平面几何竞赛讲座

ABC P BC AB AC D E F D E F ∆西姆松定理：若从外接圆上一点作、、的垂线，垂足分别为、、，则、、三点共线；9090180DE DF BDE FDC BDP BEP B E P D BDE BPE FDC PFCBEP PFC PCF PBA PBEBPE FPC BDE FDC D E F ∠=∠∠=∠=︒∴∴∠=∠∠=∠∠=∠=︒∠=︒-∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴证明：连接、，显然，只需证明即可；、、、四点共圆，同理可得：又且、、三点共线 ()P ABC L M N P ABC ∆∆西姆松的逆定理：从一点向的三边或它们的延长线作垂线，若其垂足、、在同一直线上，则在的外接圆上；ABC O O E C D Q R S O F B D P Q R P Q R S ∆∴证明：设的垂心为，则、、、四点共圆由西姆松定理有：、、三点共线又、、、四点共圆且由西姆松定理有：、、三点共线、、、四点共圆1.ABC AD BE CF D E F D AB BE CF AC P Q R S P Q R S ∆例设的三条垂线、、的垂足分别为、、；从点作、、、的垂线，其垂足分别为、、、，求证、、、在同一直线上；ABC O O E C D Q R S O F B D P Q R P Q R S ∆∴证明：设的垂心为，则、、、四点共圆由西姆松定理有：、、三点共线又、、、四点共圆且由西姆松定理有：、、三点共线、、、四点共圆2.ABCD D B AC AD E F EF BD ∠例四边形是圆内接四边形，且是直角，若从作直线、的垂线，垂足分别为、，则直线平分线段。

,90BG DC F E G BFD FDG DGB BFDG FG BD ⊥∠=∠=∠=︒∴∴证明：作由西姆松定理有：、、共线，又四边形为矩形对角线平分另一条对角线3.例求证：四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；180AB BC CD AD AB CD E BC AD F BCE CDF GBGF BGC CGF BEC CDABGF A ABF G AED GBCE CDF ABF AED G ∴∠=∠+∠=∠+∠∴∠+∠=︒∴证明：如图，设四条直线、、、中，交于点，交于点，圆与圆的另一个交点为，即圆过点同理圆也过点圆、圆、圆、圆交于同一点G AB BC CD DA E L M N P L M N M N P L M N P 若点向、、、所作垂线的垂足分别为、、、、，由西姆松定理可知、、在一条直线上，、、在一条直线上，故、、、在同一条直线上4.ABC PQ P Q ∆例设的外接圆的任意直径为，则关于、的西姆松线是互相垂直的。

个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理-及考纲多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

5、其它抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

集1.梅涅劳斯定理出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/D C)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1证明四过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似，三式相乘得1得证。

如百科名片中图。

※推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

平面几何根底知识〔根本定理、根本性质〕1． 勾股定理〔毕达哥拉斯定理〕〔广义勾股定理〕(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理〔欧几里得定理〕3． 中线定理〔巴布斯定理〕设△ABC 的边BC 的中点为P ，那么有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=．4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，那么ACAB DC BD =；〔外角平分线定理〕． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=〔其中p 为周长一半〕． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，〔其中R 为三角形外接圆半径〕．7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，那么有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．〔圆外角如何转化？〕11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：〔相交弦定理：垂径定理：切割线定理〔割线定理〕：切线长定理：〕13．布拉美古塔〔Brahmagupta〕定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，那么d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，那么PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线〞这个结论．这条直线称为两圆的“根轴〞．三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心〞．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密〔Ptolemy〕定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．〔广义托勒密定理〕AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE 交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和到达最小，称为“费马点〞，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，那么AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有一样的中心．19．九点圆〔Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆〕：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:〔1〕三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;〔2〕九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;〔3〕三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉〔Euler〕线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线〔欧拉线〕上．21． 欧拉〔Euler 〕公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，那么d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两局部；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：〔1〕设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，那么D 为BC 的中点，那么1:2:=GD AG ；〔2〕设G 为△ABC 的重心，那么ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； 〔3〕设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，那么2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； 〔4〕设G 为△ABC 的重心，那么③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++〔P 为△ABC 内任意一点〕； ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然〔即满足上述条件之一，那么G 为△ABC 的重心〕．24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：〔1〕三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；〔2〕垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上； 〔3〕△ABC 的垂心为H ，那么△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；〔4〕设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，那么HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；内心性质：〔1〕设I 为△ABC 的内心，那么I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；〔2〕设I 为△ABC 的内心，那么C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； 〔3〕三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，假设A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，那么I 为△ABC 的内心；〔4〕设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，那么ac b KD IK KI AK ID AI +===； 〔5〕设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，那么①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；外心性质：〔1〕外心到三角形各顶点距离相等；〔2〕设O 为△ABC 的外心，那么A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；〔3〕∆=S abcR 4；〔4〕锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：〔1〕,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠〔对于顶角B ，C 也有类似的式子〕；〔2〕)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； 〔3〕设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，那么DC DB DI A ==〔对于C B CI BI ,有同样的结论〕；〔4〕△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系： 30． 梅涅劳斯〔Menelaus 〕定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 那么有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．〔逆定理也成立〕 31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，那么P 、Q 、R 三点共线．32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，那么P 、Q 、R 三点共线．33． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，那么AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，那么AS 一定过边BC 的中点M ． 35．塞瓦定理的逆定理：〔略〕 36． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37． 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB分别相切于点R、S、T，那么AR、BS、CT交于一点．38．西摩松〔Simson〕定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，那么D、E、R共线，〔这条直线叫西摩松线Simson line〕．39．西摩松定理的逆定理：〔略〕40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2〔安宁定理〕：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条〔与西摩松线平行的〕直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点〔A和D、B和E、C和F〕的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，那么这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点〔A和D、B和E、C和F〕的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，那么这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，那么P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，假设P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，那么A、B、C三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前一样的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考察△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，那么三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，那么D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，那么D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，那么PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，那么D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，那么D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，那么D、E、F三点共线．〔反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP那么称P、Q两点关于圆O互为反点〕57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，那么四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，那么M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，那么M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，那么M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，那么这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B 和E、C和F，那么这三线共点．67．帕斯卡〔Paskal〕定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC 和EF、CD和FA的〔或延长线的〕交点共线．68． 阿波罗尼斯〔Apollonius 〕定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n 〔值不为1〕的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：〔圆内接四边形的九点圆〕圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔〔Miquel 〕点： 假设AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，那么这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚〔Gergonne 〕点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，那么AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆． 平面几何的意义就个人经历而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．〞我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来完毕自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光临？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是开掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开场就使这个未来的伟大的疑心论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就承受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意承受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开场了一个新的文明时代即“希腊化时代〞，这时希腊文明的中心也从希腊外乡转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代〞最为出色的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何〞．“欧氏几何〞以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理〞出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在构造上严密依存的定理和作为根底的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点〞．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著?几何原本?都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分〞的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！〞你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形〞，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，那么AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如以下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如以下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如以下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有一样的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的?直边三角形的一些特殊点的性质?一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如以下的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。

几何大王【叶中豪】之高中数学联赛平面几何直播课
叶中豪老师数学竞赛课程：平面几何，可反复回看授课内容：《数学竞赛：二试平面几何》2018年天科教育学科竞赛夏令营将在全国主要城市拉开帷幕！但是有一部分学生因为路途和时间的问题不能来到夏令营现场听课，经众多不能来到现场听高中数学竞赛课程的要求，天科教育联合学科竞赛邀请几何大王叶中豪开设线上几何课程，7月15号热爱高中数学竞赛的同学们不见不散！授课师资：叶中豪
外号老封，人称"几何大王"，1983年获全国高中数学联赛（上海赛区）第2名，美国数学邀请赛（上海赛区）一等奖。

1988年毕业于复旦大学数学系，具有二十多年的教学经验，培育了上百位竞赛一等奖及国家集训队成员，是提倡用几何画板进行数学教学的第一人，现任上海教育出版社副编审，1996年被评为上海市十大藏书家。

叶老师潜心研究平面几何数十年，已成为我国平面几何的大师级专家。

而且不同于死板的传统教学方式，教学效果一流。

借助国外先进、成熟、流行的几何画板软件，形成了自己高效、动态的教学方法，生动、形象地将学生引入奇妙多彩的几何世界，逐步引导学生自己发现数学之美。

学生兴趣高，思维启动，效果显著。

叶老师善于引经据典，揭示题目背后的关键和基础，直接培养学生严谨的逻辑思维能力和严谨的演绎推理能力，显著提高学生的数学水平和解题能力，为升学、各类竞赛和自主招生打下坚实的基础。

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受众:想在数学竞赛中获奖的高中生。

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张老师：于老师：吴老师：。