高考专题讲座--解析几何热点问题(2019年9月整理)

解析几何热点一 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 题型一 利用几何性质求最值【例1】设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9，12 B ．8，11C ．8，12D ．10，12答案 C【类题通法】利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法． 【对点训练】如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 因为OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，又y ′＝－x ，所以－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝－－－－2|22＋－2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，所以|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22×－2－－＝410.所以△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.题型二 建立目标函数求最值【例2】已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF ＝3FM .(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF ＝3FM ，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415，由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0， 解得m 1＝19，m 2＝1，可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝59.所以当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以△ABP 面积的最大值为2565135.【类题通法】(1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解．(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等． 【对点训练】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解析 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.②设A (x 1，y 1)，B (x 2, y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k ＝2k 2＋4－m 2m 21＋4k2＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0<t ≤1， 因此S ＝2－t t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3. 题型三 利用基本不等式求最值【例3】已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x ＋，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3. 【类题通法】(1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值． 【对点训练】定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，由题意，C 在线段AB 的中垂线上，则OC 的方程为y ＝－1kx .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝＋k21＋4k 2. 将上式中的k 替换为－1k，可得|OC |2＝＋k 2k 2＋4.∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC |＝＋k 21＋4k 2·＋k 2k 2＋4＝＋k 2＋4k2k 2＋.∵＋4k2k 2＋≤＋4k2＋k 2＋2＝＋k 22，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .热点二 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法. 题型一 利用判别式构造不等关系求范围【例4】已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且AC ·BC ＝0，|BC |＝2|AC |. (1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线l (斜率存在时)与椭圆M 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|DP |＝|DQ |，求实数t 的取值范围．(2)由条件D (0，－2)，当k ＝0时，显然－2<t <2； 当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ，⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0由Δ>0可得t 2<4＋12k 2，①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点H (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt1＋3k2， y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k2，所以H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 1＋3k 2，t 1＋3k 2，由|DP |＝|DQ |， 所以DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1k，所以t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②所以t >1，将②代入①得，1<t <4. 所以t 的范围是(1,4)．综上可得t ∈(1,2)．【类题通法】圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【对点训练】设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，且1PF ·2PF 的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝ky －1与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．即1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1.故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，Δ＝(－2k )2＋12(4＋k 2)＝16k 2＋48>0， 故y 1＋y 2＝2k k 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4. 又∠AOB 为锐角，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0， 又x 1x 2＝(ky 1－1)(ky 2－1)＝k 2y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1＝(1＋k 2)·－34＋k 2－2k24＋k2＋1＝－3－3k 2－2k 2＋4＋k 24＋k 2＝1－4k 24＋k 2>0，所以k 2<14，解得－12<k <12，故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.题型二 利用函数性质求范围【例5】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求弦长|AB |的取值范围．(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点，λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意．∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 由根与系数的关系可得，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2①，y 1y 2＝－1m 2＋2②，将①式平方除以②式可得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ，∴－λ－1λ＋2＝－4m2m 2＋2，又知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴－λ－1λ＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0， ∴－12≤－4m2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27.|AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋22，∵m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27，∴1m 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12， ∴|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，928. 【类题通法】利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的函数，通过求这个函数的值域确定目标的取值范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算方便，在建立函数的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 【对点训练】已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1,0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C . (1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ·QF 的取值范围．根据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以a 2＝4，c 2＝1，b 2＝3，所求曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得AP ·AE ＝AQ ·AF ＝0，于是PE ·QF ＝(AE －AP )·(AF －AQ )＝AE ·AF ＋AP ·AQ .①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，此时可不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，E (2,0)，F (－2,0)，所以PE ·QF ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32＝－3－94＝－214.②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE ·QF ＝－214.③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，AP ＝(x P －1，y P )，AQ ＝(x Q －1，y Q )，则直线EF 的方程为y ＝－1k(x －1)．将上面的k 换成－1k，可得AE ·AF ＝－＋k24＋3k2， 所以PE ·QF ＝AE ·AF ＋AP ·AQ ＝－9(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4k 2＋14＋3k 2.令1＋k 2＝t ，则t >1，于是上式化简整理可得，PE ·QF ＝－9t ⎝ ⎛⎭⎪⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t 212t 2＋t －1＝－63494－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122.由t >1，得0<1t <1，所以－214<PE ·QF ≤－367.综合①②③可知，PE ·QF 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，－367.热点三 圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 【例6】如图，圆C 与x 轴相切于点T (2,0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .(2)证明：把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0,1)，N (0,4)．①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y24＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2.∴k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－x 1＋x 2x 1x 2. 若k AN ＋k BN ＝0，则∠ANM ＝∠BNM .∵2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝－12k 1＋2k 2＋12k1＋2k 2＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 【类题通法】解决圆锥曲线证明问题，注意依据直线，圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系等，通过代数恒等变形和化简计算进行证明，常见的证明方法有：（1）证明三点共线，可以证明其中两段线段的斜率相等，也可以证明其中两个向量互相平行（共线）； （2）证明两直线垂直，可以证明这两条直线的斜率之积等于1-，也可以证明这两直线所在的平面向量的数量积等于零；（3）证明两共点点段相等，可以利用弦长公式证明这两线段长度相等，也可以证明公共点在线段的垂直平分线上． 【对点训练】设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3. (1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB ⊥BC ，AD ∥OC ，连接AC 交DE 于点P ，求证：PD ＝PE .(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)， 设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)， 因为AB ⊥BC ， 所以可设C (2，y 1)，所以AD ＝(x 0＋2，y 0)，OC ＝(2，y 1)， 由AD ∥OC 可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2. 所以直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24. 整理得：y ＝y 0x 0＋(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，所以PD ＝PE .。

一、直线与方程基础：1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈2、直线的斜率k ： 2121tan y y k x x α-==-； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。

3、直线方程的五种形式：①点斜式：00()y y k x x -=-；②斜截式：y kx b =+；③一般式：0Ax By C ++=；④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式：121121y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。

4、两直线平行与垂直的充要条件：1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，1l ∥2l 12211221A B A B C B C B =⎧⇔⎨≠⎩； 1212120l l A A B B ⊥⇔+= .5、相关公式：①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN =②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，则线段MN 的中点1212(,)22x x y y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l的距离d =；④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l之间的距离d =；⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为θ，(0,)(,)22ππθπ∈，则2112tan 1k k k k θ-=+⋅ .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础：1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=；确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ；2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）；3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系：点00(,)P x y 在圆内⇔ 22200()()x a y b r -+-<；点00(,)P x y 在圆上⇔ 22200()()x a y b r -+-=；点00(,)P x y 在圆外⇔ 22200()()x a y b r -+->；4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系：从几何角度看：令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ，相离⇔d r >；相切⇔=d r ；相交⇔0d r ≤<；若直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=相交于两点M ，N ，则弦长MN =从代数角度看：联立:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=，消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-，相离⇔0∆<；相切⇔0∆=；相交⇔0∆>；相交时的弦长1212MN x x y y =-=- . 5、圆与圆的位置关系： 相离，外切，相交，内切，内含 .圆2221111:()()O x x y y r -+-=；圆2222222:()()O x x y y r -+-=， 根据这三个量之间的大小关系来确定：12r r -，12O O ，12r r +；相离⇔1212O O r r >+；外切⇔1212O O r r =+；相交⇔121212r r OO r r -<<+；内切⇔1212O O r r =-；内含⇔12120O O r r ≤<-；6、两圆2221111:()()O x x y y r -+-=①；圆2222222:()()O x x y y r -+-=②若相交，则相交弦所在的直线方程的求法：交轨法： ①式-②式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程 .三、椭圆：1、（第一）定义：12122PF PF a F F +=>；2、椭圆标准方程及离心率： 焦点在x 轴上的椭圆标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>； :a 长半轴；b ：短半轴；:c 半焦距 .椭圆中a ，b ，c 的关系：222a b c =+；椭圆的离心率(0,1)c e a=∈ . 3、弦长公式： 直线:l y kx b =+与椭圆2222:1()x y C m n m n+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则相交时的弦长1212MN x x y y =-=- a==弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。

2019年高考数学复习热点之解析几何2019年高考数学复习热点之解析几何一．专题特点及复习建议Ⅰ.专题特点解析几何在考纲中有3个A级考点，6个B级考点，2个C级考点，它在整个高考中的地位是不言而喻的。

该专题的特点是：考点多而杂，公式性质较多，对运算能力的要求比较高，对数形结合思想及分类讨论思想有较高的要求，解析几何问题是以代数方法求解几何问题，一般求解思路易找，规律性强，但是运算比较繁琐.Ⅱ.常考题型根据近三年江苏高考数学试题，可以发现江苏对解析几何部分的考查要求有所降低，都以中档偏下题为主。

每年以一道填空和一道解答题来进行考查.填空题的考查，一般考查圆锥曲线中基本量的计算；解答题的考查，多以圆和椭圆为主进行考查.Ⅲ.复习建议如何对解析几何进行有效的复习，从而拿下这块战略高地，我认为应做到如下几点：①重视基础，熟记性质，加强运算能力的培养；②凸显“直线与圆、圆与圆位置关系、圆与椭圆的结合”这类重点内容；③重视直线与圆锥曲线的位置关系的核心地位；④关注解析几何与其他数学知识的整合，重视知识网络交汇点；⑤强化数学思想方法的归纳与提炼，提高解题速度.二．走进高考⑴小题展示例1．（08江苏高考数学试题第12题）在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=▲。

试题分析：本小题主要考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系，将椭圆基本量的计算与圆建立联系，本题属于中档偏下题。

利用圆的对称性，两条切线关于x轴对称，然后解三角形即可求出离心率.解：切线,PA PB 互相垂直，又OA PA ⊥，所以OAP ∆是等腰直角三角形，故2a c=，解得2c e a ==。

例2．（09江苏高考数学试题第13题）如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .试题分析：本题考查的是椭圆基本量的计算，借助于直线与椭圆的位置关系来解决椭圆的离心率，属于中档偏下题。

第 1 页 共 7 页2019年全国高考数学解析几何知识考查分析一、椭圆及其性质1．（2019年北京理）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b = 2．（2019年全国Ⅰ理）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=3．（2019年全国Ⅰ文）已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=4．（2019年全国Ⅲ文理）设1F ，2F 为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为 ．5．（2019年浙江）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ． 6．（2019年上海春）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P …，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．二、双曲线及其性质1．（2019年北京文）已知双曲线2221(0)x y a a-=>，则(a = )AB ．4C ．2D ．122．（2019年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ． 3．（2019年浙江）渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( )AB ．1 CD ．24．（2019年全国Ⅰ理）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B =，则C 的离心率为 ．5．（2019年全国Ⅰ文）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130︒，则C 的离心率为( )第 2 页 共 7 页A ．2sin40︒B ．2cos40︒C ．1sin50︒D ．1cos50︒6．（2019年全国Ⅲ理）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若||||PO PF =，则PFO ∆的面积为( )ABC．D．7．（2019年全国Ⅲ文）已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若||||OP OF =，则OPF ∆的面积为()A ．32B ．52C ．72D ．92三、抛物线及其性质1. （2019年上海秋）过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ-，则λ=______.四、解析几何综合1．（2019年全国Ⅱ文理）若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则(p = ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．82．（2019年全国Ⅱ文理）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的离心率为( )ABC ．2 D3．（2019年天津文理）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(A B O F O =为原点），则双曲线的离心率为( )ABC ．2 D4．（2019年北京理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )第 3 页 共 7 页A ．①B ．②C ．①②D ．①②③5．（2019年上海春）以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线五、直线与圆1．（2019年浙江）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆相切与点(2,1)A --，则m = ，r = ． 2．（2019年全国Ⅰ文）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由． 3．（2019年江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．六、直线与椭圆的位置关系1．（2019年全国Ⅱ理）已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．()i 证明：PQG ∆是直角三角形； ()ii 求PQG ∆面积的最大值．2．（2019年全国Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；第 4 页 共 7 页（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．3．（2019年北京文）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P 、Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若||||2OM ON =，求证：直线l 经过定点． 4．（2019年天津文）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已|2||(OA OB O =为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．5．（2019年天津理）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 6.（2019年上海秋）已知椭圆22184x y +=，12,F F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点.（1）若AB 垂直于x 轴时，求AB ；（2）当190F AB ∠=时，A 在x 轴上方时，求,A B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7．（2019年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．第 5 页 共 7 页七、直线与双曲线的位置关系与其他知识综合，以小题形式出现。

2019年高考数学六大题解满分解题技巧秘籍专题09 解析几何热点问题（解题指导）三年考情分析审题答题指引1.教材与高考对接——求曲线方程及直线与圆锥曲线【题根与题源】(选修2－1 P 49习题A5(1)(2))求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点P (－22，0)，Q (0，5)；(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点P (3，0).【试题评析】1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用椭圆的几何性质.2.对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出a ，b 的值，但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程.【教材拓展】设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设C ⎝⎛⎭⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E ，若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________. 解析 易知抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，又|CF |＝2|AF |且|CF |＝⎪⎪⎪⎪72p －p 2＝3p ， ∴|AB |＝|AF |＝32p ，可得A (p ，2p ).易知△AEB ∽△FEC ，∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12，故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32，∴p 2＝6，∵p >0，∴p ＝ 6. 答案6【探究提高】1.解答本题的关键有两个：(1)利用抛物线的定义求出点A 的坐标，(2)根据△AEB ∽△FEC 求出线段比，进而得到面积比并利用条件“S △ACE ＝32”求解.2.对于解析几何问题，除了利用曲线的定义、方程进行运算外，还应恰当地利用平面几何的知识，能起到简化运算的作用.【链接高考】(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值.解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b . 由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ， 由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2). 由已知有y 1>y 2>0， 故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2. 由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k 9k 2＋4. 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k k ＋1.代入5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4， 将等式两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0， 解得k ＝12或k ＝1128.所以，k 的值为12或1128.2.教你如何审题——直线与椭圆的位置关系问题【例题】 (2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .【审题路线】【自主解答】(1)解 由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.把x ＝1代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，22或⎝⎛⎭⎫1，－22，又M (2，0)，所以直线AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA ＝∠OMB . 综上，∠OMA ＝∠OMB .【探究提高】(1)解决本题的关键是分析图形，把图形中“角相等”关系转化为相关直线的斜率之和为零，类似的还有圆过定点问题，转化为在该点的圆周角为直角，进而转化为斜率之积为－1；线段长度的比问题转化为线段端点的纵坐标或横坐标之比；(2)解决此类问题，一般方法是“设而不求”，通过“设参、用参、消参”的推理及运算，借助几何直观，达到证明的目的.【尝试训练】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，F 为其右焦点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，设椭圆方程x 24c 2＋y 23c2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1， 解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0， 解得－12<k <12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，①x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.②因为△AMF 与△MFN 的面积相等， 所以|AM |＝|MN |，所以2x 1＝x 2＋4.③ 由①③消去x 2得x 1＝4＋16k 23＋4k 2.④将x 2＝2x 1－4代入②，得x 1(2x 1－4)＝64k 2－123＋4k 2，⑤将④代入到⑤式，整理化简得36k 2＝5. ∴k ＝±56，经检验满足题设，故直线l 的方程为y ＝56(x －4)或y ＝－56(x －4).3.满分答题示范——直线与抛物线的位置关系、定值问题【例题】 (12分)(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.【规范解答】4.高考状元满分心得❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中联立直线方程和抛物线方程，对直线斜率取值的讨论.❷得关键分：解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分.如第(1)问中求抛物线的方程，第(2)问中求点M和N的纵坐标.❸得计算分：解题过程中计算准确是满分的根本保证.如第(2)中用y M，y N表示λ，μ，计算1λ＋1μ的值.【构建模板】【规范训练】 (2018·昆明质检)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆心、4为半径的圆与l 交于A ，B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，∠EAB ＝90°. (1)求p 的值；(2)已知点P 的纵坐标为－1且在抛物线C 上，Q ，R 是抛物线C 上异于点P 的另外两点，且直线PQ 和直线PR 的斜率之和为－1，试问直线QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 解 (1)由题意及抛物线的定义，有|AF |＝|EF |＝|AE |＝4， 所以△AEF 是边长为4的正三角形. 设准线l 与x 轴交于点D ，则|DF |＝p ＝12|AE |＝12×4＝2.所以p ＝2.(2)设直线QR 的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x得y 2－4my －4t ＝0， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，Δ＝16m 2＋16t >0. 又因为点P 在抛物线C 上，则 k PQ ＝y P －y 1x P －x 1＝y P －y 1y 2P 4－y 214＝4y P ＋y 1＝4y 1－1. 同理可得k PR ＝4y 2－1. 因为k PQ ＋k PR ＝－1，所以4y 1－1＋4y 2－1＝4（y 1＋y 2）－8y 1y 2－（y 1＋y 2）＋1＝16m －8－4t －4m ＋1＝－1，解得t ＝3m －74.由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16m 2＋16t >0，t ＝3m －74，14≠m ×（－1）＋t ，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－72∪⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞). 所以直线QR 的方程为x ＝m (y ＋3)－74，故直线QR 过定点⎝⎛⎭⎫－74，－3.。

分析几何热门一圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考取的热门问题，常波及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵巧多变，但整体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（分析式），而后利用函数方法、不等式方法等进行求解.题型一利用几何性质求最值x2y22222【例 1】设 P 是椭圆25＋9＝ 1 上一点， M，N 分别是两圆： (x＋4)＋y＝1和 (x－ 4)＋ y ＝ 1 上的点，则 |PM|＋ |PN|的最小值、最大值分别为 ()A ． 9， 12B ． 8， 11C． 8，12D． 10，12答案C【类题通法】利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．【对点训练】如下图，已知直线l： y＝ kx－ 2 与抛物线C：x2＝－ 2py(p>0)交于 A， B 两点， O 为坐标原点，OA ＋ OB ＝(－ 4，－ 12)．(1)求直线 l 和抛物线 C 的方程；(2) 抛物线上一动点P 从 A 到 B 运动时，求△ABP 面积的最大值．分析 (1)由y＝ kx－ 2，得 x2＋ 2pkx－4p＝ 0. x2＝－ 2py，设 A(x1， y1)， B(x2， y2) ，则 x1＋ x2＝－ 2pk，y1＋ y2＝ k(x1＋ x2)－ 4＝－ 2pk2－ 4.由于 OA ＋ OB ＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk，－2pk2－4)＝(－4，－12)，所以－ 2pk＝－ 4，解得2－ 2pk －4＝－ 12，p＝ 1，k＝ 2.所以直线 l 的方程为 y＝2x－ 2，抛物线 C 的方程为 x2＝－ 2y.(2) 设 P(x0， y0) ，依题意，知抛物线过点P 的切线与 l 平行时，△ ABP 的面积最大，又y′＝－ x，所以－ x012＝ 2，故 x0＝－ 2， y0＝－ x0＝－ 2，所以 P(－ 2，－ 2)．2此时点 P 到直线 l 的距离 d＝|2× －2－－ 2 － 2|＝ 4 ＝ 4 522＋－1 25 5.y＝ 2x－ 2，由2得 x2＋ 4x－ 4＝ 0，故 x1＋ x2＝－ 4， x1x2＝－ 4，x ＝－ 2y，所以 |AB|＝ 1＋ k2× x1＋ x22－ 4x1x2＝1＋ 22×－42－ 4× －4 ＝ 4 10.所以△ ABP 面积的最大值为4 10×4552＝ 8 2.题型二成立目标函数求最值【例 2】已知△ ABP 的三个极点都在抛物线C：x2＝ 4y 上， F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB 的中点，PF ＝3 FM .(1)若 |PF|＝ 3，求点 M 的坐标；(2)求△ ABP 面积的最大值．(2) 设直线 AB 的方程为y＝ kx＋m，点 A(x1， y1) ，B(x2，y2 )， P(x0， y0)，y＝ kx＋m，由得 x2－ 4kx－4m＝ 0.x2＝ 4y，于是＝ 16k2＋ 16m>0， x1＋ x2＝4k， x1x2＝－ 4m，所以 AB 中点 M 的坐标为 (2k,2k2＋ m)．由PF ＝3 FM ，得(－x0,1－y0)＝3(2k,2k2＋m－1)，所以x0＝－ 6k，y0＝ 4－6k2－ 3m.由 x 20＝ 4y 0 得 k 2＝－ 1m ＋4， 5 15由2≥ 0，得－14 . >0 ， k <m ≤3 3记 f( m)＝ 3m 3 －5m 2＋ m ＋ 1 － 1 43<m ≤ 3 ，令 f ′ ( m)＝ 9m 2－ 10m ＋ 1＝0，解得 m 1＝1， m 2＝1，9可得 f( m)在 －13，19 上是增函数，在 19， 1 上是减函数，在 1，43 上是增函数，45又 f 9 ＝ 243>f 3 ＝9.1256所以当 m ＝ 19时， f(m)取到最大值 256243，此时 k ＝ ±1555.2565所以△ ABP 面积的最大值为135 .【类题通法】(1) 当题目中给出的条件有明显的几何特点，考虑用图象性质来求解．(2) 当题目中给出的条件和结论的几何特点不明显，则能够成立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、鉴别式法、单一性法、三角换元法等．【对点训练】2＋ y 23，左、右焦点分别是平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ： x2 2＝1(a>b>0)的离心率为F 1，F 2.以 F 1 为ab2圆心、以 3 为半径的圆与以F 2 为圆心、以 1 为半径的圆订交，且交点在椭圆 C 上．(1) 求椭圆 C 的方程； x 2y 2(2) 设椭圆E ：4a 2 ＋4b 2＝ 1，P 为椭圆 C 上随意一点．过点P 的直线 y ＝ kx ＋m 交椭圆E 于 A ，B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点 Q.①求 |OQ|的值；|OP|②求△ ABQ 面积的最大值．分析 (1)由题意知 2a ＝ 4，则 a ＝ 2.又c＝3，a2－c2＝b2，可得b＝1，a22所以椭圆 C 的方程为x4＋ y2＝ 1.②设 A(x1， y1)， B(x2, y2 )．将 y＝ kx＋ m 代入椭圆 E 的方程，可得 (1＋ 4k2)x2＋ 8kmx＋ 4m2－16＝ 0，由>0 ，可得 m2<4＋ 16k2.(*)则有 x1＋ x2＝－8km2， x1x2＝4m2－ 162 . 1＋ 4k1＋ 4k4 16k2＋ 4－ m2所以 |x1－ x2|＝2.1＋ 4k由于直线y＝ kx＋ m 与 y 轴交点的坐标为(0， m) ，1所以△ OAB 的面积 S＝2|m||x1－ x2|216k2＋4－ m2|m|＝1＋ 4k2216k2＋ 4－m2 m2＝1＋ 4k2＝ 2m2m24－1＋ 4k21＋ 4k2. m2设2＝t.1＋ 4k将y＝ kx＋ m 代入椭圆 C 的方程，可得 (1＋ 4k2)x2＋ 8kmx＋ 4m2－4＝ 0，由Δ≥ 0，可得 m2≤ 1＋4k2.(**)由(*)(**) 可知 0< t≤ 1，所以 S＝ 2 4－ t t＝ 2－t2＋4t，故S≤ 2 3.22当且仅当 t ＝1，即 m ＝ 1＋ 4k 时获得最大值 2 3.所以△ ABQ 面积的最大值为6 3.题型三 利用基本不等式求最值【例 3】已知椭圆 M ： x 2 y 2＝ 1(a>0) 的一个焦点为 F(－ 1,0)，左、右极点分别为 A ， B.经过点 F 的直线 l 与a 2＋ 3 椭圆 M 交于 C ，D 两点．(1) 当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长；(2) 记△ ABD 与△ ABC 的面积分别为 S 1 和 S 2，求 |S 1－ S 2 |的最大值．(2) 当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－ 1，此时△ ABD 与△ ABC 面积相等， |S 1－ S 2|＝ 0；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝ k(x ＋1)(k ≠0) ，22x＋y＝ 1，联立方程，得4 3y ＝ k x ＋ 1 ，消去 y ，得 (3＋ 2 222－12 ＝ 0，4k ) x ＋ 8k x ＋4k >0，且 x 1＋ x 2＝－ 8k 22， x 1x 2＝ 4k 2－ 123＋ 4k 2 ，3＋ 4k 12|k|此时 |S 1－ S 2|＝ 2||y 2|－ |y 1 ||＝ 2|y 2＋ y 1|＝ 2|k(x 2＋ 1)＋ k(x 1＋1)|＝ 2|k(x 2＋ x 1)＋ 2k|＝2，由于 k ≠ 0，上式＝12 ≤12＝ 12 ＝ 3当且仅当 k ＝ ± 3时等号成立， 3＋ 4|k| 232 12 2|k| |k|·4|k|所以 |S 1－ S 2|的最大值为 3.【类题通法】(1) 求最值问题时，必定要注意对特别状况的议论．如直线斜率不存在的状况，二次三项式最高次项的系数的议论等．(2) 利用基本不等式求函数的最值时，重点在于将函数变形为两项和或积的形式，而后用基本不等式求出最值．【对点训练】定圆 M ： (x ＋ 3)2＋ y 2＝ 16，动圆 N 过点 F( 3， 0)且与圆 M 相切，记圆心 N 的轨迹为 E.(1) 求轨迹 E 的方程；(2) 设点 A ，B ，C 在 E 上运动， A 与 B 对于原点对称，且|AC |＝ |BC|，当△ ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程．1(2) ①当 AB 为长轴 (或短轴 )时， S △ ABC ＝|OC | |AB|·＝ 2.2②当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y ＝kx ， A(x A ，y A )，由题意， C 在线段 AB 的中垂线上，则 OC 的方程为1y ＝－ x.k2x＋ y 2＝ 1，24 2 244k联立方程得， x A ＝ 1＋4k 2， y A ＝ 1＋ 4k 2，y ＝ kx222 4 1＋ k 2∴ |OA| ＝ x A ＋ y A ＝ 1＋ 4k 2 .将上式中的 k 替代为－ 1，可得 |OC|2＝41＋ k2kk 2＋ 4.222∴ S △ ABC ＝ 2S △ AOC ＝ |OA| ·|OC|＝ 4 1＋k4 1＋ k＝ 4 1＋ k.2 ·2＋ 41＋ 4kk1＋4k 2 k 2＋ 4225 1＋ k2∵ 1＋ 4k221＋ 4k ＋ k ＋4，k ＋ 4 ≤2＝2∴ S △ ABC ≥ 8，当且仅当 1＋ 4k 2＝ k 2＋ 4，即 k ＝ ±1 时等号成立，此时△ ABC 面积的最小值是 8.∵ 2> 8，5 5 5 ∴△ ABC 面积的最小值是 8，此时直线 AB 的方程为 y ＝x 或 y ＝－ x.5热门二 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考取的热门问题，常波及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强 .解决此类问题常用几何法和鉴别式法.题型一利用鉴别式结构不等关系求范围【例 4】已知 A，B， C 是椭圆 M：x222＋y2＝1(a>b>0)上的三点，此中点 A 的坐标为 (23， 0)， BC 过椭圆的a b中心，且·＝ 0， |BC |＝ 2|AC|.AC BC(1)求椭圆 M 的方程；(2)过点 (0 ，t)的直线 l (斜率存在时 )与椭圆 M 交于两点 P，Q，设 D 为椭圆 M 与 y 轴负半轴的交点，且 | DP | ＝ | DQ |，务实数t 的取值范围．(2)由条件 D (0，－ 2)，当 k＝ 0 时，明显－ 2< t<2；当 k≠ 0 时，设 l： y＝ kx＋ t，x2y212＋4＝ 1，消去 y 得 (1＋ 3k2)x2＋ 6ktx＋ 3t2－12＝ 0y＝ kx＋ t，由>0 可得 t2<4＋ 12k2，①设P(x1， y1)， Q(x2， y2)， PQ 中点 H (x0， y0)，则 x ＝x1＋ x2＝－ 3kt2，021＋ 3ky0＝kx0＋ t＝t2，1＋ 3k3kt t所以 H －1＋3k2，1＋3k2，由| DP |＝ | DQ |，所以 DH ⊥PQ，即 k DH＝－1，kt1＋ 3k2＋2＝－1，所以－ 3kt2－0k1＋ 3k化简得 t ＝ 1＋3k 2 ，② 所以 t>1，将②代入①得，1<t<4.所以 t 的范围是 (1,4)．综上可得 t ∈ (1,2)．【类题通法】 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1) 利用圆锥曲线的几何性质或鉴别式结构不等关系，进而确立参数的取值范围．(2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这种问题的中心是成立两个参数之间的等量关系． (3) 利用隐含的不等关系成立不等式，进而求出参数的取值范围． (4) 利用已知的不等关系结构不等式，进而求出参数的取值范围．(5) 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其余变量的函数，求其值域，进而确立参数的取值范围．【对点训练】设 F 1， F 2 分别是椭圆 E ： x 2 y 2PF 1 ·PF 2 的最大4 ＋ b 2＝ 1(b>0)的左、右焦点，若 P 是该椭圆上的一个动点，且 值为 1.(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 设直线 l ：x ＝ ky － 1 与椭圆 E 交于不一样的两点 A ，B ，且∠ AOB 为锐角 (O 为坐标原点 )，求 k 的取值范围．2即 1＝ 1－b4 × 4＋ 2b 2－4，解得 b 2＝ 1.故所求椭圆 E 的方程为x 2＋ y 2＝ 1.4x ＝ ky － 1(2) 设 A(x 1，y 1)， B( x 2，y 2)，由 x 2 2得 (k 2＋4)y 2－2ky － 3＝ 0， ＝( －2k)2 ＋ 12(4＋ k 2)＝ 16k 2＋ 48>0，4 ＋ y ＝ 12k－ 3故 y 1＋ y 2＝ k 2＋ 4， y 1·y 2＝ k 2＋ 4.又∠ AOB 为锐角，故 OA ·OB ＝x 1 x 2＋ y 1y 2>0，又 x 1x 2 ＝(ky 1－ 1)(ky 2－ 1)＝ k 2y 1y 2－ k(y 1＋ y 2)＋ 1，－ 322k 2＋ 1 所以 x 1x 2＋ y 1y 2 ＝(1＋ k 2)y 1y 2－ k(y 1＋ y 2)＋ 1＝ (1＋ k 2) · 2－4＋ k4＋ k＝－ 3－ 3k 2－ 2k 2＋ 4＋ k 2 1－ 4k 22 1，解得－ 1 12＝2>0，所以 k <2<k< ，4＋ k4＋ k4 21 1故 k 的取值范围是 － 2， 2 .题型二利用函数性质求范围222，过点【例 5】已知椭圆 C ： x2＋y2＝ 1(a>b>0)的离心率为M(1,0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点， |MA|a b2＝ λ|MB |，且当直线 l 垂直于 x 轴时， |AB|＝ 2.(1) 求椭圆 C 的方程；1(2) 若 λ∈ 2， 2 ，求弦长 |AB|的取值范围．(2) 当过点 M 的直线斜率为 0 时，点 A ， B 分别为椭圆长轴的端点，|MA |＝ 2＋ 1＝3＋ 2 2>2 或 λ＝ |MA |＝ 2－ 1＝3－ 2 2< 1，不切合题意． λ＝|MB | 2－ 1 |MB | 2＋ 1 2 ∴直线的斜率不可以为 0.设直线方程为 x ＝my ＋ 1，A(x 1， y 1)，B(x 2 ，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋ 2)y 2＋ 2my － 1＝ 0，y 1＋ y 2＝－2m①，2由根与系数的关系可得，m ＋ 21y 1y 2 ＝－②，2m ＋ 2将①式平方除以②式可得：y 1 y 2＋ 2＝－4m 2＋y 1 2，y 2m ＋2y 1由已知 |MA |＝ λ|MB|可知，＝－ λ，1 4m 2，∴－ λ－ ＋ 2＝－ 2 λm ＋ 2又知 λ∈ 1， 2 ，2∴－ λ－ 1＋ 2∈ －1， 0 ，λ 2 ∴－ 1≤ － 4m 22≤ 0，2m ＋ 222解得 m ∈ 0， 7.2 ＋ 1 2122 222m2|AB| ＝ (1＋ m )|y 1－ y 2| ＝ (1＋ m )[( y 1＋ y 2) － 4y 1y 2] ＝ 8 m 2＋ 2 ＝ 8 1－m 2＋ 2 ，∵ m 2∈ 0， 27 ，17 1∴ m 2＋ 2∈ 16， 2 ，∴ |AB|∈ 2， 9 8 2.【类题通法】利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的重点是成立求解对于某个变量的函数，经过求这个函数的值域确立目标的取值范围．在成立函数的过程中要依据题目的其余已知条件，把需要的量都用我们采纳的变量表示，有时为了运算方便，在成立函数的过程中也能够采纳多个变量，只需在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．【对点训练】已知圆心为 H 的圆 x 2＋ y 2＋ 2x － 15＝ 0 和定点 A(1,0)，B 是圆上随意一点， 线段 AB 的中垂线 l 和直线 BH 相交于点 M ，当点 B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线 C.(1) 求 C 的方程；(2) 过点 A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 订交于 P ， Q 和 E ，F ，求 PE ·QF 的取值范围．依据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ， H 为焦点， 4 为长轴长的椭圆，所以a 2＝ 4， c 2 ＝1，b 2＝ 3，所x 2 y 2 求曲线 C 的方程为 4 ＋3 ＝ 1.(2) 由直线 EF 与直线 PQ 垂直，可得 AP ·AE ＝ AQ ·AF ＝0，于是 PE ·QF ＝( AE － AP ) ·(AF － AQ )＝ AE ·AF ＋ AP ·AQ .①当直线 PQ 的斜率不存在时， 直线 EF 的斜率为零， 此时可不如取P 1， 3 ，Q 1，－ 3，E(2,0)，F(－2,0)，22 所以 PE ·＝1，－ 3·－3， 3 ＝－ 3－ 9＝－ 21QF2244.②当直线 PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE·＝－21QF4 .③当直线 PQ 的斜率存在且不为零时， 直线 EF 的斜率也存在， 于是可设直线PQ 的方程为 y ＝ k( x －1)，P(x P ，y P )， Q(x Q ， y Q ) ， AP ＝ (x P － 1， y P )， AQ ＝ (x Q －1， y Q )，1则直线 EF 的方程为 y ＝－ k (x － 1)．将上边的 k 换成－ 1，可得 AE ·AF ＝－921＋ k 2 ，k4＋ 3k所以 PE ·＝ AE ·AF ＋ AP ·＝－ 9(1＋k21 2＋12)3＋4k 4＋ 3k .QFAQ令 1＋ k 2＝ t ，则 t>1，于是上式化简整理可得，1＋ 163t 263PE ·QF ＝－ 9t 4t － 112t 2＋ t － 1＝－491 1.3t ＋ 1 ＝－24－2－ t由 t>1，得 0<1<1，所以－21< PE ·QF ≤ －36.t47综合①②③可知，PE·的取值范围为－21，－ 36.QF47热门三 圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出此刻解答题中，难度较大，多波及线段或角相等以及地点关系的证明等 .【例 6】如图，圆 C 与 x 轴相切于点T(2,0)，与 y 轴正半轴订交于两点M ，N(点 M 在点 N 的下方 )，且 |MN|＝ 3.(1) 求圆 C 的方程；(2) 过点 M 任作一条直线与椭圆x 2 ＋ y 2＝ 1 订交于两点 A ， B ，连结 AN ， BN ，求证：∠ ANM ＝∠ BNM .84(2) 证明：把 x ＝ 0 代入方程 (x － 2)2＋ y －52＝25，解得 y ＝ 1 或 y ＝ 4，即点 M(0,1)， N(0,4)．24①当 AB ⊥ x 轴时，可知∠ ANM ＝∠ BNM ＝ 0.②当 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为 y ＝ kx ＋ 1.y ＝ kx ＋ 1，2 2联立方程22消去 y 得， (1＋2k )x ＋ 4kx － 6＝0.x＋ y＝ 1，84－4k 2， x 1x 2＝－ 62.设直线 AB 交椭圆于 A(x 1，y 1)， B(x 2， y 2)两点，则 x 1＋ x 2＝1＋ 2k1＋ 2k∴ k AN ＋k BN ＝ y 1 －4 y 2－ 4 kx 1－ 3 kx 2－ 3 2kx 1x 2－ 3 x 1＋ x 2＋ ＝ ＋ x 2 ＝ .x 1 x 2 x 1 x 1x 2若 k AN ＋ k BN ＝ 0，则∠ ANM ＝∠ BNM .∵ 2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝ － 12k12k 2＝ 0，2＋1＋ 2k 1＋ 2k ∴∠ ANM ＝∠ BNM .【类题通法】解决圆锥曲线证明问题，注意依照直线，圆锥曲线，直线与圆锥曲线的地点关系等，经过代数恒等变形和化简计算进行证明，常有的证明方法有：（ 1）证明三点共线，能够证明此中两段线段的斜率相等，也能够证明此中两个向量相互平行（共线）；（ 2）证明两直线垂直，能够证明这两条直线的斜率之积等于1，也能够证明这两直线所在的平面向量的数目积等于零；（ 3）证明两共点点段相等，能够利用弦长公式证明这两线段长度相等，也能够证明公共点在线段的垂直均分线上．【对点训练】2 23，F ，F设椭圆 C ：x2y2的离心率为是椭圆的两个焦点， M 是椭圆上随意一点，且△MF1F 21a ＋b ＝ 1(a>b>0) 212的周长是 4＋ 2 3.(1) 求椭圆 C 1 的方程；(2) 设椭圆 C 1 的左、右极点分别为 A ，B ，过椭圆 C 1 上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E ，若点 C 知足 AB ⊥BC ， AD ∥ OC ，连结 AC 交 DE 于点 P ，求证： PD ＝PE.(2)证明：由 (1) 得 A(－2,0)， B(2,0)，设 D (x0， y0)，所以 E(x0,0)，由于 AB ⊥BC，所以可设C(2， y1)，所以 AD ＝(x0＋2，y0)，OC＝(2，y1)，2y0由 AD ∥OC可得：(x0＋2)y1＝2y0，即y1＝x0＋2.y x＋ 2所以直线 AC 的方程为：＝.2y04x0＋ 2y0整理得： y＝2 x0＋2 (x＋ 2)．又点P 在DE上，将x＝ x0代入直线AC的方程可得：y＝ y0，即点2P 的坐标为x0，y0 2，所以P 为DE的中点，所以PD＝ PE.。