第3讲导数与函数的极值、最值1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0,右侧f′(x)＞0,则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值．导师提醒1．要辨明两个易误点(1)极值点不是点,极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件．例如,f(x)＝x3,f′(0)＝0,但x＝0不是极值点．2．要记住两个常用结论(1)若函数在开区间(a,b)内的极值点只有一个,则相应极值点为函数的最值点．(2)若函数在闭区间[a,b]的最值点不是端点,则最值点亦为极值点．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x),f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．()(3)函数的极大值一定是函数的最大值．()(4)开区间上的单调连续函数无最值．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点解析：选C.设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点从左至右依次为x 1、x 2、x 3、x 4. 当x <x 1时,f ′(x )>0,f (x )为增函数,当x 1<x <x 2时,f ′(x )<0,f (x )为减函数,则x ＝x 1为极大值点,同理,x ＝x 3为极大值点,x ＝x 2,x ＝x 4为极小值点,故选C.设函数f (x )＝2x ＋ln x ,则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D.f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x >0),当0<x <2时,f ′(x )<0,当x >2时,f ′(x )>0, 所以x ＝2为f (x )的极小值点．函数y ＝x e x 的最小值是________．解析：因为y ＝x e x ,所以y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .当x >－1时,y ′>0；当x <－1时,y ′<0,所以当x ＝－1时函数取得最小值,且y min ＝－1e.答案：－1e函数f (x )＝x －a ln x (a >0)的极小值为________．解析：因为f (x )＝x －a ln x (a >0),所以f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝1－ax (a >0),由f ′(x )＝0,解得x ＝a . 当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0； 当x ∈(a ,＋∞)时,f ′(x )>0,所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值,且极小值为f (a )＝a －a ln a . 答案：a －a ln a利用导数解决函数的极值问题(多维探究)角度一 根据图象判断函数的极值设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)【解析】 由题图可知,当x <－2时,1－x >3,此时f ′(x )>0；当－2<x <1时,0<1－x <3,此时f ′(x )<0；当1<x <2时,－1<1－x <0,此时f ′(x )<0；当x >2时,1－x <－1,此时f ′(x )>0,由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值,在x ＝2处取得极小值．【答案】 D角度二 求函数的极值(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ,a ∈R .(1)当a ＝0时,求曲线y ＝f (x )在(1,f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1),求函数g (x )的极值．【解】 (1)当a ＝0时,f (x )＝ln x ＋x ,则f (1)＝1,所以切点为(1,1),又f ′(x )＝1x ＋1,所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2,故切线方程为y －1＝2(x －1),即2x －y －1＝0.(2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1,则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x ,当a ≤0时,因为x ＞0,所以g ′(x )＞0.所以g (x )在(0,＋∞)上是增函数,函数g (x )无极值点． 当a ＞0时,g ′(x )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x＝－a （x －1a）（x ＋1）x ,令g ′(x )＝0得x ＝1a.所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时,g ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时,g ′(x )＜0. 因为g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数,在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数． 所以x ＝1a 时,g (x )有极大值g ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a －ln a . 综上,当a ≤0时,函数g (x )无极值；当a ＞0时,函数g (x )有极大值12a －ln a ,无极小值．角度三 已知函数的极值求参数(2018·高考北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行,求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值,求a 的取值范围． 【解】 (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x , 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0,即(1－a )e ＝0,解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x . 若a >12,则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时,f ′(x )<0； 当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12,则当x ∈(0,2)时,x －2<0,ax －1≤12x －1<0,所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知,a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解； ②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[提醒] 若函数y ＝f (x )在区间(a ,b )内有极值,那么y ＝f (x )在(a ,b )内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．1．(2019·东北四校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞,－3)∪(6,＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞,－1)∪(2,＋∞)解析：选B.因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6,由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实数根,所以Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0,即a 2－3a －18>0,所以a >6或a <－3.2．已知函数f (x )＝ln x .(1)求f (x )的图象过点P (0,－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx存在两个极值点x 1,x 2,求m 的取值范围．解：(1)由题意得,函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0,ln x 0),则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0,－1)代入切线方程,得ln x 0＝0, 所以x 0＝1,所以过点P (0,－1)的切线方程为y ＝x －1.(2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋m x ,所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋mx 2, 令h (x )＝mx 2－x ＋m ,要使g (x )存在两个极值点x 1,x 2,则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1,x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h （0）>0，12m>0，h ⎝⎛⎭⎫12m <0即可,解得0<m <12.利用导数研究函数的最值(师生共研)已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ,k <1e ,求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值． 【解】 因为f (x )＝1－x x ＋k ln x ,f ′(x )＝－x －（1－x ）x 2＋k x ＝kx －1x2.(1)若k ＝0,则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )<0, 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减． 所以f (x )min ＝f (e)＝1－ee, f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －1.(2)若k ≠0,f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.①若k <0,则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有k （x －1k ）x 2<0, 所以f (x )在[1e ,e]上单调递减,所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e＋k －1,f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1. ②若k >0,由k <1e,得1k >e ,则x －1k <0,所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2<0, 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减． 所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e＋k －1,f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1. 综上,k <1e 时,f (x )min ＝1e ＋k －1,f (x )max ＝e －k －1.求函数f (x )在闭区间[a ,b ]内的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间[a ,b ]不含有参数,则只需对函数f (x )求导,并求f ′(x )＝0在区间[a ,b ]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f (a ),f (b )比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值．(2)若所给的闭区间[a ,b ]含有参数,则需对函数f (x )求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f (x )的最值．[提醒] 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx (其中a ,b 为常数且a ≠0)在x ＝1处取得极值． (1)当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,e]上的最大值为1,求a 的值． 解：(1)因为f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ,所以f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝1x ＋2ax ＋b ,因为函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋bx 在x ＝1处取得极值, 所以f ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0,又a ＝1,所以b ＝－3,则f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ,f ′(x ),f (x )随x 的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为⎝⎭⎫0，12,(1,＋∞), 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)由(1)知f ′(x )＝（2ax －1）（x －1）x,令f ′(x )＝0,得x 1＝1,x 2＝12a,因为f (x )在x ＝1处取得极值,所以x 2＝12a ≠x 1＝1,当12a ＜0时,f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减, 所以f (x )在区间(0,e]上的最大值为f (1),令f (1)＝1,解得a ＝－2, 当a ＞0时,x 2＝12a ＞0,当12a＜1时,f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增,在⎣⎡⎭⎫12a ，1上单调递减,[1,e]上单调递增,所以最大值可能在x ＝12a 或x ＝e 处取得,而f ⎝⎛⎭⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝⎛⎭⎫12a 2－(2a ＋1)12a ＝ln 12a －14a－1＜0,所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1,解得a ＝1e －2,当1＜12a ＜e 时,f (x )在区间(0,1)上单调递增,在⎣⎡⎭⎫1，12a 上单调递减,在⎣⎡⎦⎤12a ，e 上单调递增,所以最大值可能在x ＝1或x ＝e 处取得, 而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0, 所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1, 解得a ＝1e －2,与1＜x 2＝12a ＜e 矛盾,当x 2＝12a ≥e 时,f (x )在区间(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,所以最大值可能在x ＝1处取得,而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)＜0,矛盾,综上所述,a ＝1e －2或a ＝－2.函数极值与最值的综合问题(师生共研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3,求f (x )在区间[－5,＋∞)上的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝（2ax ＋b ）e x －（ax 2＋bx ＋c ）e x（e x ）2＝－ax 2＋（2a －b ）x ＋b －c e x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ,因为e x >0,所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点, 且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0.所以当－3<x <0时,g (x )>0,即f ′(x )>0,当x <－3或x >0时,g (x )<0,即f ′(x )<0, 所以f (x )的单调递增区间是(－3,0),单调递减区间是(－∞,－3),(0,＋∞)． (2)由(1)知,x ＝－3是f (x )的极小值点,所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g （0）＝b －c ＝0，g （－3）＝－9a －3（2a －b ）＋b －c ＝0，解得a ＝1,b ＝5,c ＝5,所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调递增区间是(－3,0),单调递减区间是(－∞,－3),(0,＋∞), 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值,故f (x )在区间[－5,＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者, 而f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0),所以函数f (x )在区间[－5,＋∞)上的最大值是5e 5.求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值．(2019·河南百校联盟模拟)已知函数f (x )＝e x －ax ,a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a ),求g (a )的最大值； (2)若对任意实数x ,恒有f (x )≥0,求f (a )的最值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域是(－∞,＋∞),f ′(x )＝e x －a . 令f ′(x )＝0,得x ＝ln a ,易知当x ∈(ln a ,＋∞)时,f ′(x )>0,当x ∈(－∞,ln a )时,f ′(x )<0, 所以函数f (x )在x ＝ln a 处取极小值, g (a )＝f (x )极小值＝f (ln a )＝e ln a －a ln a ＝a －a ln a . g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a ,当0<a <1时,g ′(a )>0,g (a )在(0,1)上单调递增； 当a >1时,g ′(a )<0,g (a )在(1,＋∞)上单调递减．所以a ＝1是函数g (a )在(0,＋∞)上的极大值点,也是最大值点,所以g (a )max ＝g (1)＝1. (2)显然,当x ≤0时,e x －ax ≥0(a >0)恒成立．当x >0时,由f (x )≥0, 即e x－ax ≥0,得a ≤e xx.令h (x )＝e xx ,x ∈(0,＋∞),则h ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x （x －1）x 2,当0<x <1时,h ′(x )<0,当x >1时,h ′(x )>0, 故h (x )的最小值为h (1)＝e ,所以a ≤e , 故实数a 的取值范围是(0,e]． f (a )＝e a －a 2,a ∈(0,e],f ′(a )＝e a －2a , 易知e a －2a ≥0对a ∈(0,e]恒成立,故f (a )在(0,e]上单调递增,所以f (0)＝1<f (a )≤f (e)＝e e －e 2,即f (a )的取值范围是(1,e e －e 2]．[基础题组练]1．函数y ＝xe x 在[0,2]上的最大值是( )A.1e B.2e 2 C ．0D.12e解析：选A.易知y ′＝1－xe x,x ∈[0,2],令y ′>0,得0≤x <1,令y ′<0,得1＜x ≤2,所以函数y ＝x e x 在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减,所以y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是y |x ＝1＝1e ,故选A.2．函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值,则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．e解析：选C.f ′(x )＝a e x －cos x ,若函数f (x )＝a e x －sin x 在x ＝0处有极值, 则f ′(0)＝a －1＝0,解得a ＝1, 经检验a ＝1符合题意, 故选C.3．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示,则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.289解析：选C.函数f (x )的图象过原点,所以d ＝0.又f (－1)＝0且f (2)＝0,即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0,解得b ＝－1,c ＝－2,所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ,所以f ′(x )＝3x 2－2x －2,由题意知x 1,x 2是函数的极值点,所以x 1,x 2是f ′(x )＝0的两个根,所以x 1＋x 2＝23,x 1x 2＝－23,所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1,若f (x )在区间[k ,2]上的最大值为28,则实数k 的取值范围为( )A ．[－3,＋∞)B ．(－3,＋∞)C ．(－∞,－3)D ．(－∞,－3]解析：选D.由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9,令f ′(x )＝0,解得x ＝1或x ＝－3,所以f ′(x ),f (x )随x 的变化情况如下表：5．(2019·河南郑州质检)函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10,则a ,b 的值为( )A ．a ＝3,b ＝－3或a ＝－4,b ＝11B ．a ＝－4,b ＝－3或a ＝－4,b ＝11C ．a ＝－4,b ＝11D ．以上都不对解析：选C.由题意,f ′(x )＝3x 2－2ax －b ,则f ′(1)＝0,即2a ＋b ＝3.① f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10,即a 2－a －b ＝9.②联立①②,解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11(有极值)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3(舍去,无极值)．6．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点,那么函数f (x )的极大值为________． 解析：x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点,即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根,将x ＝2代入得a ＝4,所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2,则由3x 2－12＝0,得x ＝±2,故函数在(－2,2)上是减函数,在(－∞,－2),(2,＋∞)上是增函数,由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.答案：187．若函数f (x )＝x 3－3ax 在区间(－1,2)上仅有一个极值点,则实数a 的取值范围为________．解析：因为f ′(x )＝3(x 2－a ),所以当a ≤0时,f ′(x )≥0在R 上恒成立,所以f (x )在R 上单调递增,f (x )没有极值点,不符合题意；当a >0时,令f ′(x )＝0得x ＝±a ,当x 变化时,f ′(x )与f (x )的变化情况如下表所示：⎩－a ≤－1⎩2≤a ，1≤a <4.答案：[1,4)8．(2019·湖南郴州高三模拟)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx －1（x ＞0），h （x ）（x ＜0），则函数h (x )的最大值为______．解析：先求出x ＞0时,f (x )＝e xx －1的最小值．当x ＞0时,f ′(x )＝e x （x －1）x 2,所以x ∈(0,1)时,f ′(x )＜0,函数单调递减,x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )＞0,函数单调递增,所以x ＝1时,函数取得极小值即最小值,为e －1,所以由已知条件得h (x )的最大值为1－e.答案：1－e9．设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x ),其中a ∈R .讨论函数f (x )极值点的个数,并说明理由． 解：f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1) ＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x >－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1,x ∈(－1,＋∞)． ①当a ＝0时,g (x )＝1,此时f ′(x )>0,函数f (x )在(－1,＋∞) 上单调递增,无极值点．②当a >0时,Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)．a ．当0<a ≤89时,Δ≤0,g (x )≥0,f ′(x )≥0,函数f (x )在(－1,＋∞)上单调递增,无极值点． b ．当a >89时,Δ>0,设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1,x 2(x 1<x 2), 因为x 1＋x 2＝－12,所以x 1<－14,x 2>－14.由g (－1)＝1>0,可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1,x 1)时,g (x )>0,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1,x 2)时,g (x )<0,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减； 当x ∈(x 2,＋∞)时,g (x )>0,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增． 因此函数有两个极值点． ③当a <0时,Δ>0,由g (－1)＝1>0, 可得x 1<－1<x 2.当x ∈(－1,x 2)时,g (x )>0,f ′(x )>0, 函数f (x )单调递增；当x ∈(x 2,＋∞)时,g (x )<0,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减． 所以函数有一个极值点．综上所述,当a <0时,函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时,函数f (x )无极值点；当a >89时,函数f (x )有两个极值点．10．已知函数f (x )＝ln xx －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0,求函数f (x )在区间[m ,2m ]上的最大值． 解：(1)因为函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f ′(x )＝1－ln xx 2, 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）>0，x >0得0<x <e ； 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）<0，x >0，得x >e. 所以函数f (x )的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e ,＋∞)．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m >0,即0<m ≤e2时,[m ,2m ]⊆(0,e),函数f (x )在区间[m ,2m ]上单调递增,所以f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m2m－1；②当m <e<2m ,即e2<m <e 时,(m ,e)⊆(0,e),(e ,2m )⊆(e ,＋∞),函数f (x )在区间(m ,e)上单调递增,在(e ,2m )上单调递减, 所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1； ③当m ≥e 时,(m ,2m )⊆(e ,＋∞),函数f (x )在区间[m ,2m ]上单调递减,所以f (x )max ＝f (m )＝ln mm－1.综上所述,当0<m ≤e 2时,f (x )max ＝ln 2m 2m －1；当e 2<m <e 时,f (x )max ＝1e －1；当m ≥e 时,f (x )max＝ln mm－1.[综合题组练]1．(创新型)若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ,a ＋5)上存在最小值,则实数a 的取值范围是( )A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)解析：选C.由题意,f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2),故f (x )在(－∞,－2),(0,＋∞)上是增函数,在(－2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,令13x 3＋x 2－23＝－23得,x ＝0或x ＝－3,则结合图象可知,⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)． 2．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点,则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A.因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1,所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点,所以－2是x 2＋(a ＋2)x＋a －1＝0的根,所以a ＝－1,f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0,解得x <－2或x >1,令f ′(x )<0,解得－2<x <1,所以f (x )在(－∞,－2)上单调递增,在(－2,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,所以当x ＝1时,f (x )取得极小值,且f (x )极小值＝f (1)＝－1,故选A.3．(创新型)函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数,极小值是负数,则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a ), 由f ′(x )＝0得x ＝±a ,当－a <x <a 时,f ′(x )<0,函数单调递减； 当x >a 或x <－a 时,f ′(x )>0,函数单调递增, 所以f (x )的极大值为f (－a ),极小值为f (a )． 所以f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0. 解得a >22. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫22，＋∞4．已知函数f (x )＝ax －ln x ,当x ∈(0,e](e 为自然常数)时,函数f (x )的最小值为3,则a 的值为________．解析：当a ≤0时,不符合题意,所以a ＞0,由f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ＝0,得x ＝1a ,当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时,f ′(x )＜0,f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时,f ′(x )＞0,f (x )单调递增,所以f (x )在x ＝1a 时取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－ln 1a. ①当0＜1a ≤e 时,由1－ln 1a ＝3,得a ＝e 2,符合题意,②当1a ＞e 时,由a e －ln e ＝3,得a ＝4e ,舍去．答案：e 25．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1,x 2,证明：f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜a －2.解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.(i)若a ≤2,则f ′(x )≤0,当且仅当a ＝2,x ＝1时f ′(x )＝0,所以f (x )在(0,＋∞)单调递减．(ii)若a >2,令f ′(x )＝0得,x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时,f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时,f ′(x )>0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42,⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42单调递增．(2)证明：由(1)知,f (x )存在两个极值点时,当且仅当a >2.由于f (x )的两个极值点x 1,x 2满足x 2－ax ＋1＝0,所以x 1x 2＝1,不妨设x 1<x 2,则x 2>1.由于f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2,所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2<0.设函数g (x )＝1x －x ＋2ln x ,由(1)知,g (x )在(0,＋∞)单调递减,又g (1)＝0,从而当x ∈(1,＋∞)时,g (x )<0.所以1x 2－x 2＋2ln x 2<0,即f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<a －2.6．(综合型)已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ,使得函数f (x )在[1,e]上的最小值为0？若存在,求出a 的值；若不存在,请说明理由．解：由题意,知函数的定义域为{x |x >0},f ′(x )＝a x －1x 2(a >0)．(1)由f ′(x )>0解得x >1a,所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0解得x <1a,所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时,函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a . (2)不存在．理由如下：由(1)可知,当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时,函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时,函数f (x )单调递增． ①若0<1a≤1,即a ≥1时,函数f (x )在[1,e]上为增函数,故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1,显然1≠0,故不满足条件．②若1<1a ≤e ,即1e ≤a <1时,函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数,在⎣⎡⎦⎤1a ，e 上为增函数, 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0,即ln a ＝1,解得a ＝e ,而1e≤a <1,故不满足条件．③若1a >e ,即0<a <1e 时,函数f (x )在[1,e]上为减函数,故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e ＝a ＋1e ＝0,即a ＝－1e ,而0<a <1e,故不满足条件．综上所述,不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在[1,e]上的最小值为0.。
