概率统计试卷+答案
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南
京 林 业 大 学 试 卷
课程 概率论与数理统计(B)
一.填空题（共40分，每题4分）
1.某人忘记某单位电话号码的最后一个数字,无奈他只好随意地拨号,则他拨号不超过三次而接通的概率是3.0。
2. 设X 在[0,6]上服从均匀分布,则方程04522
=-++X Xx x 有实根的概率为
2
1。
3.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨
⎧∉∈=G
y x G
y x k y x f ),(,0),(,),(,其中
}0,10),{(x y x y x G ≤≤≤≤=,则k = 2 ,=
)(XY E 4
1。
4.一次试验中事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 n p )1(-1)1(--+n p n 。
5.设随机变量Y X ,独立，,4)(,9)(==Y D X D 则=-+),(Y X Y X Cov __5____。
6.设随机事件C B A ,,,4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,35.0)(=C P ,,25.0)()(==AC P AB P 0)(=BC P ,则=++)(C B A P 55.0。
7.将一枚硬币重复抛掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数为1-。
8.设随机变量21,X X ,3X 相互独立，1X ～)1,0(N ,2X ～)21
,0(N ,3X ～)3
1,0(N ，则
2
3
222132X X X ++服从)3(2χ分布。
9设甲袋中装有2只白球、3只红球,乙袋中装有6只白球、3只红球;今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率=
25
16。
10.在长为a 的线段上任取两点,则两点间的距离的数学期望为
3
a 。
二.（12分）一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假定每箱平均重50千克,标准差为5千克,若用最大载重量为5吨的汽车承运,问每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977)977.0)2((=Φ。
解:设),,2,1(n i X i =是装运的第i 箱重量,n 是所求箱数,由条件可以把21,X X n X 视为独立同分布随机变量,而n 箱总重量为++=21X X T n n X + ,
n T D n T E n n 5)(,50)(==,由中心极限定理,得
}5000{≤n T P }5505000550{n n n n T P n
-≤-=977.0)101000(>-Φ=n n
)2(Φ=。
,0199.98,2101000<>-n n
n
故最多可以装98箱。
三.（12分）设二维随机变量),(Y X 在以点)1,1(),0,1(),1,0(为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 求随机变量Y X Z +=的方差。
解: 三角形区域为};1,10,10),{(≥+≤≤≤≤=y x y x y x G 随机变量Y X ,的联合分布为
⎩
⎨
⎧∉∈=G y x G
y x y x f ),(,0),(,2),( 设X 的密度函数为)(1x f ,则当0≤x 或1≥x 时,0)(1=x f ,当10<<x 时,==
⎰
+∞
∞
-dy y x f x f ),()(1
,221
1x dy x
=⎰
-故=
)(X E ,3
2
21
2=
⎰
dy x =)(2X E ,2121
3=
⎰
dy x 所以=)(X D ,18
1)]([)(22=-X E X E 同理, =
)(Y E ,32 =)(Y D ,18
1
⎰⎰=G
xydxdy XY E 2)(⎰⎰
-=
1
1
11252x
ydy xdx ,36
1
)(),cov(-=-=EXEY XY E Y X 18
1
),cov(2)(=
++=+=Y X DY DX Y X D DZ 四.（12分）设二维随机变量),(Y X 的密度函数为)],(),([2
1
),(21y x y x y x f ϕϕ+=
其中),(1y x ϕ,),(2y x ϕ都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为31,3
1-,它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0,方差都是1,
(1).求随机变量X 和Y 的密度函数)(1x f 和)(2y f ,及X 和Y 的相关系数ρ。
(2).问X 和Y 是否独立? 解:
(1).由于二维正态密度函数的两个边缘密度函数都是正态密度函数,因此),(1y x ϕ和),(2y x ϕ的两个边缘密度函数都是标准正态密度函数,故 ==
⎰
+∞
∞
-dy y x f x f ),()(1⎰+∞
∞
-dy y x ),([211ϕ]),(2⎰+∞∞-+dy y x ϕ
+=-2
2
21[21x e π
]212
2x e
-
π
2
221x e
-
=
π
同理 )(2y f 2
221y e
-
=
π
显然X ～),1,0(N Y ～),1,0(N 所以,0==EY EX ,1==DY DX 所以X 和Y 的相关系数
E X Y EY EX XY E Y X DY
DX Y X =⨯-===
)(),cov(),cov(ρ
⎰⎰+∞∞
-+∞
∞-=
dy y x xyf dx ),(+=⎰⎰+∞∞
-+∞
∞-dy y x xy dx ),([211ϕ]),(2⎰⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-dy y x xy dx ϕ
设对应),(1y x ϕ的两个随机变量是ξ和η,则,1,0====ηξηξD D E E ,所以ξ和η的相关系数为
31),(1=
⎰⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-dy y x xy dx ϕ,同理3
1
),(2-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy y x xy dx ϕ,所以
=ρ +
=⎰⎰+∞∞-+∞
∞
-dy y x xy dx ),([211ϕ0]),(2=⎰⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-dy y x xy dx ϕ
(2)由题设 )3
2
(16922[83),(y xy x e
y x f +--
=
π
π])3
2
(16922y xy x e
++-
+, )
(21
212221)()(y x e y f x f +-=
π
显然≠),(y x f )()(21y f x f ,所以X 和Y 不独立。
五.（12分）一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布,平均无故障工作的时间5=EX 小时, 设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障工作的情况下工作两小时便关机,试求该设备每次开机后无故障工作的时间Y 的分布函数)(y F 。
解:设X ～⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0
05
1)(5
1
x x e x f x ,而}2,min{X Y =
显然当,0)(,0=<y F y 当,1)(,2=≥y F y
当5
1)()}2,(min{)()(,20y
e
y X P y X P y Y P y F y --=≤=≤=≤=<≤
所以Y 的分布函数⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥<≤-<=-
2
120100
)(1y y e y y F y
六.(12分)设总体X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-0
,00,4),(2
3
2x x e q x q x f q x π，其中0>q 为未知参数,设样本为21,X X ,n X ，
(1)试求2q 的极大似然估计量)(2q
(2)问)(2q 是否为2q 的无偏估计，试说明理由。
解:(1)极大似然函数21,(x x L ,),2q x n ∑==-
=∏n
i i x q
n i i n e x q 1
2
11
2
3
)4
(
π
取对数21,(ln x x L ,),2
q x n ∑∑==-+-=n i i n i i x q x q n n 121
22
21ln ln 23)4
ln(π
求导+
-223q n 01
1
24
=∑=n
i i
x q ,得2q 的极大似然估计为)(2
q ∑==n i i x n 12
32 (2) 2
1232)32(EX x n E n
i i =∑=,而⎰⎰∞-
∞∞-=
==02
34
222
34),(2
2q dx e q
x dx q x f x EX q x π 故2
2)(q q E =,所以是无偏估计。
