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《多面体与旋转体》知识点1、多面体：（1）棱柱的主要性质：①棱柱的所有侧棱都 ，直（正）棱柱的侧棱长等于 。
②棱柱的每一个侧面都是 形，直棱柱的每一个侧面都是形，正棱柱的各个侧面都是 形。
③棱柱中，过不相邻的两条侧棱的截面都是 形。
（2）填适当的符号，表示下列集合之间的关系：四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体（3）长方体中过一个顶点的三条棱长分别为a 、b 、c,则它的对角线长d= 。
（4）棱锥：① 叫做正棱锥。
②正棱锥各侧棱 ，各侧面是全等的 ，③s s 棱锥截棱锥底=④正棱锥的 、 和 组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的摄影也组成一个 。
（5）面积，体积公式：s 直棱柱侧= ， v 棱柱= ，s 正棱锥侧= ， v 棱锥= ， 2、旋转体：（1）圆柱：平行于底面的截面是 ，轴截面是 ，s 轴截面= ，（2）圆锥：h, r, l 之间的关系式： 。
s s 圆锥截圆锥底= ，轴截面是 ，s 轴截面= ，（3）圆柱侧面展开图是 ，圆锥侧面展开图是 ， s 圆柱侧= = ， s 圆柱全= ，v 圆柱= ， s 圆锥侧= = ， s 圆锥全= ，v 圆锥= ，（4）球：①截面是 ，d, R, r, 之间的关系式 ，②球面上两点的距离：经过两点的大圆在这两点间的一段 的长度。
③ S 大圆= S 球= ，V 球=选择题：1、斜四棱柱的侧面为矩形的个数最多有 （ ）A O 个B 1个C 2 个 D3个 2、若棱住的侧面是全等的矩形，则棱柱是（ ）A ．直棱柱B ．正棱柱C ．正方体D ．底面为菱形的直棱柱 3、若长方体的三条棱长分别是3、5、15，则长方体的对角线的长是（ ） A ．53 B 23 C ．3 D ．不同于以上答案 4、若两球的表面积之比为1：2，则其半径之比为（ ）A 1：2B 1：4C 1：2D 1：22 5、侧棱长为2，底面周长为3的正三棱锥的高是（ ）A ．311 B ．313 C ．339 D ．333 6、各棱长均为1的正三棱锥的全面积为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．367、已知圆柱的轴截面是一个面积为4的正方形，则圆柱的侧面积是（ ）A ．π2B ．π4C ．π6D ．π8 8、圆锥侧面展开图是半径为a 的半圆，这个圆锥的高是（ ）A ．aB ．a 22 C ．a 3 D ．a 23 9、正方体的对角线长为L ，它的全面积是 （ ）A ．2L 2B ．32L C ．12L 2 D ．18L 210、圆柱的一个底面面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A 4πS B 2πS C πS D 3πS11、轴截面为直角三角形的圆锥，侧面积与底面积之比为 （ ）A 2：1B 3：1C 5：1D 2：1 12、正四棱锥底面边长为2，侧面积为8，它的体积为（ ）A334 B 23 C 43 D 83 13、若球的体积增大为原来的8倍，则它的表面积增大为原来的 （ ）A2倍 B 4倍 C8倍 D16倍14、一个棱锥的底面面积为Q ，过它的高的中点作平行于底面的截面，那么截面面积 （ ）A21Q B 31Q C 41Q D 22Q 15、各棱长均相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为 （ ）A63 B 33 C 23 D 36二、填空题：1、正方体一个面的对角线的长为a ，则正方体的对角线长是__________。
课题: 6.1.1 认识多面体和旋转
【教学目标】
了解多面体和旋转体的基本概念,认识多面体的面、棱、顶点、对角线及旋转体的轴和母线；通过学习认识空间几何体的结构特征，提高学生的归纳总结能力，培养学生由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法。
【教学重点】
多面体和旋转体的有关概念
【教学难点】
多面体和旋转体的基本概念，初步形成空间想象力
【教学方法】
观察演示探究
【教学过程】
教学
环节教学内容师生活动二次修改
导入
PPT展示：在现实生活中，我们周围存在着很多
形状各异的几何体，让学生观察它们的结构特点
圆形的方形的，多面的，旋转的都有
教师展示图形，并
分析这些图形的结构特
点，学生认真观察，并
回答老师提出的问题：
这些图形各有什么特
点？
估计学生认识到：方的，
圆的，有尖的等多面体
教师分析所展示图形并
板书多面体。
多面体与旋转体一、棱柱1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。
2、 两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱。
棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻的两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高。
棱柱的基本性质：（1） 棱柱的侧面都是平行四边形。
（2） 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。
3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
性质：（1） 直棱柱侧面都是矩形。
（2） 直棱柱侧棱与高相等。
（3） 正棱柱的侧面都是全等的矩形。
4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。
底面是矩形的直棱柱是长方体。
长方体的对角线平方等于三边长的平方和。
5、 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
6、 h V S =⋅棱柱底. 二、棱锥1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
棱锥的这个多边形的面叫做底面，其余各个三角形的面叫做侧面。
相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
棱锥的基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么： （1） 侧棱和高被这个平面分成比例线段； （2） 截面和底面都是相似多边形；（3） 截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。
2、如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这个棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：（1） 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
（2） 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。
正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
课题：多面体与旋转体的联合问题一、选材分析1、课题所处地位多面体与旋转体是立体几何中的重要内容，它们经常同时出现。
尤其是正方体、正四面体及球是学生非常熟悉的几何体，是众多几何体的基础。
他们的共同点是对称，不同点是前两种是多面体，球是旋转体，并且它们的联合体是解决较复杂几何体的基础。
特别是正方体与球的切、接关系虽然简单，但研究的方法能给人以启迪。
2、教学目标、重点、难点及关键（1）知识目标：掌握球与正方体且、接关系，能通过作截面的方法，求吹两种几何主要元素的关系；能将正四面体的外接球问题转化为相应的正方体外接球问题，并能熟练计算。
（2）能力目标：培养学生空间想象能力，观察能力及联想能力。
（3）德育目标：加强辩证唯物主义中的联想和转化教育。
（4）重点：空间问题转化平面问题，复杂几何转化为简单几何体。
（5）难点：与重点相同。
（6）关键：形体结合。
二、教法分析借助微机演示，使学生获得清晰的感性认识，增强学习数学的兴趣，丰富空间想象能力，并能将感性认识上升到理性认识。
具体采用“启发式”教学法。
提出问题——转入基础——探讨研究——升华提高三、学生分析鉴于学生初高中衔接问题带来的不良影响，立体几何学的不深不透的特点，坚持从基础开发，以低调子，浅内容为主，提高学生学习的积极性，掌握类比的思维方式为养成良好的学习习惯奠定基础。
四、设计意图1、从熟悉的几何体入手，学生容易联想出它们典型位置关系，创造出研究问题的情境，有利于调动学生探讨两种几何体切、接关系的积极性。
2、通过微机演示进一步是学生认识三种特殊关系以便由感性认识上升到理性认识。
3、让中等以下的学生进一步增强感性认识、促进思维发展。
中等以上的学生对自己的思维，通过微机演示做出判断。
4、归纳方法，为进入下一部分作铺垫。
5、加深对正方体的切、接关系的理解。
6、帮助学生整理本节课的内容，提高综合能力。
多面体和旋转体的概念一、知识回顾
1.棱柱、棱锥的基本概念和主要性质
2.几种特殊四棱柱的特殊性质
3. 叫做正四面体。
正四面体的所有棱长都，是一种特殊的。
4.圆柱、圆锥、球的基本概念和主要性质
注意：掌握圆柱、圆锥、球的下列概念：圆柱的轴、底面、侧面、母线和高；圆锥的轴、顶点、底面、侧面、母线和高；球的球心、直径、大圆和小圆。
2.几种特殊四棱柱的特殊性质
3. 叫做正四面体。
正四面体的所有棱长都，是一种特殊的。
4.圆柱、圆锥、球的基本概念和主要性质
注意：掌握圆柱、圆锥、球的下列概念：圆柱的轴、底面、侧面、母线和高；圆锥的轴、顶点、底面、侧面、母线和高；球的球心、直径、大圆和小圆。
第二章多面体和旋转体一多面体§2.1 棱柱一、素质教育目标（一）知识教学点1、棱柱的概念及性质。
2、平等六面体，长方体的概念及长方体的性质。
3、直棱柱直观图的画法4、棱柱侧面积的计算（二）能力训练点1、在学习棱住概念和性质过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力。
2、通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力。
3、通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）德育渗透点1、棱柱概念的形成，是从特殊到一般、具体到抽象的过程；通过教学使学生初步认识辩证唯物主义认识论的观点。
2、通过四面体、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间相互关系的教学，使学生树立普遍联系的唯物主义观点。
3、通过运用侧面积公式计算生产实践中具体零件的面积，使学生懂得数学对工、农业生产的意义，激励学生努力学好数学，将来为祖国的“四化”建设做出更大的贡献。
二、教学重点、难点、疑点及解决办法1、教学重点：理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题。
2、教学难点：直棱柱直观图的画法3、教学疑点：直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义三、课时安排本课题建议安排3课时四、教与学过程设计第一课时节棱柱的概念及性质（一）引入将画有图2-1、图2-2、图2-3的小黑板挂出师：今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质（给出课题），以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点。
（二）棱柱及有关概念的定义师：大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何本均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1。
（1）首先看面：从面和面的关系及面的开头引导学生讨论，得出结论；有两个面互相平行，其余各面为四边形。
（2）再看线：从线与线之间的引导学生得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
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多面体与旋转体的概念一、概念整理（一）棱柱与棱锥1、水平放置的平面图形的直观图的“斜二测”画法（1）按右图所示的位置和夹角作三条轴，分别表示铅垂方向，左右方向和前后方向的轴，依次把它们叫做________________________.(2) 规定在z轴和y轴方向上的线段的长度与其表示的真实长度相等，而在x轴方向上,线段的长度是其表示的真实长度的__________。
2、“斜二测”画法的重要性质（1）平行直线的斜二测图__________________；（2）线段及其直线上定比分点的斜二测保持原比例不变。
（三）、旋转体1、旋转体：平面上一条封闭图形所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，定直线叫做______________。
2、圆柱：将_________绕其一条边’OO所在直线旋转一周，所形成的几何体。
(1)圆柱的结构:圆柱的轴：____________；圆柱的母线：____________；圆柱的底面：___________；圆柱的侧面：___________；圆柱的高：____________；(2)圆柱的性质：①底面由与轴垂直的边旋转得到，所以圆柱的底面是圆面且垂直于轴,②轴过两底面圆心且垂直于底面，联接两底面圆心的线段的长等于圆柱的高；③所有母线相互平行，相等且垂直于底面，母线的长等于圆柱的高；④轴截面（经过圆柱的轴的截面）是矩形。
3、圆锥：将_________绕其一条_____边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体。
(1)圆锥的结构：圆锥的轴：_____________；圆锥的母线：____________；顶点：_____________；高：_____________；底面：_____________；侧面：_____________；(2)圆锥的性质：a.底面为圆且垂直于轴；b.c.所有母线都经过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。
d.轴截面是等腰三角形。
第二章多面体与旋转体棱锥的概念和性质教学目的1．通过棱锥、正棱锥概念的教学，培养学生知识迁移能力及数学表达能力；2．通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，提高学生空间想象能力及空间问题向平面转化的能力．教学重点和难点教学重点是正棱锥的性质．教学难点是认识及掌握正棱锥中的基本图形．教学设计过程师：上节课我们学了棱柱的有关知识，当棱柱的上底面缩为一点时，想一想，其侧面、侧棱有何变化？（将金字塔、帐篷的图片以及不同棱锥的模型依次出示给学生）师：（学生观察后）我们将现实生活中的实例抽象成数学模型，就得到新的几何体棱锥．（板书课题）师：你们能描述一下棱锥的本质特征吗？（提示学生可以从底面、侧面的形状特点加以描述）生：底面可以是任意多边形，侧面必须是三角形．师：这些三角形必须有共同的什么呢？生：有一个公共顶点．师：（小结）有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．（这样由观察具体事物，经过积极思维，然后抽象出事物的本质属性，形成概念，是培养能力，提高效果的好办法）师：请同学们看图1．（可做成覆盖片，依次介绍棱锥各部分名称及表示法）表示：棱锥S-ABCDE或棱锥S-AC．师：与棱柱类似，棱锥可以按底面多边形的边数分为三棱锥，四棱锥，五棱锥，…，n棱锥．（由于本节重点是解决正棱锥的性质问题，故对棱锥的表示法及其分类宜简不宜繁）师：由于在实际中遇到的往往是一种特殊的棱锥——正棱锥，它的性质用处较多，所以下面重点研究正棱锥的概念及性质．师：对比正棱柱定义能描述一下正棱锥吗？（类比是重要的数学方法之一）生：底面是正多边形的棱锥．师：对吗？思考一下，棱柱定义在补充几点后才是正棱柱．（学生议论后回答）生：应该是底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥．师：很好！以上两条是缺一不可的．即由顶点向底面作垂线，垂足必为底面正多边形的中心的棱锥才是正棱锥．（可拿出各式各样的棱锥模型让学生辨认，根据定义指出哪一个是正棱锥）师：正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这是正棱锥的本质特征，它决定了正棱锥的其它性质．下面我们以正五棱锥为例，你能说出其侧棱、各侧面有何性质吗？（将图2出示给学生）生：各侧棱相等、各侧面都是全等的等腰三角形．师：为什么？生：可通过全等三角形得证．（口答证明）证明：连结OA，OB．因为正棱锥S-AC，SO为高，所以OA=OB，∠SOA=∠SOB=90°，SO=SO，所以△SAO≌△SBO．所以SA=SB．故△SAB为等腰三角形．其它同理可证．师：很好！若我们把等腰三角形底边上的高叫正棱锥的斜高．请在图2中作出两条斜高．生：作SF⊥BC于F，SG⊥AE于G两条斜高，也可取BC的中点F，连结SF．师：那么斜高有什么性质呢？生：斜高相等．师：想一想，正棱锥的高与斜高有何区别？生：高是顶点到底面的距离，而斜高是顶点到底边的距离．师：再联系一下垂线段、斜线段的有关知识呢？生：高是顶点到底面的垂线段，斜高是顶点到底面的斜线段．师：所以它们之间的大小关系如何呢？生：恒有高小于斜高．师：对于一般棱锥其侧面不是等腰三角形，棱锥的高是指顶点到底面的距离，垂足是可以在底面多边形内，也可以在底面多边形外的．我们刚才所得到的性质都是对正棱锥而言的．下面我们来研究如何利用这些性质解决具体问题．师：请同学们看例一．（板书）已知：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高为2．求：（1）侧棱长；（2）棱锥的高；（3）侧棱与底面所成的角；（4）侧面与底面所成的角．师：根据题目，需要画正四棱锥的直观图，画图的步骤是：先画平行四边形，找中心，画高线，最后连侧棱．（图3）（正四棱锥的直观图的画法下节才讲，本节课只要求学生按以上四步完成即可，教师边说边画）师：这道题让我们求哪些量？生：侧棱、高这两条线段的长及两个角．师：其实就是求距离及角，是两个什么样的角呢？生：一个是线面角，一个是面面角．师：你们准备怎样求？生：先把已知量和未知量在图形中找到，再想办法把它们联系起来，利用正棱锥的有关性质解题．（稍停后，学生口述，教师板书）生甲：连结SO，由正棱锥性质有SO⊥面ABCD．取BC的中点M，连结SM，OM．因为等腰△SBC，所以SM⊥BC．在Rt△SMB中，生丙：因为SO⊥面AC，所以∠SBO为侧棱与底面所成的角．在生丁：因为SM⊥BC，OM⊥BC，所以∠SMO为侧面与底面所=60°．（解题中用到的每一直角三角形在图3中用彩笔描出）师：此例中几个提问都显示了直角三角形在解决正棱锥计算问题中的作用．观察图3中彩色部分，有几个直角三角形？生：4个．师：哪4个．生：Rt△SMB，Rt△SOM，Rt△SOB，Rt△OBM．师：再观察一下这4个直角三角形围成了一个什么新的几何体？生：一个小三棱锥．师：推广到一般正棱锥中，都存在这个小三棱锥，它是正棱锥中的基本图形，是正棱锥的关键部分，一般的棱锥也有类似的关键部分．那么这个小三棱锥涉及到了正棱锥的哪几个量呢？（将图3做成抽拉片，把彩色部分抽拉出来，让学生看起来更直观，逐一回答）生：Rt△SBO的三边分别是正棱锥的高、侧棱、底面正多边形的半径．生：Rt△SMO的三边分别是正棱锥的高、斜高、底面正多边形的边心距．生：Rt△SBM的三边分别是正棱锥的侧棱、斜高、底面正多边形边长的一半．生：Rt△OBM的三边分别是底面正多边形的边心距、底半径、底边长的一半．师：还涉及到了哪几类角呢？生：有线面角∠SBO，是侧棱与底面所成的角．有二面角∠SMO，是侧面与底面所成的角．师：所以说这个小三棱锥集中反映了正棱锥的线面关系．在正棱锥的有关计算问题中，主要涉及以下基本元素l，h，h＇，a，R，r，线面角、侧面和底面所成二面角的平面角，我们看到这些基本元素通过四个直角三角形有机地联系在一起，围成一个各个面都是直角三角形的小三棱锥．因而解题时可以将题目中各量转化进这个小三棱锥中进行计算．正棱锥中的几个重要直角三角形及所涉及到的两类角，是正棱锥的又一性质．当然这四个直角三角形中尤其以前两个更为重要．（稍停）师：请同学们看例二．求：侧棱长及斜高．（要求学生自己思考，多种方法求解）生：连结OA．因为正三棱锥V－ABC，VO为高，取BA的中点D，连结VD，师：很好！还有其他解法吗？生：求斜高VD时，不在Rt△VAD中完成．可连结DO．师：同学说的这两种方法都是在前面所提到的正棱锥中的基本图形中完成的，还有其他办法吗？（可启发学生能否在一个三角形内完成）生：连结CO并延长交AB于D，连VD，则AD=BD=3．师：此例告诉我们，在正三棱锥中可以在基本图形小三棱锥V－ADO中计算，还可以利用△VCD进行计算．△VCD也集中了正三棱锥的主要基本量，是正三棱锥的又一基本图形，这是其它正棱锥所没有的．当然不管利用上面哪种方法，都是借助基本图形，把不相关的元素向相关元素转化．师：下面自己完成这道课堂练习，巩固前面所获得的解题方法．已知：正三棱锥的侧面与底面所成的角为60°．求：侧棱与底面所成角的正切．师：这节课我们重点研究了正棱锥的性质，请同学们把正棱锥的性质概括一下．（学生说教师把正棱锥的性质用投影片逐一打出）生：正棱锥的性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．（2）正棱锥的斜高相等．（3）正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角：①正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（正多边形的半径）组成一个直角三角形．②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影（正多边形的边心距）组成一个直角三角形．③正棱锥的侧棱、斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形．④正棱锥底面内，正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角形．⑤正棱锥的侧棱与底面所成的角；侧面与底面所成的角．师：在正棱锥的计算过程中我们通常可用什么办法？生：可将题目中的各个量转化到其基本图形中．师：什么是正棱锥的基本图形？生：就是性质中所提到了，由四个直角三角形组成的小三棱锥．师：那么各个量转化到这个基本图形中后，又如何解决呢？生：可利用直角三角形的边角关系进行计算．师：这说明什么？生：说明我们是在平面内解决的．师：所以说，把空间问题有计划地转化为平面问题是解决立体几何问题的关键．（进一步培养学生空间问题向平面问题转化的思想）师：作业是课本p．62，2，3．补充题：已知：正棱锥的底面边长为a，底面多边形的边心距为r，棱锥的高为h．求：它的侧棱长．［提示：如图7，在Rt△SOM中，SM2=h2＋r2．在Rt△SAM中，课堂教学设计说明本教案的教学步骤完全是围绕正棱锥的性质这个中心而展开的．为了让学生深入认识及掌握正棱锥中的基本图形，共设计了四个层次：（1）通过对具体几何体的观察引出棱锥的概念．（2）通过棱柱及棱锥的类比引入正棱锥的概念．（3）正棱锥的性质．（4）例题与巩固练习仍以正棱锥的性质为中心，使学生对正棱锥中的基本图形的认识更深刻、更全面．在教学中对前两个层次宜简不宜繁，而后两个层次的教学内容才是本节课的重点．本节课从棱锥的概念—正棱锥的概念—正棱锥的性质—正棱锥计算问题中的思想方法，脉络清晰，容量大，有关概念与性质较多，故采用了电教手段．把某些概念、性质或知识关键点制成了投影片，这样既节省时间，又增加其直观性，起到事半功倍的作用．应当指出的是，在教学过程中并没有采取把正棱锥的性质同时全部讲授给学生，而是通过对例题的分析与处理，自然而然地引出正棱锥的最重要的性质，即正棱锥中的四个重要直角三角形．再通过学生对图形的观察，上升到由这四个直角三角形围成的小三棱锥，引出正棱锥中的基本图形．这样既给出了正棱锥的性质、又给出了解决正棱锥问题的解题方法．使学生清楚地看出，把正棱锥的问题归结为四个直角三角形的计算，是解决正棱锥问题的基础．至于正棱锥的性质，是在本节的小结中让学生自己进行了系统的归纳．正是基于侧重讲正棱锥性质的应用、讲解题方法、讲数学思想，因而例题与巩固练习都没有选择较难的应用性习题．本教案正是避免了出现应用正棱锥性质计算或推理的难题，把主要精力放在先使学生认识正棱锥中的基本图形，并认识到它的重要性，而后给出解决正棱锥有关计算问题的普遍方法．通过本节课的教学，要让学生掌握图形中的基本图形是图形的一些基本元素所集中的部位，它把图形的各主要元素紧密地联系在一起．掌握并熟悉这些基本图形有助于计算和证明所给的题目．图形中的基本图形往往是变立体几何为平面几何的最后归宿．最终点明，我们解决立体几何问题的关键，就是要有计划地把空间问题转化为平面问题．。
十二、多面体与旋转体知识、方法、技能多面体与旋转体的概念和性质是解决其计算与证明的基础，因此对概念的深刻，对性质、公式和定理要熟练掌握．I ．柱体柱体包括梭往和圆柱． 1．柱体侧面积和体积侧面积公式：S cl =（c 为直截面周长，l 为侧棱长） 体积公式: V Sh =（S 为底面积，h 为高）. 2．四梭柱四棱柱−−−−−→−底面是平行四边形平行六面体−−−−→−侧棱垂直于底面直平行六面体−−−→−底面是矩形长方体−−−−→−底面是正方形正四棱柱−−−→−棱长都相等正方体.(l)长方体的性质①长方体的四条对角线长度相等，它们交于一点且在该点互相平分． ②长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．③长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别是,,αβγ，则1cos cos cos 222=++γβα．④长方体的一条对角线与过一个顶点的三个面所成的角分别是123,,θθθ，则122223cos cos cos 1θθθ++=．(2)正方体的性质①正方体的对角线和与它不相交的面对角线垂直．②正方体过同一条对角线的三个对角面两两所成的小于90 的二面角都等于60 ． II ．锥体（锥体包括棱锥和圆锥） 1．锥体的侧面积和体积 正棱锥的侧面积公式：'12S ch =（c 是底面周长，'h 是斜高；圆锥的侧面积公式：12S cl =（c 是底面周长，l 是母线长）；锥体的体积公式：13V Sh =(S 为底面积，h 为高）．2．四面体四面体是立体几何中最基本的，也是最重要的几何体，它相当于平面几何中三角形所处的地位．四面体与三角形有着相类似的性质．四面体的性质：①连接四面体对棱中点的线段交于一点，且这点平分这些线段． ②连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点G ，且这点将所在线段分成的比为3:1，G 称为四面体重心．③四面体的二面角的平分面粉对棱所成的比等于形成这个二面角的两个侧面的面积之比．④每个四面体都有内切球，球心I 是四面体的各个二面角的平分面的交点，此点到各面的距离等于球半径．设四面体四个面的面积分别为1234,,,S S S S , V 表示它的体积，r 表示内切球的半径,1234,,,h h h h 分别表示各顶点到对面所作的高，有12343V r S S S S =+++，123411111rh h h h =+++．⑤每个四面体都有外接球，球心O 是各条棱的中垂面的交点，此点到各个顶点的距离等于球半径，（2）直角四面体及其性质同一顶点上的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体． 直角四面体的性质：①直角四面体中，不含直角的面是锐角三角形，其面积S =其中,,a b c 为互为垂直的三条棱长．②直角四面体六条棱长的和l 为定值时，直角四面体的体积的最大值为37162l ．③直角四面体的内切球半径为12343S S S S V r a b c S++-==++．其中4S 表示锐角三角形的面积，123,,S S S 表示三个直角三角形的面积，S 表示表面积．④直角四面体的外接球半径为R =．⑤直角四面体的对棱中点连线长相等，且等于外接球半径． (3)等腰四面体及其性质对棱都相等的四面体称为等腰四面体．以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体 等腰四面体的性质：①等腰四面体各面为全等的锐角三角形，且各面的面积相等．②等腰四面体的体积为V =其中,,a b c 分别为三组对棱棱长，22221()2k a b c =++．③等腰四面体中，三个侧面间的二面角的余弦值的和等于1．④等腰四面体中，三个侧面间二面角的正弦值满足：sin sin sin a b cαβγ==． ⑤等腰四面体的对棱中点连线长,,a b c d d d 为a b c d d d ===⑥等腰四面体的对棱中点的连线共点，互相垂直平分对棱的公垂线．⑦等腰四面体的外接球的球心、内切球的球心、重心（四面体顶点和对面重的交点）重合．⑧等腰四面体的内切球半径为r =其中，1()2p a b c =++．⑨等腰四面体的外接球半径为R =⑩等腰四面体四条中线（四面体顶点和对面重心连接的线段）长相等为m =○11等腰四面体的四条高相等，且等于内切球半径r 的四倍，即4h r =． (4)正四面体及其性质每个面都是全等的正三角形的正三棱锥称为正四面体．对棱都垂直的等腰四面体是正四面体． 两组对棱垂直的等腰四面体是正四面体． 对棱都垂直相等的四面体是正四面体．对棱中点连线都垂直相等的四面体是正四面体． 正四面体的性质：①正四面体ABCD 中，过顶点D 的高DE 的中点是O ，那么四面体OABC 是直角四面体．②正四面体的全面积是棱长平方的12倍．即2S =，312V a =．③正四面体两侧面间的二面角为arcsin 3．④正四面体各棱中点是正八面体的六个顶点．⑤正四面体对棱中点连线是对棱的距离为棱长的2倍，即2d a =．⑥正四面体的内切球，外接球的球心相同，半径分别为,124r R ==．III.台体（台体包括棱台和圆台）台体是锥体被一个平行锥体的底面的平面截得而成，因此在研究台体问题时，往往需要将之恢复成锥体．2.台体的侧面积和体积正棱台的侧面积公式：''1()2S c c h =+，（',c c 分别是上、下底面周长，'h 是斜高）．圆台的侧面积公式：'1()2S c c l =+，（',c c 分别是上、下底面周长，l 是斜高）．台体的体积公式：'1()3V S S h =+（',S S 分别是上、下底面面积，h 是高）．IV ．球体1．球体的表面积和体积球的表面积24S R π=． 球的体积343V R π=，其中R 为球的半径．2．球面两点间的距离过球面两点大圆所夹劣弧的长度，称为球面两点间的距离．球面上任意两点距离是球面距离．设半径为R 的球上有两点M 、N ，它们的纬度差为α，经度差为β，则MN 的球面距离为2arcsin(cos sin)2l R βα=．3．多面体的内切球若多面体有内切球，则内切球的半径r ，表面积S ，体积V 之间有关系式13V Sr =．赛题精讲例1.已知四面体ABCD 中，AB =m, CD=n ，AB 与CD 间距离为h ，AB 与CD 所成角为θ，求该四面体的体积．【思路分析】 已知AB 与CD 所成角为θ，将AB 平移得到该角，从而又补出一个四面体．【解】如图所示，过C 作CE||AB ，并使CE=AB ，连接AE 、ED ，∠ECD 是AB 与CD 所成角，即∠ECD=θ．设MN 是AB 与CD 的公垂线段，由已知MN=h. ∵AB||CE,M N ⊥AB ，∴AB||面CDE,MN ⊥CE, ∴MN ⊥CD, MN ⊥CE,∴MN ⊥面CDE ．因此MN 的长就是AB 到平面CDE 的距离，也就是A 点到平面CDE 的距离，即三棱锥A-CDE 的高．∴11sin 36A C D E C D E V S h m nh θ-∆=⋅=，∵ABCE 是平行四边形，∴ABC AEC S S ∆∆=．∴三棱锥D-ABC 与D-ACE 有相等的底面积且高相同． ∴D ABC D AC E V V --=． 故四面体ABCD 的体积1sin 6V m nh θ=．【评述】本题采用补形的方法，将几何体进行转换，这是求几何体体积的重要方法，另外，本题可采用分割法：如图中连接CM 、DM ，将四面体ABCD 分成两个三棱锥：A-CMD 、 B-CMD 求体积．例2.证明：正四面体各棱在任一平面上的射影的平方和为定值．证明 如图所示，设正四面体的棱长为a ，过每条棱作对棱的平行平面，构成一正方体，其棱长为b =设正方体自A 引出的三条棱与平面M 的垂线所形成的角分别为,,αβγ．则有1cos cos cos 222=++γβα.（这是因为：作AE 与平面M 垂直且长度为1．以AE 为对角线作一长方体，长宽高分别与正方体的三条棱平行，则它们分别等于c o s ,c o s ,c o s αβγ，故1cos cos cos 222=++γβα.)因此正方体12条棱在平面 M 上的射影的平方和为定值，即222224(sin sin sin )8b b αβγ++=.正方体每个面的射影为平行四边形，所以这个面的对角线的射影的平方和等于四边射影的平方和，从而在正方体各面取一条对角线，它们的射影的平方和等于各棱射影的平方和28b ．因此，正四面体各棱在任一平面 M 上的射影的平方和为22284b a ==.例3.正三棱锥有一个半径为R 的内切球，求所有这样的正三棱锥中的体积最小的正三棱锥的体积．【思路分析】建立正三棱锥体积的函数． 【解】 如图，设正三棱锥P 一ABC 的底面边长为a ，高为h , PH ⊥底面ABC ，Ph=h ，内切球球心为O, 则O ∈PH ．连接AH 并延长交BC 于D ，连PD.∵H 是正△ABC 的中心，∴AH ⊥BC, PD ⊥BC, D 是BC 的中点，在对称面PAD 中，内切球轴截面⊙O 切AD 于H ，切PD 于E ，连DO ，则OD 平分∠6．设∠ADP=2α，∠ODH=∠ODE=α,且(0,)4πα∈．在Rt △OHD 中，cot H D O H α=⋅,∴cot a α=⋅． 在Rt △PHD 中，tan 2PH h H D α==⋅,∴cot tan 2cot tan 26h R αααα=⋅⋅=⋅⋅．∴2331cot tan 234V h αα==⋅⋅32tan 1tan tan (1tan )()2αααα=≥=+--．当且仅当tan 2α=时，3V =．故正三梭锥体积的最小值为3．【评述】 发现内切球与几何体之间的关系是关键，建立函数是求最值的常用方法． 例4.定直线l 1⊥平面α,垂足为M ，动直线l 2在平面α内过定点N ，但不过定点M .MN =a 为定值，在l 1、l 2上分别有动线段AB =b ,CD =c .b 、c 为定值.问在什么情况下四面体ABCD 的体积最大？最大值是多少？分析:在四面体ABCD 的基础上，补上一个三棱锥B-MCD . 解:如图，连结MC 、MD ，则∵AM ⊥平面MDC ，BM ⊥平面MDC ∴V A-BCD =V A-MDC -V B-MDC =31S △MDC ·(AM-BM )=31S △MDC ·AB设M 到CD 的距离为x ,则S △MDC =21CD ·x =21cx ,∴V A-BCD =31×21cx ·b =61bcx∵x ≤MN =a ,∴当x =a 时，即MN 为l 1与l 2的公垂线时，V A-BCD 最大，它的最大值为61abc .点评 x ≤MN ,包含x =MN ,也包含x<MN ,垂线段小于斜线段. 例5.已知正三棱锥ABC P -的底边长为a ，侧棱与底面所成的角为α，过底面一边作这个棱锥的截面，试问截面与底面所成的二面角为何值时，截面积最小，并求出截面面积的最小值．ACE PDOα【解】：作PA BD ⊥于D ，连DC 得截面BDC ∆．再作⊥PO 底面ABC 于O ，则O 为正三角形ABC 的中心，连AO 并延长交BC 于E ，E 必为BC 中点，且BC AE ⊥，连DE ，则BC PA ⊥，PAO ∠是PA 与底面ABC 所成的角，所以α=∠PAO ．因截面DBC ∆的底边a BC =为一定值。
