则⋅=x y (1(4)244⨯-+-⨯=- (6)分（方法2）依题意，0⋅=a b ， (2)分则⋅=x y (()(22142421⎡⎤+-⋅-+=-+⨯⎢⎥⎣⎦a b a b a b(42144=-+⨯⨯=- ． …… 6分（2）依题意，()122cos θ=-，x ，()2sink θ=-，y ， 因为x //y ，所以2(22cos )sin k θθ=--， 整理得，()1sin cos 1kθθ=-， …… 9分令()()sin cos 1f θθθ=-， 则()()cos cos 1sin (sin )f θθθθθ'=-+-22cos cos 1θθ=--()()2cos 1cos 1θθ=+-. ……11分令()0f θ'=，得1cos 2θ=-或cos 1θ=， 又0πθ<<，故2π3θ=. 列表：故当2π3θ=时，min ()f θ=，此时实数k取最大值. …… 14分（注：第（2）小问中，得到()122cos θ=-，x ，()2sin k θ=-，y ，及k 与θ的等式，各1分．）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P xy ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.θ ()2π0 3， 2π3()2π π3，()f θ' -0 +()f θ↘ 极小值↗（1）若3a =，b =0x 的值；（2）若00x=，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的 右准线2a x c =相切. 解：（1）因为3a =，b =2224c a b =-=，即2c =，由PA PF⊥得，00001y y⋅=-，即220006y x x =--+, …… 3分又2200195x y +=，所以2004990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． …… 5分 （2）当00x =时,220y b =，由PA PF⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac=，故22a c ac -=， …… 8分所以210e e +-=，解得e =（负值已舍）． …… 10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a cc-，且2200221x y a b+=，① 由PA PF ⊥得，01y y x a x c ⋅=-+-,即2200()yx c a x ca =-+-+, ②由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a=-(舍去). …… 13分 所以PF ==c a x a=-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-， 所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c =相切. …… 16分（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x =的距离为2a c -，得1分；直接使用焦半径公式扣1分．）19．（本小题满分16分）设a ∈R ，函数()f x x x a a =--． （1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）当4a >时，求函数()()y f f x a =+零点的个数．解：（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-， 令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =， 所以a =，此时()f x x x=为奇函数． …… 4分（2）因为对任意的[2 3]x ∈，，()0f x ≥恒成立，所以min()0f x ≥．当0a ≤时，对任意的[2 3]x ∈，，()0f x x x a a =--≥恒成立，所以0a ≤； …… 6分当0a >时，易得22 () x ax a x a f x x ax a x a ⎧-+-<⎪=⎨--⎪⎩，，，≥在(2a ⎤-∞⎥⎦，上是单调增函数，在 2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上 是单调减函数，在[) a +∞，上是单调增函数， 当02a <<时，min()(2)2(2)0f x f a a ==--≥，解得4a ≤，所以4a ≤； 当23a ≤≤时，min()()0f x f a a ==-≥，解得0a ≤，所以a 不存在；当3a >时，{}{}min ()min (2)(3)min 2(2)3(3)0f x f f a a a a =----，=，≥，解得92a ≥， 所以92a ≥； 综上得，4a ≤或92a ≥． …… 10分（3）设[]()()F x f f x a =+， 令()t f x a x x a =+=-则()y f t ==t t a a --，4a >， 第一步，令()0f t =t t a a ⇔-=，所以，当t a <时，20tat a -+=，判别式(4)0a a ∆=->，解得1t 2t ；当t a ≥时，由()0f t =得，即()t t a a -=，解得3t 第二步，易得12302a tt a t <<<<<，且24a a <，① 若1x x a t -=，其中210a t <<，当x a <时，210xax t -+=，记21()p x x ax t =-+，因为对称轴2a x a =<， 1()0p a t =>，且21140a t ∆=->，所以方程210t at t -+=有2个不同的实根；当x a ≥时，210xax t --=，记21()q x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<， 1()0q a t =-<，且22140a t ∆=+>，所以方程210x ax t --=有1个实根，从而方程1x x a t -=有3个不同的实根；② 若2x x a t -=，其中2204a t <<，由①知，方程2x x a t -=有3个不同的实根；③ 若3x x a t -=，当x a >时，230xax t --=，记23()r x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<， 3()0r a t =-<，且23340a t ∆=+>，所以方程230x ax t --=有1个实根；当x a ≤时，230xax t -+=，记23()s x x ax t =--，因为对称轴2a x a =<， 3()0s a t=>，且2334a t ∆=-，2340a t ->⇔324160a a --<，…… 14分 记32()416m a aa =--，则()(38)0m a a a '=->，故()m a 为(4 )+∞，上增函数，且(4)160m =-<，(5)90m =>， 所以()0m a =有唯一解，不妨记为0a ，且0(45)a∈，，若04a a <<，即30∆<，方程230x ax t -+=有0个实根；若0a a =，即30∆=，方程230x ax t -+=有1个实根； 若0a a >，即30∆>，方程230x ax t -+=有2个实根，所以，当04a a <<时，方程3x x a t -=有1个实根；当0a a =时，方程3x x a t -=有2个实根；当0a a >时，方程3x x a t -=有3个实根．综上，当04a a <<时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为7；当0a a =时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为8；当a a >时，函数[]()y f f x a =+的零点个数为9． …… 16分（注：第（1）小问中，求得0a =后不验证()f x 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）20．（本小题满分16分）设{}na 是公差为d 的等差数列，{}nb 是公比为q (1q ≠)的等比数列．记nn n ca b =+．（1）求证：数列{}1n n cc d +--为等比数列；（2）已知数列{}nc 的前4项分别为4，10，19，34． ① 求数列{}na 和{}nb 的通项公式；② 是否存在元素均为正整数的集合A ={1n ，2n ，…，} k n (4k ≥，k *∈N )，使得数列1n c ，2n c ，…，kn c 为等差数列？证明你的结论．解：（1）证明：依题意，()()111n n n n n n cc d a b a b d +++--=+-+-()()11n n n n a a d b b ++=--+-(1)0n b q =-≠， …… 3分从而2111(1)(1)n n n n n n c c d b q q cc db q ++++---==---，又211(1)0c cd b q --=-≠， 所以{}1n n cc d +--是首项为1(1)b q -，公比为q 的等比数列． …… 5分（2）① 法1：由（1）得，等比数列{}1n n cc d +--的前3项为6d -，9d-，15d -，则()29d -=()()615d d --，解得3d =，从而2q =， (7)分且111143210 ab a b +=⎧⎨++=⎩，，解得11a=，13b =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分法2：依题意，得1111211311410219334a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，，，， …… 7分消去1a ，得1121132116915d b q b d b q b q d b q b q +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩，，，消去d ，得2111321112326b q b q b b q b q b q ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 消去1b ，得2q =，从而可解得，11a =，13b =，3d =，所以32n a n =-，132n n b -=⋅． …… 10分② 假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r A ∈()l m p r <<<，且l c ，m c ，pc ，rc 成等差数列，则2mp l cc c =+，因为0lc>，所以2m p c c >， ①若1p m >+，则2p m +≥， 结合①得，112(32)32(32)32m p m p --⎡⎤-+⋅>-+⋅⎣⎦13(2)232m m ++-+⋅≥，化简得，8203mm -<-<， ② 因为2m ≥，m *∈N ，不难知20mm ->，这与②矛盾，所以只能1p m =+， 同理，1r p =+，所以mc ，p c ，r c 为数列{}nc 的连续三项，从而122m m m c c c ++=+，即()11222m m m m m m a b a b a b +++++=+++，故122m m m bb b ++=+，只能1q =，这与1q ≠矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合A ． (16)分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）连云港市2017-2018届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．证明：因为PC 为圆O 的切线， 所以PCA CBP∠=∠，…… 3分又CPA CPB ∠=∠， 故△CAP∽△BCP，…… 7分所以AC AP =， 即AP BC AC CP⋅=⋅．…… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵232a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征向量，求实数a 的值． 解：设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则P（第21 - A 题）232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…… 5分 故262 123 a λλ+=⎧⎨=⎩，，解得4 1. a λ⎧⎨=⎩=，…… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线π3θ=与曲线210cos 40ρρθ-+=相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：（方法1）将直线π3θ=化为普通方程得，y ，将曲线210cos 40ρρθ-+=化为普通方程得，221040x y x +-+=, (4)分联立221040y x y x ⎧=⎪⎨+-+=⎪⎩，并消去y 得，22520xx -+=，解得112x=，22x=，所以AB 中点的横坐标为12524x x +=，纵坐标为…… 8分化为极坐标为()5π 23，．…… 10分（方法2）联立直线l与曲线C的方程组2π10cos 40θρρθ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，…… 2分消去θ，得2540ρρ-+=，解得11ρ=，24ρ=，…… 6分所以线段AB中点的极坐标为()12π23ρρ+，，即()5π 23，． …… 10分 （注：将线段AB 中点的极坐标写成()5π 2π ()23k k +∈Z ，的不扣分．）D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设实数a ，b ，c 满足234a b c ++=，求证：22287ab c ++≥． 证明：由柯西不等式，得()()222222123ab c ++++≥()223a b c ++， …… 6分因为234a b c ++=， 故22287a b c ++≥，…… 8分当且仅当123a b c ==，即27a =，47b =，67c =时取“=”． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(84)A -，，(2)P t ，(0)t <在抛物线22y px =(0)p >上．（1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1232kk k +=，求点C 的坐标．解：（1）将点(84)A -，代入22y px =， 得1p =， ……2分将点(2)P t ，代入22yx =，得2t =±，因为0t <，所以2t =-． …… 4分（第22题）（2）依题意，M 的坐标为(20)，， 直线AM 的方程为2433y x =-+， 联立224332y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，并解得B ()112，， …… 6分所以113k =-，22k =-， 代入1232k k k +=得，376k =-， …… 8分从而直线PC 的方程为7163y x =-+， 联立24337163y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩，并解得C ()82-，． …… 10分23．（本小题满分10分）设A ，B 均为非空集合，且A B =∅，A B ={ 123，，，…，}n (n ≥3，n *∈N )．记A ，B 中元素的个数分别为a ，b ，所有满足“a ∈B ，且b A ∈”的集合对(A ，B )的个数为na ．（1）求a 3，a 4的值；（2）求na ．解：（1）当n =3时，A B ={1，2，3}，且A B =∅， 若a =1，b =2，则1B ∈，2A ∈，共01C 种；若a =2，b =1，则2B ∈，1A ∈，共11C 种，所以a 3=01C 11+ C 2=；…… 2分当n =4时，A B ={1，2，3，4}，且A B =∅， 若a =1，b =3，则1B ∈，3A ∈，共02C 种；若a =2，b =2，则2B ∈，2A ∈，这与A B =∅矛盾； 若a =3，b =1，则3B ∈，1A ∈，共22C 种，所以a 4=02C 22+ C 2=．…… 4分（2）当n 为偶数时，A B ={1，2，3，…，n }，且A B =∅， 若a =1，b 1n =-，则1B ∈，1n -A ∈，共02C n -（考虑A ）种；若a =2，b 2n =-，则2B ∈，2n -A ∈，共12C n -（考虑A ）种；……若a=12n -，b12n =+，则12n -B ∈，12n +A ∈，共222C nn --（考虑A ）种；若a =2n ，b 2n =，则2n B ∈，2n A ∈，这与A B =∅矛盾；若a 12n =+，b 12n =-，则12n +B ∈，12n -A ∈，共22C nn -（考虑A ）种；……若a =1n -，b 1=，则1n -B ∈，1A ∈，共（考虑A ）22C n n --种，所以a n=02Cn -+12Cn -+…+222Cn n --+22Cn n -+…+12222C 2C n n n n n -----=-； …… 8分当n 为奇数时，同理得，a n =02C n -+12C n -+…+222C 2n n n ---=， 综上得，122222C 2 .n n n n n n a n ----⎧⎪-=⎨⎪⎩，为偶数，，为奇数 …… 10分。