高中数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3_1_3 二倍角的正弦、余弦、正切公式互动课堂学案

两角和与差正弦余弦和正切公式

正弦和差公式：对于任意两个角α和β，有以下正弦和差公式：

sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ

余弦和差公式：对于任意两个角α和β，有以下余弦和差公式：

cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ

正切和差公式：对于任意两个角α和β（其中α不等于(2n+1)π/2，β不等于(2m+1)π/2），有以下正切和差公式：

tan(α±β) = (tanα±tanβ) / (1∓tanαtanβ)

正弦、余弦和正切公式在解决三角函数问题中非常重要，可以帮助我们计算任意两个角之间的正弦、余弦和正切值。

首先，考虑正弦和差公式。它表示两个角的正弦的和或差等于这两个角分别对应的正弦的乘积与余弦的乘积之和或差。这个公式可以用来计算不同角度的正弦之和或差。

例如，我们可以使用正弦和差公式来计算sin(α+β)：

sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ

其中α和β是两个角。我们可以通过已知角度的正弦和余弦值来计算这两个角的正弦和。这对于解决三角函数问题以及计算测量值非常有用。

接下来，是余弦和差公式。余弦和差公式表明两个角的余弦的和或差等于这两个角对应的余弦乘积与正弦乘积之和或差。这个公式可以用来计算不同角度的余弦之和或差。 例如，我们可以使用余弦和差公式来计算cos(α+β)：

cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ

这个公式可以将两个角的余弦值转换成其他形式的余弦值。同样地，这对于解决三角函数问题以及计算测量值非常有用。

最后，是正切和差公式。正切和差公式表示两个角的正切的和或差等于这两个角的正切值之和或差除以1减去这两个角的正切值乘积。

例如，我们可以使用正切和差公式来计算tan(α+β)：

tan(α+β) = (tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ)

正切和差公式可以把两个角的正切值转换成其他形式的正切值。这对于求解三角函数问题以及计算测量值非常有用。

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3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

知识点一 两角和的余弦公式

公式 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

简记符号 C(α＋β)

使用条件 α，β都是任意角

知识点二 两角和与差的正弦公式

内容 两角和的正弦 两角差的正弦

简记符号

S(α＋β) S(α－β)

公式形式 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ

类型一 给角求值

解决给角求值问题的策略

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．

(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．

1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°

3、sin14°cos16°＋sin76°cos74° 4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°

5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sinα＋π4的值为

6．求函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域．

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类型二 给值求值

1、已知sin3π4＋α＝513，cosπ4－β＝35，且0

2、已知cosx＋π6＝35，x∈(0，π)，求sinx的值。

3．已知锐角α，β满足sinα＝255，cosβ＝1010，求α＋β。

类型三 辅助角公式

对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：

y=asinx=bcosxabxaabxbab222222(sincos)··。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（二）

课堂导学

三点剖析

1.二倍角公式在证明题中的应用

【例1】 求证:xxcos22sin（1+tanx·tan2x）=tanx.

思路分析：本题的目标是把等式的左端统一成角x的正切函数.可能用的公式有sin2x=2sinxcosx，tan2x=xxxxxxxsincos12cos2sin22sin22cos2sin2.

证法1：左端=xxxcos2cossin2（1+xxxxsincos1cossin•)

=sinx（1+xxcoscos1）

=xxcossin=tanx=右端.

证法2：左端=xxxxxxxxxxxxxxxcossin2tan2coscos2sincos2cossin2)2tan(2tantancos22sin•••

=xxcossin=tanx=右端.

温馨提示

证明恒等式就是要根据所证等式两端的特征（结构、名称、角度等）来选择最佳方法，本题就是抓住左右两端的次数差异作为突破口，使问题得以解决.

2.二倍角公式在化简题中的应用

【例2】 已知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若x∈［0，2］，求f（x）的最大值，最小值.

解：（1）因为f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x

=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x

=cos2x-sin2x=2cos（2x+4）， 所以f（x）的最小正周期T=22=π.

（2）因为0≤x≤2，所以4≤2x+4≤45.

当2x+4=4时，cos（2x+4）取得最大值22；

当2x+4=π时，cos（2x+4）取得最小值-1.

所以f（x）在［0，2］上的最大值为1，

最小值为2.

温馨提示

（1）将cos2x-sin2x变形为sin（4-2x），也会有同样的结果;

两角和与差的三角函数公式知识点

一、两角和的三角函数公式

1.正弦函数的两角和公式：

sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB

2.余弦函数的两角和公式：

cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB

3.正切函数的两角和公式：

tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)

二、两角差的三角函数公式

1.正弦函数的两角差公式：

sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB

2.余弦函数的两角差公式：

cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB

3.正切函数的两角差公式：

tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)

三、两角和与差的其他公式

1.正弦函数的和差公式：

sinA + sinB = 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2]

sinA - sinB = 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] 2.余弦函数的和差公式：

cosA + cosB = 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2]

cosA - cosB = -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]

3.正切函数的和差公式：

tanA + tanB = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)

tanA - tanB = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)

四、两角和与差的应用

1.角平分公式：当A=B/2时，两角和公式可以简化为：

sin(B/2) = ±√[(1 - cosB) / 2]

cos(B/2) = ±√[(1 + cosB) / 2]

2.三角解析式的使用：两角和与差的公式可以用于简化复杂的三角表达式，使计算更加方便。

3.证明三角恒等式：两角和与差的公式是证明三角恒等式的重要工具之一，可以通过改变角度的组合关系，将一个复杂的三角恒等式转化为一些简单的三角函数关系。