圆中的 计算

圆的有关性质及圆中的计算一、知识要点概述1、与圆有关的概念（1）圆可以看做是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，它是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以每一条直径所在的直线为对称轴的轴对称图形．不在同一直线上的三点确定一个圆．（2）圆中的弦、弧、弦心距、同心圆、等圆、等弧等概念．2、与圆有关的角（1）圆心角与圆周角的概念、弦切角的概念．（2）在同圆（或等圆中）同弧（或等弧）所对的圆周角是它所对圆心角的一半．（3）弦切角等于它夹弧所对的圆周角．（4）圆周角定理及其推论3、圆的对称性（1）圆的轴对称性（垂径定理）：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；弦的中垂线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（2）圆的旋转对称性：在同圆或等圆中，有如下相等关系：等弦等弧等弦心距等圆心角4、圆的两条平行弦所夹的弧相等．5、圆内接四边形对角互补，任何一个外角都等于它的内对角；圆外切四边形的两组对边之和相等．6、如果弧长为l，圆心角的度数为n°，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为，圆周长C=2πr．7、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形面积为S，则扇形的面积计算公式为：．8、圆柱的侧面展开图是矩形，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积S=2πrh，圆柱的全面积为S=2πr2＋2πrh．9、圆锥的侧面展形图是扇形，设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为．二、典例剖析例1、如图，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC且AB=AC．M和N分别为弦AB及AC的中点，连结M和N并向两方向延长交圆于P和Q两点．求证：PM=NQ．分析：欲证PM=NQ，因为PQ为弦，容易联想到作弦心距OH，则PH=HQ．现只要证MH=HN即可．又M、N分别为弦AB、AC的中点，易知OM=ON，故原结论可证．证明：作OH⊥PQ于H，则PH=HQ．连结OM、ON，∵M、N分别是弦AB、AC的中点，∴OM⊥AB，ON⊥AC．又∵AB=AC，∴OM=ON．又∵OH⊥MN，∴MH=HN，∴PM=NQ．例2、如图，△ABC内接于⊙O，弦CM⊥AB，CN是直径，F是的中点．求证：（1）CF平分∠NCM；（2）．分析：（1）欲证∠1=∠2，应设法转化．因为AB为弦，F为的中点，不难想到连结OF，则OF//CM，∠OFC=∠2．而∠OFC=∠1，∴∠1=∠2．（2）欲证，只需证，即证∠NOF=∠MOF即可．由OF//CM，只要证∠OCM=∠OMC就行．证明：（1）连结OF．∵F为的中点，∴OF⊥AB．又CM⊥AB，∴OF//CM，∴∠OFC=∠2．又OC=OF，∴∠OFC=∠1，∴∠1=∠2，即CF平分∠NCM．（2）连结OM，则∠OMC=∠MCO．∵OF//CM，∴∠NOF=∠MCO，∠FOM=∠OMC，∴∠NOF=∠FOM，例3、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米．假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，那么学校受影响的时间为多少秒？（拖拉机的速度为18千米/时）分析：学校受噪声影响的条件是拖拉机在行驶的过程中距点A的距离小于100米，所以以A为圆心，以100米为半径作⊙A．若⊙A与MN有交点，则学校受到噪声影响．若⊙A与MN无交点，则学校不受噪声影响．解：如图，过A点作AB⊥MN于B．在Rt△PAB中，∠QPN=30°，PA=160米，∴AB=PAsin30°=80米<100米，∴学校受噪声影响．以点A为圆心，以100米为半径作⊙A交MN于C、D两点．连结AC，则，∴CD=120米．又拖拉机的速度为，故学校受噪声影响的时间为．例4、如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E．求证：．分析：设法构造2OE，能证它与AD相等即可．由O为圆心，OE为弦心距，不难知BF=2OE．再证BF=AD，即证AF//BD．证明：作直径CF，连结AF、BF．∵OE⊥BC，∴E为BC的中点．又∵CF为直径，O为圆心，∴（三角形中位线定理）．∵CF为直径，∴∠CAF=90°，即FA⊥AC．又∵AC⊥BD，∴FA//BD，∴∠FAB=∠ABD，∴，BF=AD，∴．例5、如图，⊙O的半径为12cm，以⊙O的半径OA为直径作⊙O′交半径OC于B点．若∠AOC=45°，求围成的阴影图形的面积．解：连结AB，则∠ABO=90°．=S弓形OB．∵∠AOB=45°，∴，S弓形AB由OA=12cm知S△=36cm2，ABO例6、如图，⊙O与⊙O′外切于点M，AB、CD是它们的外公切线，O′E⊥OA，垂足为E，且∠AOC=120°．(1)求证：⊙O′的周长等于的弧长；(2)若⊙O′的半径为1cm，求图中阴影部分的面积．解：（1）证明如下：由已知得∠AOO′=60°，四边形ABO′O为直角梯形，设⊙O和⊙O′的半径分别为R、r，例7、一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆．求：（1）圆锥的母线与底面半径之比；（2）锥角的大小；（3）圆锥的表面积．解：如图，AO为圆锥的高h，经过AO的剖面是等腰△ABC，则AB为圆锥的母线l，BO为底面半径r．（1）∵圆锥的侧面展开图是半圆，∴2πr=πl，即．（2）∵，即AB=2OB，∴∠BAO=30°，∴∠BAC=60°，即锥角为60°．（3）在Rt△AOB中，l2=h2＋r2．又∵l=2r，，∴r=3cm，l=6cm，∴S表=S侧＋S底=πrl＋πr2=3×6π＋32π=27π(cm2)．例8、如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AC=2a，BC=b，以直线AB为轴旋转一周得到一个几何体．求这个几何体的表面积．分析：解本题的关键是要想象出旋转后的空间图形．过C作CO⊥AB于O，∵AC=2a，∠A=30°，∴CO=a．显然以直线AB为轴旋转一周得到的几何体是底面重合的两个圆锥，其底面半径为OC，所以这个几何体的表面积S是两个圆锥的侧面积S1与S2的和．解：过C作CO⊥AB于O．因为AC=2a，∠A=30°，所以CO=a，∴S1=·2a·2πa=2πa2，S2=·b·2πa=πab，故S=S 1＋S 2=2πa 2＋πab=πa(2a ＋b)．冲刺练习一、填空题．1、在直径为10cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，油面宽AB 为6cm ．当油面宽AB 为8cm 时，油面上升了__________．2、如图，⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD=6cm ，则A 、B 到直线CD 的距离之和为__________cm ．3、如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，AC=a ，则四边形ABCD 的面积为__________．4、如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠CBD=45°，∠CDB=60°，AB=，则BD=__________．5、在扇形AOB中，∠AOB=60°，OB=4，AC⊥OB于C，以C为圆心，CB长为半径画弧交OA于D，则所围成的图形的面积是__________．6、在△ABC中，AB=3，AC=4，∠A=90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个，把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为圆锥，其表面积为S1S2，则S1︰S2=__________．[答案]二、选择题．7、如图，⊙O的半径为10，A、B在圆上，OC⊥AB于C，AD⊥OB于D，则OC2＋CD2等于（）A．B．100C．75D．不确定8、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C．若AB=3，BC=1，则与圆环的面积最接近的整数是（）A．9B．10C．15D．139、如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A′上．若BC=5，则折痕在△ABC内的部分DE长为（）A．2B．C．D．10、在⊙O内接△ABC中，OD⊥BC于D，∠BOD=38°，则∠A等于（）A．19°B．38°或142°C．38°D．19°或161°11、如图，锐角△ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB、AC于D、E两点，且S△ADE ︰S四边形DBCE=1︰2，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．12、如图，A点是半圆上的一个三等分点，B点是的中点，P是直径MN上一动点．⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为（）A．1B．C．D．13、如图，设大的半圆弧长为l1，n个小的半圆圆心在大的半圆的直径上且互相外切，其直径之和等于大的半圆的直径．若n个小半圆的总弧长为l2，则l1与l2之间的关系是（）A．l1=nl2B．l1=πl2C．l1=l2D．14、如图，扇形OAB中，以OA、OB为直径在扇形内作半圆，n和N分别表示两个阴影部分的面积，那么n和N的大小关系是（）A．N=n B．n>NC．n<N D．无法确定[答案与提示]三、解答题．15、如图⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点的直线EF分别交⊙O1、⊙O2于点E、F，点C、D分别是弦AE、AF的中点，M是O1、O2的中点，MA⊥EF，O1A⊥O2A，C、O2D的长是关于x的方程x2＋mx＋1=0的两个根．且O1（1）求证：AE=AF；（2）求EF的长．[答案]16、如图，锐角△ABC内接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B为锐角且关于x的方程x2－4xcosB＋1=0有两个相等的实数根，D是劣弧上任一点（点D不与A、C重合），DE平分∠ADC交⊙O于E，交AC于点F．（1）求∠B的度数；（2）求CE的长；（3）求证：DA、DC的长是方程y2－DE·y＋DE·DF=0的两个实数根．[答案]17、如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD交点为E，AE=EC，．求四边形ABCD的面积．[答案]18、已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20cm，BC=15cm，以直线AB为轴旋转一周，得到一个圆锥．求这个圆锥的表面积．[答案]19、如图，⊙O的半径为R，直径AB垂直于直径CD，以B为圆心，以BC为半径作⊙B交AB于E，交AB延长线于F，连结CB并延长交⊙B于M，连AM交⊙O于N．（1）求两圆公共部分的面积S；（2）求证：AM·NM=2AE·AF．[答案]20、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，D是上的点，BD交AC于E．已知AB=5，．（1）设CE=m，，试用含m的代数式表示k；（2）当AD//OC时，求k的值；（3）当BE=6DE时，求的长．（下列数据供选用：，结果中保留π）[答案]答案：1、1或72、83、4、5、6、3︰4提示：1、分油面过圆心和未过圆心两种情况．2、作弦CD的弦心距．3、将△ABC绕A点逆时针旋转60°，使AB与AD重合，点C到达位置，则．4、连结AC，则∠BAC=∠CDB=60°．在Rt△ABC中，，作CE⊥BD于E，在Rt△BEC中，可求得BE=．在Rt△DEC中，可求得DE=1．5、连结BD，用扇形AOB的面积减去△OBD和弓形BD的面积．答案：7、B 8、D 9、C 10、B11、D 12、C 13、C 14、A提示：7、DC是Rt△ADB斜边上的中线，∴DC==BC．8、作弦心距OD．圆环面积为π(OC2－OB2)=π[(OD2＋CD2)－(OD2＋BD2)]=π(CD2－BD2)=4π．9、DE过圆心，△ADE与△ABC的相似比为2︰3．10、分圆心O在△ABC内或在△ABC外两种情况．11、连结BE，则BE⊥AC．又△ADE∽△ACB，．12、作点A关于MN的对称点A′，当A′、P、B三点共线时，AP＋BP的值最小．在Rt△BOA′中，可求得BA′=．15、（1）易证O1C⊥EF，O2D⊥EF，从而O1C//MA//O2D．又O1M=O2M，∴AC=AD，故AE=AF．（2）证△O1CA∽△ADO2，得AC2=O1C·O2D．又由一元二次方程根与系数关系知：O1C·O2D=1，∴AC=1，故EF=4．16、（1）由△=0，可求得∠B=60°．（2）连结AE，易证△ACE是正三角形，∴CE=CA．在△ABC中作高AH，则AH=，在Rt△ABH中，可求得BH=3，则CH=1．在Rt△ACH中，可求得．（3）在DE上取点G，使DG=DA．连结AG、AE，易证△ADC≌△AGE，GE=DC，故DA＋DC=DE，故△ADF∽△EDC可得DA·DC=DE·DF，∴DA、DC的长是方程y2－DE·y＋DE·DF=0的两个实数根．17、∵AE=EC，AB=AE，∴AB2=AE·AC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABD=∠ACB，，∴AB=AD．=．连结OA，则OA⊥BD，可求得S△ABD=2S△ABD=．又∵AE=EC，∴S四边形ABCD18、由勾股定理得AB=25cm，作CD⊥AB于D，则CD=12cm，∴S表=×2π×12×(20＋15)=420π(cm2)．19、（1）连结BD，则∠CBD=90°，S=S⊙O＋S扇形BDEC－S△BDC=(π－1)R2．（2）连结AC，易证AC是⊙B的切线，∴AC2=AE·AF．连结MD，可证DM是⊙O的切线，∴DM2=MN·MA．又DM=DC=2OC，∴DM2=4OC2=2AC2，∴AM·NM=2AE·AF．20、（1）由已知，得∠ACB=90°，可求得BC=3，AC=4．又BE2=m2＋9，BE·DE=AE·CE，∴k·BE2=m(4－m)，．（2）证：△BAC∽△EBC得m=CE=，代入（1）得．。

圆半径的计算公式是什么
圆的半径是指从圆心到圆周上任意一点的距离，是圆的重要属性之一、半径的计算公式可以通过圆的直径或者周长来确定。

第一种计算公式是使用圆的直径计算半径。

圆的直径是圆中任意两点
之间的距离，等于两倍的半径。

直径=2×半径
可以根据直径计算半径的公式为：
半径=直径÷2
周长=直径×π
可以根据周长计算半径的公式为：
半径=周长÷(2×π)
这两种公式可以互相转换，因为直径=2×半径，所以周长=直径
×π=(2×半径)×π，因此周长也可以用2π乘以半径表示。

这些公式适用于任何圆，无论其大小或位置。

在实际问题中，可以根
据已知的直径或周长来计算半径。

例如，如果已知一个圆的直径是10厘米，可以使用直径计算公式得到半径为5厘米。

如果已知一个圆的周长是20厘米，可以使用周长计算公式得到半径为3.183厘米（约）。

有关圆的所有计算公式S圆=π×R的平方; C圆=2πR或πD扇形弧长l=nπr/180 扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2 圆锥侧面积S=πrl 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F＞0）。

其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。

圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r 为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2 在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M （a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0*x+b0*y=r^2平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

1、如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD。

（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝24，ON＝1，求⊙O的半径。

2、在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD。

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求出∠DCA的度数。

知识点（圆相关概念和性质）知识点一：垂径定理1．垂径定理：于弦的直径这条弦且这条弦所对的。

2．推论（1）：①平分（）的垂直于弦且弦所对的；②弦的经过且弦所对的两条弧；③弦所对的一条的直径弦且平分弦所对的另一条弧。

推论（2）：圆的两条弦所夹的弧。

知识点二：圆心角、弧、弦、弦心距间的关系1．定理：在或中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，相等。

2．推论：同圆或等圆中，如果①两个相等，②两条相等，③两条相等，④两条弦的中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

知识点三：圆周角定理及其推论1．定理：在同圆或等圆中，或所对的相等，都等于这条弧所对的的。

2．推论①：同弧或等弧所对的相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是。

推论②：或所对的是直角；是直角（90°的）所对的弧是，所对的弦是。

推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是。

知识点四：圆内接四边形性质定理1．概念：所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

2．定理：圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都等于它的。

知识点五：直线与圆的位置关系直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称知识点六：圆的切线1．切线的性质（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径。

拓展：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；③切线与圆只有一个公共点；④圆心到切线的距离等于半径。