【全程复习方略】2014版高考数学 3.3三角函数的图像与性质课时提升作业 理 北师大版

课时跟踪检测(二十) 三角函数的图像和性质1．函数y ＝ cos x －12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤－π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D ．R2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数3．(2012·山东高考)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 34．(2011·安徽高考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z) 5．(2012·聊城模拟)我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段相等．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图像中的两条相邻“平行曲线”与直线y ＝2 012相交于A ，B 两点，且|AB |＝3π，则f (π)＝( )A ．2＋ 3B ．－ 3C. 3D.3－ 26．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．37．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________． 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．9．(2012·安庆模拟)若函数f (x )＝2tan(kx ＋π3)的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．10．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值和最小值．11．(2012·北京高考)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．1．(2012·新课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]2．(2012·潍坊模拟)对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x 给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z)时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图像关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z)对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z)时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)3．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．答 案 课时跟踪检测(二十)A 级1．选C ∵cos x －12≥0，得cos x ≥12，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .2．选D ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ， ∴T ＝2π，在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，图像关于y 轴对称，为偶函数．3．选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π6，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3.4．选C 因为当x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，函数的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π， 所以x ∈⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 5．选B 设f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3与x 轴的两个交点为C 、D ，由“平行曲线”的性质可知|CD |＝3π，所以函数f (x )的最小正周期为3π，由πω＝3π可得ω＝13，则f (π)＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π3＝tan 2π3＝－ 3. 6．选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，则ωx ∈⎣⎡⎦⎤－π3ω，π4ω，要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，π4上取得最小值－2，则－π3ω≤－π2或π4ω≥3π2，得ω≥32，故ω的最小值为32.7．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 8．解析：∵y ＝cos x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )， ∴由2×4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝k π－13π6(k ∈Z )．∴当k ＝2时，|φ|min ＝π6.答案：π69．解析：由条件得最小正周期为T ＝πk ，故有1<πk <2，解得π2<k <π.又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或310．解：(1)∵f (x )＝2si n(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin 2x ， ∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵－π6≤x ≤π2，∴－π3≤2x ≤π，则－32≤sin 2x ≤1.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π2上的最大值为1，最小值为－32. 11．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 12．解：∵由f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得 sin 2x cos φ＝0，由已知上式对任意x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . B 级1．选A 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图像可看作是由函数f (x )＝sin x 的图像先向左平移π4个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的减区间是⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以要使函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，需满足⎩⎨⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.2．解析：画出函数f (x )的图像．由图像可得函数的最小正周期为2π，故①错误；当x ＝π＋2k π(k ∈Z )或x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时，函数取得最小值，故②错误；结合图像可得③④正确．答案：③④3．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6 <2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

第4讲 三角函数的图象与性质[基础题组练]1．函数y ＝|cos x |的一个增区间是( ) A ．[－π2，π2]B ．[0，π]C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]解析：选D.将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的解析：选D.函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上先减后增，D 选项错误．3．(2020·某某某某第十三中学质检(四))同时满足f (x ＋π)＝f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的函数f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos 2xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝sin 2x解析：选D.由题意得所求函数的周期为π，且图象关于x ＝π4对称．A ．f (x )＝cos 2x 的周期为π，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0不是函数的最值． 所以其图象不关于x ＝π4对称．B ．f (x )＝tan x 的周期为π，但图象不关于x ＝π4对称．C ．f (x )＝sin x 的周期为2π，不合题意．D ．f (x )＝sin 2x 的周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1为函数最大值， 所以D 满足条件，故选D.4．(2020·某某六市联考)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称中心完全相同，则φ为( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3解析：选 D.因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称中心完全相同，所以ω＝2，φ＝π6－π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，选D.5．(2020·某某中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12 B ．π3C.13π6D ．7π6解析：选C.T ＝2πω＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，故ω＝2，又2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，所以φ的值可能为13π6.故答案为C.6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的减区间为________．解析：由已知可得函数为f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数f (x )的减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )．得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．故所求函数f (x )的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )7．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.答案：6π58．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________．解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：π29．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求f (x )的增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，所以3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.10．已知函数f (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，某某数m 的取值X 围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．解：(1)f (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋3＝4(12sin x －32cos x )cos x ＋3＝2sin x cos x－23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π3)．所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以函数f (x )的增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )．(2)函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，即函数y ＝f (x )与y ＝m在[0，π2]上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数y ＝f (x )＝2sin(2x －π3)在[0，π2]上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，且x 1＋x 2＝2×5π12＝5π6， 故tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－tan π6＝－33.[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点； ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③解析：选C.通解：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π是减少的，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C. 优解：因为f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π是减少的，故②不正确，排除A ；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10递增④ω的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④解析：选D.如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈(0，π10)时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在(0，π10)是增加的，所以③正确．3．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上是减少的，则ω＝________. 解析：因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)，由π2＋2k π≤ωx ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6ω＋2k πω≤x ≤7π6ω＋2k πω，因为f (x )在区间(π6，π2)上递减，所以(π6，π2)⊆[π6ω＋2k πω，7π6ω＋2k πω]，从而有⎩⎪⎨⎪⎧π6≥π6ω＋2k πωπ2≤7π6ω＋2k πω， 解得12k ＋1≤ω≤7＋12k3，k ∈Z ，所以1≤ω≤73，因为f (π6)＋f (π2)＝0，所以x ＝π6＋π22＝π3为f (x )＝2sin(ωx ＋π3)的一个对称中心的横坐标，所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，ω＝3k －1，k ∈Z ，又1≤ω≤73，所以ω＝2.答案：24．(2020·江赣十四校第二次联考)如果圆x 2＋(y －1)2＝m 2至少覆盖函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πm x ＋5π12－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πm x ＋π3(m >0)的一个最大值点和一个最小值点，则m 的取值X围是________．解析：化简f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πm x ＋5π12－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πmx ＋π3得f (x )＝2sin 2πx m ＋1，所以，函数f (x )的图象靠近圆心(0，1)的最大值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，3，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m4，－1，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫m 42＋（3－1）2≤m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋（－1－1）2≤m 2，解得m ≥81515.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫81515，＋∞ 5．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 值；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x＝2sin(2x －π3)．故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，得t ＝k π2＋π3(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1，2]． 又|f (x )－m |<3， 即f (x )－3<m <f (x )＋3， 所以2－3<m <1＋3， 即－1<m <4.故实数m 的取值X 围是()－1，4.6．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，所以－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1 ＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， 所以4sin(2x ＋π6)－1>1，所以sin(2x ＋π6)>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )是增加的，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )是减少的，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z . 所以g (x )的增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z ，减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .。

R
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函数 性质
y＝sin x
y＝cos x
对称性
对称轴：
对称轴：
x＝kπ＋π2(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
对称中心： 对称中心：
y＝tan x 无对称轴 对称中心：
周期
(kπ，0)(k∈Z)
2π
kπ＋
π2，0(k∈Z) k2π，0(k∈Z)
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(2012
年北京)已知函数
f(x)＝sin
x－cos xsin sin x
2x .
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求 f(x)的单调递增区间．
【思路启迪】 (1)由 sin x≠0，可得函数的定义域；求函
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问题探究 2：所有的周期函数都有最小正周期吗？
提示：不是所有的周期函数都有最小正周期，周期函数 f(x) ＝C(C 为常数)就没有最小正周期．
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(对应学生用书 P81)
正弦、余弦函数的定义域为 R，正切函数的定义域为 {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}；正弦、余弦函数的值域为[－1,1]，正切函 数的值域为 R.在求三角函数的最值(或值域)时，可先把“ωx＋ φ，ω>0”视为一个整体，再把 sin (ωx＋φ)视为一个整体．

高考数学精品资料2014届高三理科数学一轮复习试题选编8：三角函数的图象与性质一、选择题1 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移4π个单位,这时对应于这个图像的解析式是（ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =-C ．sin(2)4y x π=-D ．sin(2)4y x π=+2 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为 （ ）A ．π8B ．π4C ．π2D ．π3 ．（2013届北京大兴区一模理科）函数()f x =（ ）A ．在ππ(,)22-上递增 B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减 C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增4 ．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（ ）A ．sin()23x y π=+B ．sin()23x y π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-5 ．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）函数21sin 22y x x =+的最小正周期等于 （ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．4π6 ．（2013北京高考数学（理））“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的” （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象xyO π2π1-1如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+ 8 ．（北京市海淀区2013届高三上学期期中练习数学（理）试题）sin15cos15︒+︒的值为 （ ）A ．12B．4C．2D．29 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是 第6题图A ．41sin(2)55y x =+ B ．31sin(2)25y x =+ C ．441sin()555y x =-D ．441sin()555y x =+二、填空题10．（2013届北京大兴区一模理科）函数f x x x()s i nc o s =的最大值是 。